CHAPITRE n

Evaluation numérique des sons par les vibrations des cordes, des tuyaux cylindriques , des lames de la sirène et des roues dentées:

330. Lois générales des vibrations des cordes et des sons harmoniques qu’elles produisent. Lorsqu’on pince une corde tendue sur un instrument quelconque , les vibrations qu’elle accomplit sont beaucoup trop rapides pour que l’on puisse en compter le nombre absolu ; cependant l’on peut alors distinguer assez nettement deux phénomènes remarquables : premièrement le son monte et devient plus aigu dès qu’on raccourcit la corde ou qu’on lui donne une plus forte tension, et secondement le nombre des vibrations augmente d’une manière sensible. Ainsi, il y a certainement une dépendance entre le son de la corde, sa longueur, sa tension, et la rapidité de ses vibrations ; mais cette dépendance, si facile à constater par l’expérience , ne peut être déterminée que par le secours du calcul; elle constitue ce que l’on appelle en mécanique le problème des cordes vibrantes, problème qui fut résolu en premier lieu par Taylor (ilfet/iodits incrementorum, etc., 1716), et qui eut beaucoup de célébrité, parce qu’il excita pendant près d’un demi-siècle de vives discussions entre les plus grands géomètres. Jean Bernouilli, D’Alembert, Euler et Daniel Bernouilli, avaient beaucoup écrit sur ce sujet, quand Lagrange, en 1759, presque à son début dans la carrière des sciences, eut la gloire de lever toutes les difficultés et de mettre un terme 5 la discussion.

Voici les résultats auxquels on arrive par le calcul, et qui expriment les lois des vibrations des cordes :

1° Les nombres de vibrations d'une corde sont en raison

inverse dé sa longueur, c’est à dire que, si une corde sonore quelconque est tendue sur un instrument, comme le violon, la basse, la guitare, etc., et qu’elle fasse dans un certain temps un nombre de vibrations représenté par 1, lorsqu’elle vibre à vide ou dans toute sa longueur, elle fera dans le même temps des nombres de vibrations représentés par 2, 3,4, etc., lorsque, sans changer sa tension, l’on fera vibrer seulement etc., de sa longueur ; elle ferait des nombres de vibrations représentés par etc., si l’on faisait

vibrer seulement |, etc., de sa longueur. Pour limiter ainsi la partie vibrante, il suffit de promener un petit chevalet sur lequel on presse légèrement la corde avec le doigt.

2*^ Les nombres de vibrations d’une corde sont proportionnels aux racines carrées des poids qui la tendent; c’està-dire que si l’on représente par 1 le nombre de vibrations d’une corde qui est tendue par un poids 1, ce nombre de vibrations dans le môme temps deviendra 2, 3, 4, etc., quand, sans changer sa longueur, on la tendra par despoids 4, 9, 16, etc.

3® Les nombres de vibrations des cordes de même matière sont en raison inverse de leur épaisseur ou de leur diamètre, c’est-à-dire que si l’on prend, par exemple, deux cordes de cuivre ou deux cordes d’acier comme celles d’un piano, dont l’une ait un diamètre double de l’autre , qu’on les tende par un même poids et qu’on en fasse vibrer des longueurs égales, la plus mince fera dans le môme temps deux fois plus de vibrations que la plus grosse. Il est probable que deux cordes à boyaux ne suivraient pas exactement celte loi, parce qu’on n'est jamais sûr qu’elles soient absolument de même matière.

4® Les nombres de vibrations des cordes de matières différentes sont en raison inverse des racines carrées de leurs densités; c’est-à-diie que si l’on prend, par exemple, une corde de cuivre dont la densité est presque 9, et une corde à boyau dont la densité est à peu près 1, qu’elles aienfle