II. SO

406 LIVRE YI. -- OPTKtIS.

Les mouvements et les j)ropriétës de Téther donnent donc naissance a un vaste problème de mécanique qui ne le cède en importance, ni au grand problème de la mécaniqne céleste, ni à aucun de ceux qui ont été résolus sur ce qu'on appelle les fluides impondérables de la chaleur , du magnétisme ou de Velectricilé. Ce n'est pas dans les éléments de physique qu'il est possible d'aborder un tel sujet, et d'indiquer les travaux, déjà considérables , qui ont été accomplis dans cette voie ; mais le moment '9eBâ>le venu d'y introduire quelques notions amples, pour fidre comprendre an moins d'une manière nette et précise le carac* tère mécanique des vibrations de l'éther, de leurs pénodes-, et de leur composition on de leur influence mutuelle dans les cis ies moins oomplîqnés. J'aurais pu présenter ces tiottoas sucœssi- Tfment dans les divers chapitres auxquels ^les se rapportent; nraîs j'ai pensé que l'étude en serait plus facile si, groopées à paît, elles pouvaient conserver l'endiainenftent logique qm les -unit. •

J'ai essayé de les réduire à quelques propositions fbiidafflentaies que je va» «noeessivement développer.

Propoeiîixm I, Les blesses d'un mou^Feinent de v%ralioii nolécidaire isochrone «ont représentées par une expression de b ibrme t^-crzm ôa îac/.

' m «st la vîneeee flMnûnMMi, on ce que no«is wsppdkn» ^' coefficient de vitesse; c'est une tongneiff rapportée à une mtf^ arbitraire.

/ est le temps compte à partir de l'origme du moaveiBeBt, et eicprimé en prenant pour imité (a durée d'une vîbratkm entièrp* c'est-à-dire la dorée du va-et-vient.

Une molécnle ou une masse infinânent petite, poiidâable ou impondérable , écartée de sa positkm d'éqi^îbre , tend à j revenir en veitu de la résMkante des forées con^litiitives ^ ^ Ueu qui Tenviromie. Représentons par x la distanœ à bqM^* i «n instant donné, oette moléenle «e trouve de éa potfûm d'équilibre , et par v sa vitesse au même instant; admettoitf ^ pins que la force ineonmie qm la raniène aok iJÊit-mâmt F>^ pmtîonn^e à la <Sftanoe x\ et exprimée par mx.

Les éqnations dn -mouvement seront ;

^=ax et P = —^,

CHAP. V. — KOTIOM TUtORIQUES. Ul

J!émVcm ta»

tut;?

#^1' = — axda:\ f^ = — aar*4-c et x =

GeMe Tmlettr «le x, sab«dluée ikns la pi'ciiueit' éqoation , doime

dt=^ =g;

en plaçant l'origliie du ten^ à rorigine du mourement, c^est-à" fire en supposant que Ton a à la fois ^=0 et i^=: 0. U en résulte

Li fiteMC efll doac pénodiqne : d*iJM>rd nuUe ponr f =0, eHe pmA lies Trieura croïKanfes, à Mesure «pie le temps «ogiMnie ,

jusqu'à ce que /v^ = -, qui donne pour vitesse maxiipum

r=r%^4 t rolifiMinf à croître, la vitesMe déeroity et rederîent

■de po«r ly^zrfTj ao delà de oe point eHe est n^gathre, c'està-dire que le mouTement s'exécute en sens contraire , et dans cette nouvelle direction atteint la m^e vitesse maximum /r,

lonque ^ %^a=; — ; enfin ces viteses négatives décroisôeot à leur

tour, conmie les vitesses poMtives s'étaient accrues , et Ton retombe sur if = 0 pour t vG=: 2ic.

Ainsi, rbypothèse d'une force proportionnelle à Técartement de la molécule conduit pour cette molécule à un mouvement de Tibration ou d'oscillation, tout à fait analogue au mouvement de la molécule pondérable qui fait partie d'une onde sonore.

Ces vibrations sont isoclu'ones ; et , en prenant pour unité de temps la durée d'un vibration entière , c'est-à-dire d*une allée et d'un retour, la constante a, qui est relative à l'intensité de la fbrce, <fisparaît, et la vite^ prend la forme générale

^ =: m sin 2<f .

Alors la constante m, qui est une longueur, représente , non pas Fécart de la mi^écule, mais la vitesse maximum qu'dle possède à l'instant où elle repasse par sa position primitive d'équilibre. On comprend en effet , en vertu de l'isoclironisme , que la durée de la vSiratîoii restant la même, la vitesse maximum du mi- Keu de l'excursîen puisse passer par tous les degrés de gran-

deur, depuis une valeur presque nulle jusqu'à une Tileur prescpe infinie.

Cette valeur de la vitesse de vibration peut se construire géométriquement de diverses manières : si Ton décrit, par exemple, un cercle de rayon m , la série des lignes perpendiculaires à un diamètre représentera bien la série des valeurs de p\ mais cette représentation aura l'inconvénient d'être indépendante de l'amplitude des vibrations; si l'on trace au contraire à angle droit deux lignes aa' et niw! (Pl. 36, Fig. 9), qui se coupent en leur milieu I la première étant égale. à l'amplitude de vibration, et la seconde au double du coefficient m, et que sur ces Ugnes comme axes l'on construise l'ellipse ama'm\ il est fecile de voir que la molécule vibrante^ soit qu'elle aille de a en a' y ou qu'die revienne de a' en a, aura pour chacune de ses positions p^ mie vitesse représentée par la perpendicidaire correspondante sf pour le premier cas, ets'p pour le second.

En représentant par/; la demi-amplitude de vibration, les demiaxes de cette ellipse seront m etp, et son équation auralafome

On voit de plus qu'à un instant quelconque du mouvement, la distance op=^x de la molécule '^à sa position primitive o sera

.:r = — y//<* — /*; et comme 7 = m sin 2«/,

X =/> ces 2ic/.

Proposition II, Une vibration primitive, en se communiquan àl'éther, donne naissance à des vibrations longitudinales et a des vibrations transversales. On admet que ce sont les vibrations transversales qui produisent la lumière; alors, à une distance z de l'ébranlement primitif, assez grande pour que Tonde soit plane , dans l'étendue du faisceau de lumière que l'on considère, toutes les molécules d'éiher qui se trouvent sur la section perpendiculaire à Taxe de ce faisceau , vibrent ensemble d'un mouvement conunun et parallèle , sans sortir du plan de cette section, et leur vitesse de vibration est exprimée par la formule

^ = a sin 2'K{t — z).

L'unité de temps est toujours la durée de la vibration primi* tive qui se conserve la même à toute distanct.

La distance zèsX exprimée en prenant pour unité la longueur d'ondulation , qui caractérise l'espèce de lumière , et qui reste mjonn la même dans le même milieu.

On peut aussi considérer z comme représentant la phase de vibration.

Le coeiBcient a est une longueur * dont F unité est arbitraire ; eulement cette unité doit être la même pour toutes les vitesses [ue l'on veut comparer entre elles.

0^, ou le carré du coefficient de vitesse , représente l'intensité le lumière.

Supposons , en effet , que le mouvement primitif de vibration loQt nous venons de parler, s'accomplisse dans un milieu où éther soit homogène, et partout de même densité et de même lasticité; il est évident qu'il se transmettra de proche en proche ans toutes les directions. Mais nous ne considérerons ici- que la ansmission qui se fait perpendiculairement à la ligne de vibraon aa' (FiG. 10 ) ; alors, dans le plan de la figure, comme dans m les autres plans passant par aq\ les molécules , progressive-lent ébranlées , passeront successivement à drmte et à gauche e la perpendiculaire o/; si bien qu'à un instant donné, par lemple, après 10000 vibrations entières de la molécule qui iciile entre les limites a et a', il y aura 10 000 ondulations >urant à la suite Tune de l'autre sur la ligne oL Ces ondulation nom des longueurs .égales , et la longueur de chacune sera ^le à la distance à laquelle le mouvement s'est propagé sur dl endant la durée d'une vibration entière. Il est certain que

iongueur d'ondulation doit être quelquefois beaucoup .plus "andequc T amplitude de vibration, puisqu'elle se conserve la ^e poar toutes les amplitudes grandes et petites ; mais Von ' peut pas dire d'une manière absolue que l'ampUtude ne prend tnais une étendue comparable à la longueur d'ondulation elleême.

Soit z la distance au centre d'ébranlement d'upe molécule m ■ ol , cette distance étant exprimée en prenant pour unité la «gueur d'ondulation; la vitesse t^ de vibration de cette moléle peut être, représentée par la formule

çsna sin 2it(f— -8), origine du temps étant toujours l'origine du mouvement qui se

i70 LIVRE VI. — OFTIftUE.

fkit sur aal et Fimité de temps ët^at toojoon k darée d'me vibration..

Tant que t est plus petit cpe z^ l'arc 2w (/ — a) est négatif^ ^ cela signifie que le mouYement n^est pas encore porreua à k bdlécule m ; mais t continuant à croître , t — z prend suooesifement les yaleurs 0, >, |, |^ 1 , qui correspondent à TorigiDe da mouyement, à la vitesse maumum a, à la vitesse mUe qui lermine la première moitié de la Tibration, ptûs aox TÎtesaes ncgttiyes qui correspondent à la seconde mokié.

Le coefficient a, qui exprime la vitesse maximum de h mofecule m, est sai» doute dépendant delà distance js et de la TÎtese maxinHmi qui se produit en mi \ mais en considérant la distance z comme trcs-grande, on peut regarder le cocffiôcrt comme constant pour des yaleurs de % très^Toimes Tme de l'autre.*

Ainsi, dans ce mode de propagation, la direction da njon Imnineux est la Kgne f>/, et les monyements de Fédier présentent ce double caractère : 1* ils s'accomplissent transversalennit et perpendiculairement au rayon; 2^ ib se cxmseryeni dn^ai plan déterminé , passant par la Hgne ad de TébranleoMat fnmitif.

Les mêmes mouvements s'exécutent avec les mtoes périodo et les mêmes caractères , dans tous les plans méridiens d'un cylindre, ayant pour axe la ligne tta\ et pour rayon li distnM» wwt= jj; la surface de ce cylindre est alors ce qu'on appelle h surface de ïonde^ parce qu'elle contient tons les pointe qui lecoivent au même instant le mouvement émané de la mène ongnie. La génératrice g^ de ce cylindre ne doit pas être tanee à la longueur aa\ qui marque l'amplitude du mouvement primitif, mais elle augmente à mesure que l'onde se propsge pl«* loin, car il est nécessaive seulement que les distances og 9%og soient sensiblement égales à la distance om. S'il pouvait n'eii*' à la fois qu'une seule molécule vibrante de a en a\ telle que nous la considérons ici, elle ne produirait pas une lunière i^ lement intense dans tontes les directions; le mocrrement qa*eie excite, par exemple, sur le prolongement à^aa\ n'est paspropre à exciter la sensation de la liunière, bien qu'il soit analogue i celui qui constitue dans l'air l'onde sonore ; et il paraît que dm* fes i£rections obliques comprises entre om et otty l'îmewîl^ de

CHAP. V. -* mTIONS THeOUQUES. 47f

la luttià« kah ea draroissanft suÎTsiit .une certaine toi. C'est [Murqw» nooft comsiAttooA parricnlièreiem l'onde cyËndriqne, admetfaml aiaâ que le BumreBient vibratoire qui coostiine h lumière, s'exécule smx la surfaice même de Fonde et pefpei»* 'iicuhiremettt à la lifpe de tfansmissîoa ont , ou an rayon hst^ mineux.

La IpngBeor moyenae des cmdulationa UiBÛnenses TisîMea tétant d enrâoo & dix-millièmes dé millimètre^ o» pent présumer ({ue Famplitude oa' des iriln'ations n'atteint pas ordinairement («tte limite ; il suffit par conséqpaent de considérer le mouTement wbratoire à quelques décimètres de la source qui produit la InnûÎTe, pour être autorisé à dire que cette distance est très^grandto par rapport à Tamplitade du mouvement. Alors, si Ton ne coa>« Mtlère en même temps qu'une petite étendue de l'onde eylindri* que on tous les momvemeais sont concordants, il est permis de (lire que Y onde est plane et perpendiculaire à la direction dir i^yon lamÎBeux, ou, {dus exactement, perpendiculaire à Vaite du iaiâceau de lumière* Réciproquement, étant donné, sous ces conditioBs, un faiscean de lumière, résultant d'un mouvement (^'lémeotaire permanent^ on se représentera sa constitution phj- >ique, en imaginant un plan perpendiculaire à son axe, et en> lonoeTani que tontes les molécules d'éther, contenues dans cetttr action, vilnent en quelque sorte tout d'nne pièce, glissant dans ce plaa d'un mouvement commun de va-et-vient, tonjoia^ pa** wllèle à la direction de l'ébranlement primitif.

La formule i^=asini«(^ — .3), qui n'était d^abord relative quà une seule m<décule,> s'applique évidemment à toutes les mcH^ lécules de la section que nei» venons de considérer ; a, f, et r ^J^i m même kistwil k mmm valeur pour chacune d'elles^

Corollaire 1. Il importe de remarquer que l'expression de la vitesse n'éprowe aucune akérarbon lorsqu'on retranche, soit de f, ^^ de ^ toutes les noacés entières qu'ils contiennent. Soient en ' effet /=/! 4-0; js=/i'-|-ç; il eu résulte

5hr(f— 2) = 27r (/i — «' -f- ô — 9),

^^ par eenséquent sin iw (^— 5)= sin 2« (e — «p). Alors <p est une ^^actian positive Gom]rôfie entoe 0 et I ; et cenmie l'unité est ici la longueur d'ondulation, ^sera une firactîon de longueur d'on*» ^'ulsttioa. Conmie il arrive d'aiUéuBs quie^ les diverses péiiode»

d'une vibration entière correspondent exactement aux diverses portions d'une longueur entière d'ondulation, nous pouvons admettre aussi que <p représente la phaselàe vibration, c'est-à-dire que la molécule vibrante se trouve à ses points de repos pour ç = 0 et ^, et au milieu de sa course d'allée et de sa course de retour pour ^ = J et |. Cette substitution de la phase à la distance ou à la longueur d'ondulation a quelques avantages'^ lorsque l'on compare entre elles ^plusieurs ondes arrivant sur «ne molécule; car au lieu de dire que ces ondes ont parcouru des chemins dont l'un surpasse l'autre, par exemple, de deux vibrations et un quart, il sera permis de dire que là différence de leur phase est d'un quart de vibration, ou qu'à l'instant où la molécule serait à son point de repos en obéissant à la seconde, elle se trouverait juste au milieu de sa course à! allée en obéissant à la première ; ce serait le miUeu de la [course de retour pour une différence de \ de vibration.

Ainsi, en conservant t el z dans la formule des vitesses, nous pourrons indifférenunent considérer z comme représentant une distance à l'ébranlement primitif ou une phase de vibration.

Les ondes ou les vibrations concordantes sont celles pour lesquelles z diffère d'un nombre entier de longueurs d'ondulation, ou celles qui ont même phase ;* les ondes ou les vibrations non concordantes sont celles pour lesquelles z ne diffère pas d'un nombre entier de longueurs d'ondulation, ou celles qui n'ont pas même phase.

Le faisceau dont . nous venons de parler, dont la vitesse est pr=za sin^Tz [t — z\ appartient à une couleur rigoureusement simple et élénientaire, qui est caractérisée par la durée de la vibration, ou par la longueur d^ondulation qui en est une conséquence, puisque toutes les vibrations de même durée se communiquent à la même distance dans le même temps, et que les vibrations d'une moindre durée donnent des ondes d'une moindre longueur.

Corollaire 2. L'intensité de ce faisceau est dépendante de a, ou de la valeur du coefficient de vitesse; or, quand cette vitesse arrive au fond de l'œil, pour agiter l'éther et produire en nous la sensation de lumière, Tefifet physiologique varie sans doute comme l'effet mécanique : celui-ci étant proportionnel au cairé de la vitesse, on admet que l'effet physiologique est dans le

CHAP. Y. — MOTIONS THtORIQUES. 473

même rapport, c*eftt-à-*dire que V intensité d'un faisceau de lumière est représentée par le carré du coeiBcient de la vitesse de ribration*

Mais Ton ne peut comparer ftinsi que les intensités appartenant à la même couleur, car^ pour deux couleurs difFérentes, les durées de TÎbration étant diflerentes, les alternatives de repos et de mouyement deviennent inégales, et il n'y a plus de comparaison physiologique possible; c'est au reste ce qui arrive aussi dans les vibrations sonores : 'il n'est pas moins impossible de comparer les intensités de deux sons, l'un grave et l'autre aigu, ]ue de comparer les intensités de deux couleurs, l'une rouge et i autre violette.

Ccrollaire 3. Enfin,nous devonsajoufer que le faisceau élémen- ^ dont nous venons d'indiquer les caractères, est un faisceau \^ lumière complètement polarisée ; car la lumière polarisée est elle dont les vibrations sont toutes parallèles entre elles. Nous dmettrons, avec la plupart des physiciens, que dans un faisceau olarisé, le plan de polarisation est celui qui passe par l'axe du lisceau et qui est perpendiculaire au mouvement de vibration, e telle sorte que les molécules vibrantes passent alternativement dun côté à l'autre de ce plan; ainsi le jo/a/t de polarisation est en réalité que le plan d*équilibre.

Ces définitions une fois posées pour une vibration simple, ou ^uruneseide onde lumineuse, nous allons voir maintenant com- UfinTon peut trouver la résultante de plusieurs mouvements virûtoires, sous la double oonditiçn qu'ils appartiennent à la même f^ de lumière ou xju'ils aient exactement la même durée,, et ^ils se propagent suivant la même ligne, c'est-à-dire, qu'ils >nnent naissance à des faisceaux de lumière dont les axes *ient sensiblement parallèles.

Proposition III. Deux vibrations rectangulaires concordantes ^vent toujours être remplacées par une seule vibration résulote, dont la direction et le coefficient de vitesse sont repré- Dtés par la diagonale du rectangle construit sur les coefficients vitesse des deux vibrations composantes.

Soient i^en a9m2'K(t — z) et •''=a'sin2it(/ — z) les vitesses de ^rations données.

Sur les axes iwr, oy (Fio. 12) qui représentent les directions de ^ vibrations dont V^et va se iaire sentir sur la molécule o ,

il4 LIVRE VL — OFTIQUiL

prenons àes loogueura (m et oa* égales ikwl coefficieHis s et é^, et construisons le rectangle, la diagonale o& donne ht érection de la vibration résultante, et sa longueur b en donse le coefficient de vitesse. En effet, puisque les TÎbrations sont concordantes, la molécirie o est toujours au même instant sottîckée par des vitesses proportionnelles a a et a', tantôt dans les sens ex^ ojr, tantôt dans les sens «tr', oy ^ EDe doit donc toirjonrsseinoiK voir de o vers & on de a vers b' . Ain^ la direciioa de la diagonale est la direction de la vibration résultante, Sok » sa vitene, elle aura la. forme a= fr sin ^ (i — z): et comme Ton dokaifoir à chaque instant a* = (^ 4- m'*, il en ïésnlle é^ = a* -f- «^.

On voit que dans ce cas Tintensité de la lumière de TiHiderfsoJtante est égale à la somme de» iotensilés des ondes, compoaraim.

Coroltaire I . En se rappefamt ce que no«s avf>n# (fit tout è Theure du caractère ée la lumière polarisée, on vok pnfeffle- * ment que deux Êûsceaux élémentaires , polarisé» à angle dirdt et concordants, Fnn d'une vitesse a et l'antre d'aune vitesse ff, se résolvent toujours eit tm seul faisceau polarisé dbn» mi plas/^y (£ui Ëiit arec le plaa de polarisation oy dn premier fignsoeM qoi

viBre suivant oœ^ un angle to tel que tang c«>= — ; cet angle est

de 45^ quand on a a=:a\ c est 4 dire, qaftnd kftd^WLfaîsctatf ont la même infiensita.

Corollaire i. Réeiprocfvement, une vibratiott dmiMepeatKM* jour» se décoaBpeser d-one infinité de manières en deux vibrations rectangvknves, et toutes ce» solutions se rédMent k rme seulç, soit quand ott donne la direction de Fone de ces- vér»tions, soit ^nand on donaie so» cœffioicm de TÎlcsBev p^*»^ qu'il soit ptns petk qœ cdoi de la vibration douKr.

Prenons ob pour la direction de k vibratiog ittHÊée < u s=,kùm^{i — z) po«r sa vitesse ; ses composaolss p ^ ^ suîifattt les axes oor et e^ sont r=rflBcos«> et i/=rnn«T <"> p=tcosiisin2«(f — z). tft •/ = &sino»9iitiK(r — z)^ 00 «■•■ if=asm^{t — z),. et i/=«'at»a«(f — z) tm fciiiunt ét^J^^^ et a! = bsinta.

Cette pt<^wÂtîoa eiifili«|ne ci jusblie la bà d« Makis (iMOi sur le partage de la lumière polarisée. La vibialiaii q^ •p"'* suiivwt ob n est en efiei aiibre chose qa'm fSgnacea« ë'wÊÊaé»!^ poknsé dana W plan /^'perpendiculaire h la nilaiiiii»; ^ ^

CHAP. T. — NOTIONS lUtOUQUES. 479

axes i9f et OJT rtpmeaieiit, Tim )a section principale éa prâme hî-rcfim^geal, iaiMot «m angle w avec le pbm cie polarisadoB, laiiite la pcrpendkiilanre à la aectioa principale. Le fiûsceav^ ol pdaaîsé <kins la section priiMripale oy est celui qai ^ibce suivant oar, ayant a o« ^cdsm povr coefficicnS Ae yilesse, et par foaséyMPt i^wnfm ponr intenské; le faiscean tfÀ est pokrisé perpendiculairement à la section priacipale est celui qaî vibre dans cette section, ayant pour coefficient de vitesse a' ou ^ sin m et pour intensité t^àn^ w ou i* ( I — cos* to).

Ainsi Faction du prinne bi-rcfringent sur un faisceau polarisé, n'est antre chose c|u'ttne simple action décomposante, transfiormant un mouvement vibratoire qui s'accomplissait dans une 'direcdon luûque et déterminée, en deux autres mouvements nbrafioires qui s'accoaipKsseiit maintenant dans deux autres directioiis perpendiculaires entre elles.

O 6nC cependant remarquer qn^après la décomposifkm qm sô îûr dams le prisme biréfringent, les deux vibrations perpendîculaîres ne peuvent plus être concordantes que sous certaines conditions, à caose de FinégaKté de vitesse des rayons ordinaère et

Corollaire ^. H en résnhe encxire que, sans Fintervention du [râne bî-réfrîngent , tout faisceau d'intensité è^ polarisé dans Tazimut «» par rapport à im plan donné peut être ren^lacé par devx fsiisceanx polarisés à angle droit, Fim d'âne mCensitë i^cos?w polarisé dans ce plan , F autre d'une intensité t^Mn?» polarisé dans un pbm perpendiculaire.

Proposition IF , Les vibrations concordantes, qui, en se propageant sur la même ligne, s'accomplissent dans des directions diverses, peuvent toujours être remplacées par une seule vibration résultante, dont la phase est la même, et dont la direction et le coefficient de vitesse se déterminent, au moyen des dîrecttons et des coefficients de vitesse des vibrations composantes.

Dettx ondes planes, se propageant suîif ant la même lig^e que nous supposons perpendiculaire au plan de la figure 1 1 , arrivent simultanément pour ébranler la molécule o, et pour la faire vibrer, Fune dans la direction oa, Fautre dans la direction W. &i obéissant séparément à la première et à la seconde, la mo* Icccfc premlratt des vitesses

#=s«si»9ir(r — s), et p^s=«'sinSN(<T^js).

Menons par le point o deux axes rectangidaires ox et t^y^ soient m et m' les angles de oa et ool ayec l'axe des x\ ks vitesses V et ç' peuvent être décomposées en denx autres, dirigées suivant les axes ox et oy\^ la vitesse résultante u n'est autre chose que la résultante de deux vitesses rectangulaires, Tune i^cosw-4-f>'co5fi>' dirigée suivant ox^ l'autre i^sin«àH-(^râi»' dirigée suivant ojf on a donc :

w' = {yco^iù + sf costo»')* +(«/sina) + f'sin «')* = ^ H- «>'* + 2^1/' cos(w — » ) ;

d*oii il résulte, en substituant, pour 9 et 9\ leurs valeurs:

u t= Asin 27c(f — 5), et h =V of^ H- «'* H- 2aa' cos (« — «'}.

Ainsi , de même qu'il existe toujoui*s une force capable de produire, sur un point, le même effet que deux forces distinctes qui le sollicitent, il existe toujours aussi une onde unique capable de remplacer deux ondes, concordantes. Cette onit résul' tante est caractérisée, comme les ondes élémentaires, par la direction de son mouvement et par le coefficient de sa vitesse; or ces deux données s'obtiennent par cette construction très-simple : considérez les coefficients de vitesse des ondes composantes comme des forces dirigées suivant la direction même du mouT^ ment de ces ondes, et prenez leur résultante, sa grandeur et sa direction représentent, Tuné le coefficient de vitesse, et l'autre la direction de mouvement de Tonde résultante.

L'angle 6, que la direction de Tonde résultante fait avec 1 aie des or, est donné par la relation :

a sin ttf + a' sin ta

tanff ô = ; ;•

^ acostà -f- a cosui

Il est facile de voir que , pour le cas où les ondes élémentautt sont coïncidentes, perpendiculaires ou opposées, les valeurs de

tu — u'sonto, ô^'^j celles de i sonta-l-fl', ^a*-^fl" etfl— «'

ainsi «' et a'* représentant les intensités des deux feisceauî composants, et l? celle du faisceau résultant, il arrive que, da^^ le second cas, qui nous reporte ii la proposition précédente, Tintensité résultante est é£[ale à la somme des intensités confO' santés; et que, dans le premier cas, cette somme doit être au;-

mentée, et, dans le troisième, dimîauée du double produit des racines carrées des intensités composantes.

Il importe de remarquer ici comment sont comptés les angles u et tt : suivant l'usage ordinaire , ces angles doivent être œmptes à partir de ox et depuis o jusqu'à 2ir; c'est à cette condition que u — m' ou o»' — «m représente fidèlement Tangle que font entre elles les deux directions oa et oa\ angle qui peut luimême s'élever jusqu'à 27c. Pour s'en rendre compte , il suffit de supposçr que la direction oa' devient successivement ob^ oc^ od^ passant ainsi dans les trois quadrans qui ne contiennent pas oa. Mais dans les expériences, où l'on a en général à considérer des plans de polarisation divers, et des sections principales de prismes bi-réfringents diversement inclinées, soit entre elles, soit par rapport à ces plans , il est en général plus commode de ne

compter les angles que jusqu'à -, ou dans un seul quadran : cela

est possible; seulement il faut alors avoir recours à une cot*recûon particulière , pour rétablir les angles avec leurs véritables ijgnes. Cette coirection consiste à ajouter, dans l'expression de la îitesse, une demi-pbase, ou ^, à toutes les vibrations, qui, au lieu d'être projetées sur des lignes elles-mêmes que Ton a choisies pour point de départ, se trouvent projetées sur leur prolongement. C'est ce que nous allons montrer par un exemple : 1^ composantes de la première vibration étant toujours i^ cos lo et p sin u, par rapport au^ axes ox et oj, celles de la seconde vibration seront aussi toujows if' cosvi! et f/'sino)', soit qu'elle ^ trouve dirigée suivant oa ou suivant oi, oc ou od^ et («>' représente alors les angles a'oxy ou box'^ ou cox\ ou dox. Les vitesses totales sur Taxe des x et sur l'axe des/ sont

f^cosco -+- if' Costa

i ifsintù + if' sin w',

'u acosfAsin2ic(^ — z) -+- a' cos w' sin 27r(/ — z)

t aûuiùsin2Tt (jt — z) -+- a' sinw'sin27c(^— «)•

)r, si l'angle w avait été compté à partir de oxj cos ta serait ^tif dans le deuxième et le troisième quadrans; c'est-à-dire , onr les directions ob et oc, dont les projections tombent snr ox' it>]ongement de ox\ donc la formule serait fautive , et pour la corriger, il suffira d'écrire alors à' costù ûn^vQ — z — 5), qui

478 l^nriE ?L — OPTIQCE.

devient. «1 e£Eet — a'cosiri'sm9«(/— -x); de mène sv Tuedb 7, sin Cl)' aurait été négmtif pour les duneocîoiis ocetoifti poor corriger l'erreur il suftit d^écrîre

a'sintd'siii2ir(f — z — 1)^^ — tf'sîn iaàR%T:{t — z),

CTest ainsi que nous ayons ^li procéder en établissant la théorie de Fresnel sur les couleurs des lames'cristallisées (186).

La composition des deux ondes s^étendant à un nombre quelconque, il en résulte que toutes les ondes concordantes qui se propagent en suivant la même ligne , peuvent toujours, quelles que soient les directions diverses de leurs vibrations, se réduire à une onde unique, dont le coefficient de vitesse et la direction de vibration sont déterminés. Cette onde résultante est nécessairement polarisée, puisque c'est là toujours le caractère d*une onde unique.

Proposition f^. Les vibrations non concordantes , qui, en se propageant sur la même ligne, s'accomplissent dans la même èreetioa , peuvent toujours être remplacées par une seule ? ibodon , dont la direction est la même , et doat le ooefSckot Je vitesse et la phase se déterminent au moyen des coeffiâents àe vitesse et des phases des vibrations composantes.

Deux ondes {Janes arrivent à la molécule o pour Tagiter dbas Je plan de la figure , leurs mouvements «ont parall^es, c'est4dhre qu'ik s'accomplissent sur la même ligne; miûs ik sont non coiftOCHxlants, c'est->à-dire qua Tinitant où le premier atteint) par exemple, la vitesse maximum, le second n'atteint pas ^ sittuie, et s'en tiouve plus ou moins éloigné; nutts avons danc ici

•^=asin5ht(f — z).

et i^= à sin îir(f — y).

Soit u la vitesse résultante , elle est égale à la somme des fitesses élémentaires , prises avec leur signe; on a donc

u-=-a sin 2it(^ — 2)+a' sin 27r(f — 5'), ou tt= sin 2ic/(a cos 27C2-h«' cos 2ic-3')

— cos 27rf(a sin 2icr-ha' an 2^/).

Soît h cos 2icr=fl cos 2ic54-«' cos Sitî'

h sin 27ïar=a sin 2it2-h«/ sin ^i^z' ^

il est facUe d*en tirer

ti—i sin 2ic(f — x\ et *=V^<^^-a'*^««»' €Oi 2«(»— *'*

CHAP. V. — fiariONS rstiORIQUES. 479

Aaà k vitfisse rétiikantp eii die manie fionne 4{oe les vîfeenes OQuyoiaiUes, on, «a d'autxvs ternies, la molécsle diooil il «'agit reçoit des deux sjwtèaoes d'ondes^ le néme sunifaement qae n «He était sollicitée par un s]rstèine unique^ dont* le poeSiâevÊL de titeste serait i[, et dont la phase serait x.

La valeur de b est de même forme cpie poor les «mdes «onoordantes; seulement Tangle ta — (o' des directions de yibratioiis est iâ Denpiacé par 2v{z — z'), c estp^-dine par la ^mlewr ^mgu-^ lùte de la difEérence des phases.

Quant à la valeur de jr, eUe ae dédnk aîsenaent des â/em éipiatioBs auxiliaires ^ue aous aiFoos posées; on en tire en efifet par Iftliminalion -saocessive de ^, a' et « :

a __ sin27c(x — «') . a sin 2ic {x — z') . 4i* sis tir(r — jt).

fl'""sin2jt(3 — x)' "ï^sinâirlz — z')' "i"" sin27r(z— z')' c'est-à-dire que les sinus des an|[les 2«(j7 — V), 27c(^ — j:), et 2ir(z — jî'), sont entre eux conune les quantités a, a' et A.

Ainsi, en construisant avec les deux coefficients de TÎtesse a et (/, wi parallélogramme dont Tangle soit égal à la valeur aagolam de ha diflEérence des pliases , la diagonale de ce paraliâognmnBe reprâeiate la valeur de i, et les angles de cette dia- ( fooale arv^ec a eSiti sont les vaieurs angulaires des différences de/;phase entre Tonde résultante et la deuxième onde , et entre la premièie onde et Fonde résultante.

Nous avons trouvé un exemple i^uArquable de cette eteaposition des ondes parallèles non concordantes dans Texplicatioi/ des couleurs des lames cristallisées (186).

£o poursuivant cette construction pour composer la résultante' avec une troisième vibration, puis la nouvelle résultante avec^ une quatrième, on arriverait à une résultante définitiye, d'unoi c^crtaine phase et d*un certain coefficient de vitesse, représentant) à elle seule tous les systèmes donnés de vibrations parallèles noiv concordantes. )\

Proposition VI, Deux vibrations discordantes, qui, en se propageant sur la même Ugne, s'aceomplissent dans des directions différentes, ne peuvent pas en général être remplacées par une vibration unique , mais elles peuvent toujours l'être par deux vibrations discordantes dont les directions sont perpendiculaires.

Les rimiiri des deux vibrations dont il s'agît étant

if=zaûn2'K{t — z)y et f/ = a'sia27c(/ — z\)^ désignons par m, m les angles de leurs directions avec 1-axe des x; la première donnera avec les axes deux composantes v cos w, t^ sin w, et la seconde deux autres composantes f/'coso»', i^'sinw'; les angles 0) et (ri 'pétant comptés jusqu'à 2?:, les vitesses totales seront l'cosw + f^'cosco' sur Taxe des Xy et t^tkta-i-p'sintà sur Taxe

des/.

Soient u la résultante de ces deux vibrations discordantes qui sont dirigées sur Taxe des x, et b son coefficient de vitesse; soient de même u! la résultante de celles qui sont dirigées sur Taxe des /, et b' son coefficient de vitesse. En procédant comme nous venons de le faire dans la proposition précédente, il est &cile de voir que Ton aurait

u=z &sin2it(f — x); A* = a* cos' w -H û'* cos*f«>+ 2aa'cos«i> cosa>'cos2Sc(^ — ^')î

u' = Asin2it(f — x'); i'* = a*sin'w-|-a'*sin'w -|-2aa'sina)sin«'cos2ic(js — z').

Or, pour que ces deux résultantes perpendiculaires entre elles fussent concordantes, il faudrait qu'elles eussent même phase, bu que Ton eût j:=x-; condition qui pour être remplie, exige* râit que Ton eilt

sin2^(x — jz') sin2'ït(a:' — z') a cos ta asin»

sin 2'k{z -p- x) sin2it(j3 — x') • a! costù a' sin w' •

ou, enfin, sin (w — <o') = 0 , c'est-à-dire w — w' =^0 ou x.

Les deux résultantes dont il s'agit ne seront donc jamais concordantes, à moins que les deux vibrations composantes ne s'accomplissent dans la même direction, ce qui nous ferait retomber dans le cas précédent. Ce cas excepté, deux vibrations discordantes ne peuvent donc jamais être remplacées par une A'ibration résultante unique; mais elles peuvent toujours être remplacées par deux vibrations perpendiculaires discordantes.

Le résultat auquel nous arrivons id peut évidenunent s'étendre à un nombre quelconque de vibrations, puisqu'on aurait alors

u=itf cos a)4-«/' cos «'-!-«>* cosfti' -+- etc.,

et u' =i/ sin w + 1^' sin w -f- f/* sin »*+ etc.

Ainsi toutes les vibrations discordantes et non parallèles qui

CHAP. V. — NOTIONS THÉOftIOUES. i^i

peuveot agir sur une .molécule d*éther, sç résolvent en dernier résultat eu deux TÎbratious perpendiculaires discordantes.

Proposition Fil, Deux vibrations perpendiculaires discoiw (lautes peuvent être remplacées par une seule vibration quand leur différence de phase est d'un nombre quelconque de demKloDgueurs d'ondulation; mais ce cas excepté, elles donnent naisôance à un mouvement qui cesse d*êu^ linéaire; la molécule sur laquelle elles agissent décrit alors une ellipse dont les axes out des 'portions et des grandeurs relatives difiTérentes suivant la (lifTérence des phases et l'amplitude du mouvement des vibra* tions composantes; cette ellipse devient un cercle lorsque ces vibrations ont la même amplitude , et lorsque en même temps la difTéreuce de leurs phases est d'un nombre impair de quarts de longueur d'ondulation.

Deux ondes planes arrivent à la molécule o (Fig. 13), pour Tagiter dans le plan de la figure ; leurs mouvements vibratoires soQt perpendiculaires, l'un s' accomplissant suivant ox^ l'autre boivant ojr\ les vitesses u et ç' qu'elles impriment au même instant, dans le sens de ces axes, sont ^ = asin27c(^ — zj, f'=a'sin2ir(f — £). En vertu de la première, la molécule se trouverait sur l'axe ox, à une distance x de l'origine, telle quex=/?-cos2i:(^ — z)\ en vertu de la seconde, elle se trouverait sur l'axe ojr k une distance y de l'oiîgine, telle que 7=/>'cos2^(^ — z)\ p et/;' sont les demi-amplitudes des mouvements de vibration qui seraient excités séparément par la première et par la deuxième onde. En éliminant le temps t euti*e ces deux équations, on obtient les coordonnées a: et / de lu molécule, pour un moment quelconque de la durée de la vibraliou, et par conséquent l'équation de la courbe qu'elle décrit pendant cette durée. Posons pour cela

z'—z=Zy , et 27: {t—z')=2% {t—z—^)\ il en résulte :

y=^p' cos 2îc [t — z) cos 27i5h-/;' sin 2t. {t — z) sin 2icc.

On a d'ailleurs :

cos27:(^ — 5)= -, sin27:(f — z)=z-^j/ — x*;

ai substituant ces valeurs dans l'équation en j, et en élevant au carré, on trouve :

/?y -f-/>' ^j^ — 2 J7/>y cos 5 ^p^p'^ sin' 5, II. 3f

482 LIVRE VI. — OPTMUIE.

qui "est réquation d'une ellipse ; donc deux ondes qui se propagent siu* la même ligne, et dont les vibrations sont perpendiculaires et discordantes , au lieu d'imprimer aux molécules des vibrations rectilignes, impriment en général des mouvements elliptiques et continus.

Pour ne pas entrer dans trop de détails , nous suj^MHerons que les deux ondes ont des amplitudes de vibration égales ou p'^=p' ; alors Téquation

j* -h^ — 2r/ cos StcS ==/>' sin* 2ir5

i*eprésente une ellipse dont les axes font des angles de 45* avec les axes coordonnés (Fig. 1 4) ; Taxe des af ayant la position oar' et Taxe des^ la position o/. En représentant comme à Tordinaire par a le demi-axe des a: , et par b le demi-axe des ^ , il est facile de voii- (pie Ton a pour les grandeurs de ces axes

p sinSirS /x • f.

0 = -^. r =/?v2 . sinirS,

^2 COSTCO ^ ^

, p sinÎTcS /- ^

' Par conséquent a* -f- i* = 2/>*,

quand la différence des chemins parcourus z — z ou 3 est égale à un nombre entier ; ce qui signifie qu'elle est égale à un nombre juste de longueurs d'ondulation, sîn 27:5== 6, cos 27rS= l,ctjr=x, C'est-à-dire, que Tellipse devient une ligne droite of ; 'ce qui était fitcile à prévoir , puisque alors les ondes sont concordantes.

Quand z — ^= — ^~y ^^ ^^ nombre impair de demi-longueurs d'ondulation, sin27rô = 0, cos2ic5=: — 1 et /= — jr, rdlipse devient encore une ligne droite dirigée alors suivant ox •

Quand x' — ^2= — j^ ou un nombre impair de quarts d'ondulation, sin27cS = dbl, cos2i:5=:0, 7^ -|-:c*=/?*.

L'ellipse devient un cercle dont le diamètre 2p est égal à I^am-

.plit\ide du mouvement de vibration. Pour /i = 0, j5'-^5= -•

Le second rayon est en retard sur le premier d'un quart d'ondulation; ainsi^ quand la molécule est à Texti^émitéde sa course ou en repos en y;, elle reçoit Timpulsion du second rajon qui est alors au maximum de vitesse, parce qu'il lui reste un quart de vibration à faii-e pour arriver au repos en /?' ; la rotation sur le

CHAP. V. — NOnOHS THfiOmQUES. 483

cerde s'acowÉ^^il dovie de droite à Hanche. Au contnâre, pour

«=1, jb' — '^ = 7> quand la molécule est en/?, le second rayon,

({ui a encore trois quarts de vibration à faire , est au maximum de vitesse; mais il Ta de o en q\ par oonsécjuent il fait passer la molécule qui est en p au-dessous de l'axe des x^ et lui imprime ainsi un mouvement de gauche à droite. En généralisant, on voit que le mouvement de droite à gauche a lieu pox^ n pair, et celui de gauche à droite pour n impair.

Enfin, quand la valeur ;;' — z n'est pas comprise dans Tune des trois séries précédentes , le mouvement est toujours elliptique, et le grand axe de TeHipse est tantôt sur ox\ tantôt sur oy , suivant que les valeurs de z — z' se rapprochent de celles qui donnent lieu à une vibration linéaire sur la première ou sur la seconde de ces lignes (Fig. 14).

C'est par cette composition des mouvements perpendiculaires et discordants que nous avons pu rendre compte dés phénomènes de la polarisation circulaire.

Proposition P^III. Un faisceau de lumière naturelle dont l'inten^ité est représentée par 1, peut être considéré comme composé de deux faisceaux polarisés à angle droit, ayant chacun une intensité égale à |, la direction absolue du syàtème des deux, plans de polarisation restant arbitraire. Imaginons en effet deux Taisceaux polarisés à angle droit, et se propageant dans la même 'igné; soient ç et ç'^ leurs vitesses, z et z' leurs phases, a et a' leurs coefficients de vitesse, on aura

i/= a sin 2«(^ — -s), i^* = a' sin 2ic (jt — z'y

^'ensemble de ces deux figdsceaux ne pourrait pas être regardé *^inme représentant de. la Imtaiere naturelle, si, en traversant un ^rismebi-réfiingent, ils ne donnaient pas deux images de même iiteosité dans tontes les positions de la section principale ; car <^t là Von des caractères de la himière naturelle ou non- pola- ^. Goncerons donc deux axes rectangulaires a.r et ojr^ le se- ^d représentant ht section principale, et le premier la ligne erpendiculaire à cette section ; soit lo Tangle que le plan de p6risation da premier faisceau -fait avec oy, et par conséquent ^i l'angle qne sa vibration fait avec Taxe des a: ; la vibration

i second faisceau fera avec le mèttie axe tm a'ngle o)' = oo + -.

Décomposons maintenant chaque vibration en deux autres dirigées suivant les axes ; les composantes de la première seront v cos 01) sur Taxe des x, i^ sin (o sur l'axe des / ; celles de la seconde seront tf' cos ta et </' sin u>', et eil cherchant, comme nous l'avons fait (propos. VI), les coefficients de vitesse i et i' des vibrations résultantes sur chaque axe, nous aurons

b* = a* cos* (0 -h a'* cos* w' -f- 2aa cos w cos «' cos 2:r (z — z) '

A'* = a* sin* Cl) 4- a'* sin* w' -+- 2aa' sin oo sin co' coj 2:c (2 — ;;'); •

ou, à cause de <o' = w -+- -, et de a = a' ,

i* =a* [1 — sin 2«i)COs2it(z — 2')], i'* = a* [14- sin 2a) cos 2it {z — z')].

i* est Tintensité de l'image ordinaire, b'* celle de Timage extraordinaire; par conséquent il faudrait que l'on eût sans cesse i»=i'*=a*.

Or cette condition peut être remplie de trois manières, savoir : par les valeurs^ changeantes de u), par les valeurs changeantes de z — 2', et par les valeurs changeantes simultanées de « et dei— ^ • (Voyez propos. XI.)

1** Si Ton suppose en effet que la section principale du prisme ib-réfringent reste fixe , et que cependant l'angle «, changeant sans cesse, sin 2ta prenne autant de valeurs positives que de valeurs négatives dans un temps très-court, égal à la persistance de nos sensations visuelles, les valeurs moyennes de ^ et de i pendant ce temps seront égales ; les deux images ordinaire et extraordinaire auront donc le même éclat, et cet éclat nous paraîtra constant, bien qu'en réalité il soit variable d'un instant à l'autre, mais pour des intervalles de temps que nous ne pouvons pas apprécier.

2* On arriverait évidemment au même- résultat en suppo^*" •constant, mais quelconque , et en sii^posant que c'est la din«rence de phase z — z' qui varie sans cesse, de telle sorte ç»* cos 2w (z — z') prenne dans un temps très-court, autant de ^ 4eurs- positives que de valeurs négatives,

3* Enfin, on arrive encore au même i*ésultat, en supposa"* T* les variations de w et celles de z — z' aient lieu simultanénicn 1 mais qu'elles soient indépendanjtes l'une de l'autre.

Les considérations suivantes tendent à fiiire voir cp« <*^

jernière hypothèse est la plus probable. En effet, quelles que' joient les dimensions d'un corpj lumineux, nous devons nous le ^présenter comme composé d'une foule innombrable de molë- Tules vibrantes, dont les vibrations communiquées à l'éther se )ropagent avec la vitesse de la lumière jusqu'au point où elles irrÎTent à nos appareils , pour être soumises à nos expériences. Reconsidérons d'abord parmi ces vibrations que celles d'une eule espèce , c'est-à-dire , celles dont la durée est la même , et [ui produisent une lumière simple et mathématiquement homo- ;êne ; les centres d'ébranlement qui les ont produites $ont peutkre liés les uns aux autres par une dépendance mutuelle, soit |u'iU appartiennent à nos flammes artificielles, où les molécules ribnntes se renouvellent à cbaque instant, soit qu'ils appartiensleot aux corps solides incandescents , où les mêmes molécules ribrent en place. Mais, en admettant même cette liaison, ana- Qguc à celle qui existe entre les diverses parties d'un corps sonore en état de vibration , il serait encore vrai de dire que les ibratîons parvenues à la distance où nous pouvons les étudier, iontà chaque instant excessivement nombreuses, et, sans doute, iifférentes par leur coefficient de vitesse , par leur direction et >air leur phase. Cependant, sur un point donné , elles ne sont »s réparties d*une manière symétrique, puisque alors leur allante serait nulle, et il n'y aurait pas de lumière. Or, à un ostant donné, composons toutes ces vibrations par les règles précédentes, il est certain que nous arriverons , ou à une vibraion unique qui poigrait être remplacée par un système de deux 'Arations égales rectangulaires et concordantes, ou à des vibraions discordantes et obliques , qui, par la proposition VI, peuent aussi être remplacées par deux vibrations rectangulaires gales, mais discordantes. La première solution n^est qu'un cas Wiculier; la seconde est évidemment le cas général que nous 'cTons admettre. Dans Tinstant suivant, le système de cette foule le vibrations conduira encore en définitive à deux vibrations rectangulaires égales et discordantes ; seulement Jes coefficients le vitesse , les azimuts de vibration et la différence de pbase eront différents; ainsi, en décomposant un temps donné, — de ^nde , par exemple , en autant de parties qu'il y a , pendant 'ô de seconde de vibrations de l'espèce de celles que nous conidérons, nous pouvons dire^ que pour chacun de ces instants

4M UtHE Yl. -— WTIOUE.

l*effiet de tous les centres d'â>raiilMaenti, ou du cotps knùiiaa entier, se résume en un sysftcmq de deux fSbsBftiaBs reotangalaires égales et disoordai^es, mais que d*uD instant à Taute ce système résultant cdian^ d'intensité, d'azimut et de phase.

Il est bon de remarquer ici que, dans la comparaiioB des râleurs précédentes de ^ et de i'^, la valeur de o^ a pu édre legardée comme constante , bien qu'en réalité eHe ne soit pas k même pour chacune des vibrations; mais c'est une soite àê moyenne correspondant à un ten^>s fini, plus grand que ladM^e de la persistance de nos sensatipns visuelles.

Telle est , dans le système des ondulations, l'idée que nous pouvons nous fiormer d'un faisceau de lumière mm pnlansé, appartenant à une couleur simple et mathématiquement bonogène, et produit par un corps lumineux contenant une miilritmie indéfinie de centres d'â>ranlements de cette espèce.

Comme ces considérations s^ appliquent évidemment à diaqœ e^èce de vibration, il en résiilte qu'un faisceau de lumière Manche non polarisé est, en définitive , la superposition d'antaatde faisceaux, cpi'il y a d'espèces de lumières perceptibles, diacim<le ces faisceaux élémentaires étant représenté à diaque iaslaot par des vibrations rectangulaires égales et discordantes, dont kl coefficients de vitesse , les aziomts et les phases varient d'aa instant à Tautre, de telle sorte que dans un temps très-court, sin2ci)cos2ic(^ — z') prend autant de valeurs posûîfes qœ.di valeurs négatives.

Ainsi, un faisceau de lumière blancfae no% pcJarbé peutaitftt être représenté par un système de deux faisceaux polariaasà ^ gl^ droit, ayant même intaisité , l'azimut des plans de pohnsadon restant arbitraire.

Corollaire. D'après cela , polariser par réfUœkm un Êûasen naturel et homogène, c'est dianger la direction d'une. partie'(ka v3>rations qui le constituent, de manière (fue toutes celles qv se réfléchissent soient ramenées exactement dans le mim» pi^> akn», tout rayon polarisé dans un plan donné, peut être oé* composé d'une infinité de manières en deux vibrations rectangnlaires concordantes, et d'une seule manLm en deux vibrattfs* rectangulaires concordantes et égales.

11 en est de même pour la pobarisation d'un fiaisce»» Ui»^

Pareillement, /N>/ari«^r/Mir r^/roc^/i, soit par Vinteiun^diii*^

d'un milieu diaphane, comme l'ean ou le Terre, soit par Tintermédiaire d'un milieu cristallise quelconque , c'e^t aussi ramener ou tourner dans \e> même plan les vibrations transmises. Mais les milieux cristallisa jouissent de celte propriété de ramener eh général les vibrations dans des plans perpendiculaires entre euXj et par conséquent de produire en général deux faisceaux polarisés à angle droit ; tantôt ces faisceaux sont bifiirqués ou séparés l'un de Vautre , comme dans le prisme hî-réfringent , syr lequel nous venons de raisonner ; tantôt ils continuent à se propager dans la même direction, et il nous reste à voir quels sont, lans ce cas, les phéncmiènes aux(|uels ils donnent naissance, *est le sujet des deux propositions suivantes, IX et X.

Proposition IX, Un fjaisceau de lumière naturelle qui a trarersé une lame de cristal à faces parallèles, forme encore yn •ystème de deux faisceaux égaux, discordants et polarisés à àn- ,4e droit, et, entre ce système et celui qui constitue le faisceau laturel , il y a un caractère dîstinctif , qui se manifeste par le léplacement des franges diflractées.

En appliquant à une lame cristallisée , dont les faces sont paallèles à Taxe, les raisonnements' que nous venons de faire pour le )risme bi-réfringent, nous arriverons au même résultat pour les ipressions des images ordinaires et extraordinaires, savoir :

A* =o*[l — sin %tù cos aiï(^— rz')], A'*=a*[î-f-sin 2w cos 27r(^ — 2')];

^parles mêode» raisons nous aurons b^zsib'^:=tcf. Car la seu))e lifférence qui existe entre la lame et le prisme est celle-ci : en otiant dasis la lame, les deux vibrations rectangulaire^ n'ont Qtre elles «[iie leur dîflerence de phase naturelle z — z\ et ^te différence serait rîgoui^eufienieut conservée, si le rayon rdinaire et le rayon extraordinaire se propageaient avec la léme vitesse, dans Tintérieur du cristal dont là lame est comry osée; maïs puisque ces vitesses sont différentes, au sortir de la u&e, la différeace des phases de Tun des rayons par rapport laiore, sem augmentée d*vae quantité constante t, dépeurr aote de répaisseur de la lame. Or, puisque qou& admeltooik lie, dans un temps très-court, la différence naturelle des pha- "s 2 — z' passe par toutes les valeurs comprises entre 0 et 1, il

est évident que z — ^' -h « passera , quel que soit e , par tous les «tais de grandeur compris entre /? et /i-f-l. Par conséquent, au «.^rbr de la lame^ les deux faisceaux polari^ à angle droit, lim dans la section principale, l'autre dans un plan perpendif'ulaire à cette section, auront encore des intensités égales entre i^Iles, et égales à a*. C'est le système de ces deux faisceaux qui reniplacera le faisceau naturel. Il est évident qu'il a la même intensité que lui pour chacune des couleurs élémentaires, et cju'il a , par conséquent , en définitive , la même inteis^té et la même couleur ; mais il en diffère par les caractères suivants : 1^ Tazimut des plans rectangulaires de polarisation est fixe au Heu de rester arbitraire; 2** les deux vibrations rectangulaires discordantes, qui, avant l'interposition de la lame cristallisée, :irrivaient au même point , à un instant donné , ne peuvent plus sirriver au même instant , puisque l'une d'elles a éprouvé sur Tautre un retard e dépendant de l'épaisseur de la lame ; c'est ^précisément ce retard qui produit un déplacement dans les r-anges diflfractées (184), lorsque sur. les deux portions dun rayon naturel qui doivent interférer, on interpose deux portions d'une même lame cristallisée, avec l'attention de croiser les axes.

Proposition X, Un faisceau polarisé, qui a traversé une lame cle cristal à faces parallèles , dont l'axe est incliné de 45* sur le plan de polarisation , se trouve par là transformé en un système If le deux faisceaux égaux, discordants et polarisés à angle droit; maïs entre ce système et celui qui constitue un faisceau natureii il y a des caractères distinctifs qui se manifestent, soit paries railleurs complémentaires plus ou moins éclatantes dont se révèlent les deux images produites par un prisme bi-rcfiingcï*M soit par les bandes plus ou moins nombreuses qoi se développent dans les spectres résultant de ces images.

Soit M=:«siçi27t(/ — z) la vitesse de vibration du rayon polarisé, et oa sa direction (Fig. 18); menons les deux ^^^ ^ tangulaires ox et o/, ce dernier représentant la secrion pnncip» de la lame cristallisée ; soit o» l'angle qu'elle fait avec le pla" polarisation W . Les composantes de la vibration donnée ^f^ s«r oj, c'est-à-dire pour l'image ordinaire ,

pz=iu sin (id=A sin oi sin 2ic(/ — z)^

CHAP. Y. — NOTIONS THËOMttUES. 489

et sur or, ou pour Timage extraordinaire ,

p' = a co» » sin 2ic(/-.— r) ;

au sortir de la lame, les phases des deux vibrations, qui étaient les mêmes en entrant, deviendront différentes, à cause du retard qu'aura éprouvé celle des deux vibrations qui se propage le plus lentement. C'est ce que nous exprimerons en prenant t! pour la phase du rayon extraordinaire. Ainsi , an sortir de la lame, les vitesses seront :

Pour rimage ordinaire,

f;=:a sin M sin 2ic(/ — z)\

pour rimage extraordinaire ,

V* =ia cos « sin ÎTt {t — z').

On voit qu'en effet , comme nous l'avons annoncé , pour «=:45*, ces deux faisceaux sont polarisés à ai^e droit, égaux e( discordants.

Pour étudier maintenant leurs caractères distinctifs , nous les faisons passer par un prisme bi-réfringent, dont la section principale/ip' feit un angle m' avec la section principale oy de la lame cristallisée.

Les composantes des deux images sur cettesection et sur la perpendiculaire qtjf sont, pour Timage ordinaire qui vibre suivant qq\

V sin »' et i/ cos »',

et pour l'image extraordinaire, qui vibre suivant pp'y

V cos cd' et tf sin »'.

Cette dernière vibration étant discordante, comme projetée par le prolongement op'.

En représentant donc par V^ l'intensité de l'imagé ordinaire, par i'* celle de l'image extraordinaire, et par z — z' la différence de phase des deux vibrations, nous aurons :

î^ = fl* sin* HA sin* »' H- û* cos* m cos* w'

-4- 2û* sin «d sin »' cos « cos w' cos 2îc(z — z) i'* = a* sin* «cos* co' H- a* cos' w sin' w'

— 2a* sin w sin w' cos co cos co' cos 2it(5 — z' ), ou V =a*[cos*(id — lo') — sln2cosin2co'sin'ic(iK — z')] 4'*=±:a*[sin*(» — co')-|-sin2»sin2c^/sin*7c(j3r-z')];

formules identiques avec celles que nous avons disculées (480).

Nous nous bornerons, en conséquence, à examiner ici plus en

détail les phénomènes qui se produisent pour cd = »' == 45' ; alors

î? =a^(l — sin*ic(z — ^') = a' co^flç(jï — z\ b'^ = a« ûn^i:{z—2l).

Soient e l'épaisseur de la lame cristallisée, m l'épaisseur qui correspond à une demi-différence de phase, ou à z — 2' = ^? pour Je violet extl-éme, par exemple, dont la longueur d'ondulation est X, m' l'épaisseur qui correspond à r — 2'= 2 po"^""^ autre couleur dont la longueur d'ondulation est X'.

Pour la première couleur nous aurons z — 2' = 3— j otpour

la seconde z — 2' = - — 3, ou ;s — -c' = :r— . ^^ toarce que lesépais-

seujrs m et m sont comme les longueur^ X et X' . Admettous que pour le quartz et la chaux sulfatée la valeur de m $oit d'un demi-centième de millimètre, ce qui n'est pas tout à fait exact; tant que l'épaii^seur e de lu lame n'atieindra pas U9 deoM-ceotième de millimètre, on aura zr—z' <C.^y par coEàséquea^ ^ violet même ne disparaîtra pas, ni da^s l'we ni dana l'autre des images ; lorsque l'épaisseur sera d'un demi«centième de millimètre, le violet disparaîtra dans l'image ordinaire, et atteindra sou maximiuu dans l'image extraordinaire, tastdis (fie les autres couleurs persistent encore dans les deux images. Si le rapport

des longueurs d'pndulation r-, était le même que dans Tair, ce

qui paraît ne pas s'écarter beaucoup de la vérité, on aurait

rî=ô;par conséquent le rouge extrê(ae ne disparaîtrait que

pour une épaisseur égale à | de centième. C'est ainsi que les deux images du prisme hi-réfiingent prennent succesriveinent les plus vives couleurs, par l'absence de certains éléments dans l'une des images, et par la prédominanoe des mêmes déments dans l'autre; car ce qui manque à qos*«(^ — -ï')se ratrouTe dans sin^Tt (<î^ — 2'), puisque leur sommç est toujours l'unité.

On comprend que si, au lieu de recevoir ces images sur un écran pour en observer les couleurs, on les reçoit d abord sur un prisme de flint très-pur, pour projeter ensuite les spectres qui en résultent sur un tableau, en se plaçant surtout dans les conditk>ns qui sont propres à foire voir les raies du spectre, on

CHAP. V. -- nOTiONS TUtOllQUES. 4&i

pourra diilmgai^r nettement, par une ou plusieurs laiigies bandes noir«s, la cx>uleur ou les couleurs âémentaires qui manquent dans chacone des images.

Eo efifety ne coi^idérons d'abord que rimage ordinaire, dont Imtensité est oos* «(z — z') ; cette image disparaît pour z — ^'= |, |, |, etc., ou pour 2 (z — z') égal à un nombre impair; elle prend au contraire le maximum d'éclat pour z — ^' = |, |, f , etc. , ou pour 2 [z — y )= un nombre pair; ainsi Ton parviendra à la (aire paraître et disparaître un grand nombre de fois dans retendue du spectre, si Ton peut faire en sorte que 2(z — *z') , ou

sa Yaleur - . ^ prenpe un grand non^bre de valeurs entières paires

et impaireft, en donn^wt à X' u>ul^ les valeur» depuis X'=X, qui correspond au violet, jusqu'à X' = p, qui correspond ai^ rouge extrême; ou depvib X' = 1 josqu'à X' 3= |, si les rapport» des longueurs dfomluiatîon soni lesmên^es dans le cristal et dans Taj^r.

Soit donc — = n , n étant un nombre entier , on aura

-. r;=3 js. p =: n — n'j et il fiuudra que n — ? n' puisse représenter

plusieurs nombres entiers pairs et impairs, en faisant passer X' par toutes les valeurs comprises entre ses deux limites ; or, la plus petite valeur de X' est X, qui correspond à n = 0. Sa plus grande valeur, celle qui correspond au rouge, est p, qui correspond à «' = 71. (4: — r- j, ou ^q^proxiipaûvem^nt^r; aipsi, pojjrvu q^ n soit plus grand que S, on pourra faire /i'= 1, et la valeur correspondante de X' sera r ; et si Pon prend par exemple,

1=300, onai^apour f/ 100 y^eurs 1, 2, 3, 4 , etc.... 100, qpu ^oiresçat^ffali à de^ -^^sil^urs de ^' dp^ju^ées p^r

C'est-à-dire que, dans oelte hypothèse, le spectxe, dana aaa ensemble, sera divisé en 100 bandes, 50 briUànCes el &0 ohsatres, voifonnànen^ réparties sur sa longueur, offrant cependant dea mégatitéft 4e kuigeur absolue, dépendant de la longueur dea onduiatioiia, ^, par conséquent, de la dispersion prope à la lame ^tattiiée etau pnme hii-mème.

En adoptant approximativement que m est égal à un demicentième de millimètre, pour le quartz et la chaux sul&tée, les 100 bandes dont nous venons de parler correspondraient à une

épaisseur de lame — = 300, d'où ^=1,5, c'est-à-dire un millimètre et demi.

Le spectre de Timage extraordinaire présente exactement les mêmes phénomènes, avec cette circonstance remarquable,. que ses bandes noires correspondent exactement aux bandes brillantes de l'image ordinaire, et çice versa.

Il en résulte enfin que si les deux images étaient exactement superposées, toutes les bandes disparaîtraient, et qu'alors le spectre, avec toutes les apparences d'un spectre ordinaire, aurait cependant cette composition singulière et au premier abord trèsétonnante, qu'à des intervalles périodiques égaux à la distance qui sépare le milieu d'une bande briUante du milieu d'une bande sombre, la lumière serait polarisée dans deux plans perpemliculaires ; qu'au milieu de chacun de ces intervalles elle aurait la polarisation circulaire^ et, soit à droite, soit à gaudie de œ milieu, elle offrirait des polaiisadons elliptiques contraires.

MM. Fizeau et Foucault ont découvert ces derniers phénomènes et ils les ont étudiés avec ime rare sagacité; leur trarail a été présenté à l'Académie des sciences en 1846.

Proposition XI. La persistance des vibrations lumineuses dans les mêmes phases et dans la même direction se manifeste par les phénomènes d'interférences; et ces phénomènes font connaître qu'elle correspond à une durée qui est phy^quement appréciable, non-seulement d'une manière relative, mais aussi d'une manière absolue, c'est-à-dire en fraction de seconde.

Dans toutes les expériences de diffraction, et particuUèrement dans les expériences des miroirs de Fresnél (138), lorsque, à partir de la bande centrale, on considère par exemple la n* bande rouge qui correspond à un retard de n longueurs d ondulation dans l'un des fiiisoeaux, il est certain que cette frange ne pourrait pas se produire et se montrer entre k ii* et la n + 1' frange noire, si les vibrations du corps lumineux qod qu'il soit, qui envoie la lumière, n'avaient pas une certaine persirtaocf dans les mêmes phases et dans la même directioa; car, des deoi ondes qui interfèrent, celle qui suit le diemin le phis comt est

CHAP. y. — MOTIONS THfiORIQUES. 493

parue du corps lumineux pkis tard que celle qui suit le chemin le plus long; elle est partie plus tard de tout le temps qui est nécessaire à Taccomplissement des n vibrations qui produisent les n ondulations dont la longueur forme la différence des chemins parcourus. Or, si ces n vibrations ne s'étaient- pas exécutées dans la même érection et avec les mêmes phases, les deux ondulations qui se présentent pour interférer au point où se forme la n' frange que nous considérons, ne se trouveraient plus dans les mêmes conditions, soit que les phases seulement fussent changées, soit que les directions du mouvement le fussent ellesmêmes.

Cependant, de ce que Ton voit en permanence cette /»* frange sans trouble ni confusion , il ne £Biudrait pas conclure non plus que les vibrations du corps lumineux sont de même peima- Doates, et qu'elles n'éprouvent aucune modification pendant des minutes ou des heures entières, car, il suffit que les changements qui surviennent soient seulement soumis à certaines conditions que nous allons .examiner.

En ce qui appartient à la direcdon du mouvement , les changements peuvent être quelconques pourvu que deux vibrations perpendiculaires entre elles et qui ne peuvent interférer, ou deux vibrations voisines de cette direction ne se produisent pas pendant le temps t qui est nécessaire à l'accomplissement des n vibrations, ou du moins que si elles se produisent, elles ne pei> sistent en somme que pendant un tenais très-petit par rapport au temps m/, qui exprime la durée de nos sensations. Mais nous avons vu au contraire (propos. YIU) que si Ton voulait expliquer l'état d'un rayon naturel et non polarisé par la seule varia- Inlité de la direction de la vibration résultante , il faudi*ait admettre que pendant le temps mt cette direction se trouve aussi souvent dans une direction donnée que dans la direction perpendiculaire ; il faut donc , pour concilier les phénomènes de ^a polarisation avec ceux de la diffraction, exclure l'hypothèse de la mobilité du plan de la vibration résistante, ou bien admettre qu'il change progressivement, et que m est extrêmement grand, c'est-à-dire que la durée de nos sensations est très-grande par rapport au temps t pendant lequel s'accomplissent les n vibra-» tions dont nous pouvons observer l'interCérence.

En ce qui appartient & la différence des phases , nous avons

vu pareillement (propos. YUI) quelle peut servir k explûpier rétat d'un rayon natiu^l et non polarisé, sons la condition gue pendant le temps rnt l'expression co52ic(;8 — z') prenne autant de valeurs positives que de valeurs n^atives, ce qui parait encore inadmissible id, à moins de supposer mi très-grand par rapport à t.

Il y a donc, sous ce rapport, conune à d'antres égards, un firrand intérêt théorique à rechercher quelle est la plus grande différence de marche avec laqueBe des fiaibceaux puissent iIlte^ férer, afin d'avoir au moins approximativemeat une expression de la valeur de t.

Or, MM. Fizeau et Foucault ont fait sur ce point, par des procédés ingénieux et nouveaux, des expériences importantes, auxquelles je regrette de ne pouvoir donner ici plus de déreloppements. Ils ont constaté que deux faisceaux qui ont acquis des différences de mardie de 2000, de 3000 et m^e de près de 4000 longueurs d'ondulation, interfèrent ausai r^ulièranent que ceux qui diffèrent seulement de quelques longueurs d'oode.

J'indiquerai seulement l'un des |>roeédés dont ils ont fait usage : il est représenté dans la figure 19. m et i7t' sont deux vir roirs analogues à ceux de Frem^; mais, an heu de se mouvoir autour de leur arête de jonction, ils se meuvent autcnir d'un axe a; la ligne lumineuse produite par une lentille cyKndrique, est en A, de telle sorte que ht lumière réfléchie est comme si elle partait des points/? et/^'. Le faisceau réfléchi est reçuàdistance sur un écran percé d'une feAte frès-étroite, et, parle mouvement du miroir m'y oii comprend qu'il soit facfle damener sur la fente, successivement^ des pcHnts du fiûscean correspondant à la 50' ou à la 100^ firange d'interféiebce. A ces distances de la bande centrale, il n y a jihiA de couleurs perceptibles, Timage est blanche conmie si les <ieux rayons réfléchis ne pouvaient plus htiterférer ; c*est donc un faisceau blanc qui paisse par ht fente et- qui a toutes lés apparences d'un faisceau natcBret; il ^t reçu pffr im systèriie réfirîngent c^nSposé d'un excellent prisme très-dispersif et de deux leatilleS) Tune placée mu-devant du prisme et Tautre à sa suite. La fente dbit 5e trouver au foyer principal de la premî^« Le spectre, re^à une distance convenable, pcéaea^ la j^us magoifiqae appa- Koce des firaii|^ diffiactéea> 6t, ooname on j voit égal^nent

CHAP. V. — NOTIONS THËORIQUËS. 495

bien les raies de Frauenhofer, il est facile de compter les. franges comprises entre deux raies données. Soient X et X' les lon- ^eurs d'onde correspondant à deux raies entre les(juelles on compte m franges ; la différence des chemins parcourus est /iX pour la première couleur, n'yf pour la seconde, et Ton a à la fois

nA=znA et m=^ n-^ n j dou n = ^f — r.

C'est ainsi que l'oa détermine le nombre des longueurs d'onde qui forme la différence des chemins parcourus.

En admettant que la vitesse de la lumière soit en 1" de 70 000 lieues ou <le 280 000 kilomètres, il est facile de voir que le nombre des vibrations qui s'accomplissent en 1', pour la luïïùère verte, ayant une longueur d'onde de 5 dix-milHèmes de millimètre, est de 560 millions de miUions; si deux faisceaux de cette lumière interfèrent avec une différence de marche de 5600 Ion«gueurs d'onde , le temps nécessaire à ces 5600 vibrations n'est qu un cent-millionième de seconde. Or , en supposant que nos perœptions visuelles ilurent seulement -j^ de seconde, ce temps contiendrait encore mille millions de fois celui qui est nécessaire aux 5600 vibrations. Il est donc bien permis d'admettre, comme nous l'avons admis plus haut, que mC est excessivement grand par rapport à t.

Proposition XII* Lorsqu'un faisceau de lumière polarisée se ré&échit à la surface d'un miheu diaphane , l'intensité du fais- <^au réfléchi est représentée par

sm* (/ + /') tang'C^ + O

i't Tangle de son plan de polarisation avec le plan d'incidence i^t donné par la relation

tang 0 = — ). ' ' . tangO.

1, intensité du faisceau incident;

/, /, angles d'incidence et de réfraction ;

0, 6', angles des plans de polarisation des faisceaux incidents et réfléchis avec le plan d'incidence ou avec le plan de réflexion.

iae *11V!IE VL — OMiQUE.

Une onde plane ap (Fig. 1&) anive. feous une îûâdehce /, à la surface dé ft<^paration de deux istûbeut, y^ exemple, de Fair et durerre^ elle^ est pcdarisee dao^le pla»d*incidence, que nous supposerons être le plan de la figure ) de'^le sorte que les vlbi*atiotts s accomplissent paraBèlément a ab^ et perpendiculaire* ment au plan a&/;. Les densités </ et ef de Tétlier étant différentes dans le premier et dans 1^ secpnd-ikiiEeu, il se £aît, à la surface de séparation, un partage de mouvement : une portion de l'oode ^ réfléchit en faisant T angle de rfflexion égal à Tangle dmcidenqe , l'autre se transmet dans le verre sous un angle t^ tel que Ton ait sîa i:sm /':: î^ : X'; X et X' étant les longueuR d'ondulation .do*U même .e^èce de Ittmlère dans Tair et dans le verre.

Soient ii, «; et i/ les vnesses de vBïration de Tonde incidente, de Tonde réfléchie et de Tonde réfractée; «, A et r ks coefficients de ces vitesses; en sorte que Ton ait

M = asîn27t(^ — ^), Ms=/isin27r(r — z) et (/'=:rsin 2^(^—4

On admet que daiis le cas des tituiatiom perpendiculaires au plan d*ind;denct> ou dans Tazimut 0^ Ton doive avoir, à cha^ instant ' .

i^==^4-y' et par cottsé({ueiit a=A-f-r.

En considérant» d'mie autre patt les fbit^es vives dont sont animées les masses d*étheï* qui correspondent à une longueur tfondulaûon, soit sur le Ëiiscoau incident, soit sur les fbiscenux réfléchis ot réfractés, il faut que 4a première soit égale à 1» somme des deux dernières. Ces forces vives sont dkpcif^ d^^ et d^p'c's/^ \ eu effet, le volume d*éther correspondaDt à une longueur d'ondulatioa dans le faisceau incident est un pnsn.e rectangulairedontlestms dimensions sont X dans le sensnl,p^fp dans le sens op, et une longueur quelconque c, égale à la laigeur du faisceau dans le sens perpendiculaire au plan de la figure; ce volume étant Ipc^ la masse est dkpcy et la force viye é[kpcv}\ sur le faisceau réfléchi la masse est la même , parce que la perpendiculaire bp'^^ap^^p*^ enfin, sur le fidsceau réfracté , la dimendon du prisme dans le sens perpendiculaire au plan de la figure est la seule qui reste hf même et égale à c; pour les deux autres , on a X' et/;'c=Ay, et pour ht fi»rce viveifxyw'*.

Le principe des force» vives donne donc

'^u dkpca} = dkpch * + d'Xp'cr^ ;

et par conséquent,

^---À* if V p'

Mais en admettant que Félasticité de l'éther soît la même dan» les deux milieux, il faut, d'après les lois de la mécanique, que les densités soient en raison inverse des carrés des longueurs

d'ondulation, ce qui donne ~ = ^, on a de plus r =^î?4, et

« a" * a sini'

dans les deux triangles bap et bag, ^ =!=£2it J^où il résulte

° ■* ' /> cosi'

«•— /i* sin/cosr' /* sin/cosc'

L*t en remplaçant r par sa valeur a — A ,

« -|- '* ^ s^" ' cosi' , a — h sini'cosi'

r t h sîi»(f — i') . r Scosisinî'

lou - == ------J et par suite -= . ., , ^ .

a sm(i-\'i'y * a 8m(i4-0

Pour ce qui regarde le rayon réfléchi, ses vibrations et celles lu rayon incident s' accomplissant dans le même milieu, le rapport <p de leurs intensités est égal au carré duVapport des coeffilents de vitesses, ce qui donne

A«sin»(i — /^)

Pour ce qui regarde le rayon réfracté, ses vibrations et celles du ^VOD incident s'accomplissent dans des milieux différents, le apport ^ de leurs intensités n'est plus égal au carré du rapport ^ coefficients de vitesses, maiii au carré de ce rapport multiplié ^^ le rapport des masses vibrantes correspondantes. Nous -nous de voir que ces masses sont ici (tWp'c et d^c dont le

pport est -^r—s : = r-^î on a donc

smc cosi tangi

,^ tângl^ .cos*/sin*i' tangi j

V ?'55g7 sîn*(i-J-0***og''S où (p4.^=i, ce qui 'devait être. On arriva au même résultat îi 3Î

498 LIVRR Vi. ~ OPTIQUE.

en remarquant que ^ est égal au rapport des fcnrces vives du rayon réfracté et du rayon incident ou

^ dhpc . tt* tang H ' a**

Quand les vibrations de Tonde incidente s'accomplissent dans le plan d'incidence, et que le plan de polarisation est par conséquent perpendiculaire aux plans d'incidence et de réflenon, oti dans l'azimut de 90^, l'on admet que dans les txois faisceaux le» vitesses de vibration sont telles cpie Ton ait

u co&l= i^ cos / -H ^' cos /' ou (a — h' ) cos i=^r côs i',

ou '^^^^-^^ï^'

en appelant cette fois /i et r' les coefficients de vitesse de Tonde réfléchie et de l'onde réfractée ; ce qui revient à dire que la composante horizontale de la vitesse de vibration dans Tonde incidente, est égale à la somme des composantes horizontales <ie*îa vitesse de vibration des ondes réfléchies et réfiractées. L'équation des forces vives étant toujours

«*— A** sin / cos t

— II - bin / cos "''

/• sin/cosi'

4cn substituant la valeur de r'^, elle devient

a -j- A' sin « cos i ,

a — h' sin i' cosi' ' d'où

y<'taPK(/— 0' / 2sipf^cosi

â~lang(/+0 ^ it""sin(/-f-/'Jcos(i — 0'

et pour le rapport (p' des intensités du rayon réfléclii et du rayon incident

* ^ tang»(*4-fy

Pour avoir le rapport ^ des intensités du rayon réfracté et dn lajon incident, il faut, comme nous venons de le dire, multi-

./ ^ étni sin /' cos i cos f

* ■" SÛl» (i+ 1) COâ»(i— 0'

Enfin^ À le fiEÔsaeaii iuddcnli ayant toujours urne iutc&sité tf^

CHAP. T. ~ KOTiONS TWtOmÇffJES. 4M

est pobfîaé dans- raânat t par raj^Knrt ati pk« (fineideBee, il peot ak»s éir» reatjplaoé (pfopo». III , eorol. ^) p«r' de«ai fiû»* «ftox, FypifiBfcn lit» a^ ees^'O polarisé dan» le ]^aa d*ifi«i<}efice ew dami*raamiatd, Fanlre d*inteii»té e? m^ô polarisé da» razHmrt ^ 96*; le preaiier donaera ud fûsonra réfléchi d'ÛMena^ in-' connue a^, telle que

Le second donnera on faisceau réfléchi d'intensité a/* telle que

x'* t«ng*(/ — t)

û*sin«Ô~" tan^(/-fO>

ptt conséquent, Tintensité totale du faisceau réfléchi par rapport à Imtensité du faisceau incident , ou — -^ — aura pour valeur

sm* (i + 1 ) tang' (« + 0

Cesl k (onniile cpe noue aTons admise et discutée (iTB).

Au moyen de ces éléments constituants du faisceau réfléchi, on peut déterminer aussi l'angle Hf que le plan de polarisation de « £iisceau fait avec le] plan d'incidence, c'est-à-dire l'azimut du Êûsceau réfléchk En effet, les^coeffieients de vitesse de la portion du faisceau réfléchi qui vibre perpendiculairement au plsui de

réflado^etdeodl^quîvibre dans ce plan, sont-cos det— siaO.

^éevK v3>rations se composent en mie seule, dont la diiee^

^ làty avec le phm de réflexion, un angle f tel que

tangô'=- sinô :-oosô>

o« tange' = ^.tang^ô=^3^^^.tang6.

^est la fbrmi^ que nous avons admise et dîicu^(179)« Nous remarquerons de plus que la relation

tangy A^

tango h

permet de trouver le n^port -r quand on co&nait les azimuts ^^diiS'^Ufli^depekriftaÛM diirayott iafideal fC dvbrajo»

réfléchi ; ce rapport est celui des vitesses ou des amplitudes de vibration des deux portions du rayon réfléchi , savoir : de celle qui est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, et de celle qui est polarisée dans ce plan. M. Jamin en a (ait usa^ pour détenniner les limites de la polarisation elliptique des rayons réfléchis, comme nous l'avons vu (202).

Si maintenant Ton considère un faisceau de lumière naturelle d'intensité I , il sera facile d'exprimer les quantités de lumière qu'il donne aux faisceaux réfléchis et transmis, ainsi que les proportions et les quantités de lumière polarisée que les faisceaux doivent contenir. En effet, le faisceau naturel d'intenâté 1 peut être regardé conmie composé de deux faisceaux ayant chacun une intensité |, polarisés, l'un dans le plan d'incidence, l'autre dans un plan perpendiculaire ; le premier de ces feisceaux donnera à la réflexion une quantité de lumière

, s»dVi-0.

^~5*sin«(* + 0'

le second donnera pareillement à la réflexion une quantité de lumière

et rintensîte du rayon réfléchi sera <p-f- <pS celle du rayon transmis ou réfiracté sera 1 — (t+tO*

Les deux portions qui constituent le faisceau réfléchi étant polarisées à angle droit, si elles étaient ^[ales elles donnenient à ce faisceau l'apparence d'un rayon naturel et non poiaiisé,. mais elles sont inégales, la première l'emporte sur la seconde, le faisc*eau réfléchi est donc partiellement polarisé dans le plan d'incidence, et la quantité de lumière ainsi polarisée qu'il contient est

y-<p=i.sm>(.-0>[ sin«(/+i^)cosV-0 T

sa proportion par rapport à l'intensité totale du faisceau réflédu est

y — <^'cos«(i — 0 — cos«(i + 0 ç + f oosVi-O+cosM' + O'

On voit qu'dle atteint son maximum et devient ^ale i 1 po«r

CHAP. V. — NOTIONS THÉORIQUES. r;0|

/-f-«' = 90*, c'est-a-dire sous Tincidence de la polarisation complète ; alors, en effet , toute la lumière du faisceau réfléchi est polarisée dans le plan d'incidence.

Le rayon réfiracté se compose pareillement des deux portions

*-«L «n«(i + Oj *-«L tang«(i-oJ'

ifà sont les compléments des deux portions 7 et f', et qui sont comme celles-ci polarisées dans le plan de réflexion et perpendiculairement à ce plan. Ici, c'est la seconde qui l'emporte sur la première, c'est-à-dire que le rayon réfiracté est partiellement polarisé dans le plan de réfi:tiction ; et il est yisible que la quantité absolue de lumière ainsi polarisée qu'il contient est égale à celle qui dans le rayon réfléchi est polarisée dans le plan d'incTdence. Ce qui justifie la loi importante que M. Arago avait tirée de Texpérience ayant que la théorie Tint l'expliquer.