CHAP. II.— DES LENTILLES

La deuxième ( Fig. 23 ) est la lentille plan^conuexe.

Li troisième ( Fig. 24 ) est le ménisque convergent ; elle est formée par deux surfaces spbériques , Tune concave et Tautre convexe , le rayon de la première étant plus grand que le rayon de la seconde.

La ({oatrième ( Fig, 25 ) est la lentille bi'-concaçe.

La dnquième ( Fig. 26 ) est la lentille plan--concave,

La sixième enfin (Fig. 27) est le ménisque diuergent ; elle est formée par deux surfaces sphériques, Tune concave et Tautre convexe, le rayon de la première étant plus pçdt que le rayon de la seconde.

Les trois premières sont à bords tranchants et convergentes.

Les trois dernières sont plus épaisses au bord qu'au milieu , c'est-à-dire à bords larges et divergentes.

Vojce d*une lentille est la ligne mathématique ce' qui joint les deux centres de courbure de ses deux surfaites ; pour les lentiDes plan-concaves et plan-convexes, Tai^e cp est la perpendiculaire abaissée di| centre de courbure sur le plan.

Pour démontrer que les lentilles ont des foyers^ réels ou vir^ fuels j nous prendrons d'abord une lentille d'une épaisseur indéfinie tournant sa convexité vers un point lumineux s^ situé sur son axe. Soient sd (Fig. 28) un rayon incident, cd la normale au point d'incidence, et dt le rayon réfracté qui vient couper Taxe au point t\ désignons par J?, /, z^ les angles qui ont leurs sommets aux points ^ , c ^ t, et qui s'appuient sur l'arc ad^ par 6, r, m , les distances de ces points au point a, c'est-àdire asj ac^ at; enfin , par y? et ^ , les angles d'incidence et de réfiracdon sdp et cdt. Tous ces angles sont supposés assez petits pour qu'on puisse les prendre pour leurs sinus ou pour leurs tangentes , et , en représentant par n l'indice de réfraction de la substance de la lentille, il est facile de voir que l'on a d'abord:

sm^=:nsin|^ ou pz=nq\ pl=a:'^jr\ 7=^4-^.

En éliminant/? et q au moyen de ces trois relations, Ton obtient :

a+nz=Y (/i— 1), qtn devient

ad n,ad ad, ^. • in n — 4

-T-H = — ('ï — 1) ou -74-- = ,

18S. UTIfi IFi: ~ OPTIQU&.

lorsqu'on substitue les tangentes au lien des an^^és, puisque l'arc ad peut être* considéré comme une ligne droîle perpendiculaire à eu.

Cette relation ^ntre /t^ &, m, r étant indépenduite des angles d'incidence et de réfraction, il en résulte que sous les conditions que nous avons admises, tcius les rayon6 émanés do points, qui tombent sur la lentille, Yoot ensuite après la réfi^astioii se couper au même point t de Taxe à une distance m. U j a donc là qd foyer par réfraction , et ce foyer sera réel s'il est rédUement le point de concours des rayons., et virtuel s!il est seulement le point de concours de leur prolongement.

Il parak facile de disculer la foimnle préeéd^ite dans lente sa généralité , mais, pour e» faire mieu apptéeier les résuliats, nous la discuterons en supposant que la lentiUe sok de- vene : ak»&, u étant éga> à |, cette formule devient :

1" Pour £=Qo, on a ia=:3r; o'esD-à'-dire que si le point lumineux est à l'infini, ou. si les rayons incidents sont parallèles à Taxe , le point de concours a lieu à une distance (jui est triple du rayon de coucbure de la lentille^ De plus, la valeur de ni étant positive , le foyer est réel.

2* Pour. 6^=: 2r, on ^7»=: oo ;. c'esttà-disetme.le point bmineux se rapprochait depuis Tinfini jusqu'A 2r, le foyer s'éloi^pe depuis 3r jusqu'à Tinfinù

3^ Pour h<^ir^ on a pour m une valeur negaiwe; c'est-àdire qu'alors le foyer est t^irtuel, la lentîUe n'est plus assez efficace pour rendre ces rayons; convergents dans sem intérieur^ ils restent alors divergents , et c!est leur prolongjsment qui va concourîp sur l'axe , mais en dehors de la lentille et au. delà du point s , comme il est facile de le voir.

4* Si Von donne à è des valeurs négatîvesv, cela signifie qœ les rayons incidents -sont déjà en état de convergence, et les vaeurs que l'on en déduit pour m donnent le nouveau point de convergence, plus rapproché , que la réfiraetion leur donne dans l'intérieur de la lentille; on peut le vérifier par des applicatioi» numériques ou par ^es oonstructions graphiques*

Nous avons trouvé la formule précédente en supposant la

CBAP. II. — DES^ LENTILLES. i83

leotSle convexe du côlé du point lumineux ; mais il est facile de voir, par «ne construction directe y que y pour l'appliquer à me lentille concave , il suffit de changer le signe de r, en conserrant la condition que les valeurs positives de m indiquent des foyers réels y et les valeurs négatives des foyers virtuels.

Ces principes posés, nous pouvons examiner maintenant ce qui arrive aux lentilles ordinaires, à deux surfaces courbes , doitf rêpaisseiir est toujours assez petite pour être négligée.

Soit un point lumineux s (Fie. ?9) situé sur Taxe d'une len-

tifc bi-convexe ; si cette lentille avait une épaisseur indéfinie ,

k distance b' du point de concours des rayons incidents serait

donnée par la formule

i, JT et r étunt le» mAmes ^p» tout à rhenre; mais, presque

au soràr de la premieTe s«r&cc y les rayons rcfiradés vont tcb»

contrer U deuxième pour pasaor du verre dana Taiv , et leur

DOfiveH» peoKt die coarmir» anrn lieu à une. dialaHce m dooMét

paria£innule

dans laquelle / est le rayon de courbure dé la deuxième sur- ÊMse , et fî l'indice de réfaction du verre par rapport à Tair ,

en sorte que /i' = - ; sur quoi il faut faire remarquer que ir

pramer terme est ici affecté du signe moins , parce que V a nécessairement des valeurs de signes contraires, lorsqu'on le considère par rapport à la première, ou par rapport à la deuxième surface de la lentille.

Sa êimiBaaÊÊt ht CBlce ces deux éipiaéttM^ et en mefitaM-

an Era die /i^, on arrive à la relation suivante ;

i \ n — \ /fr-f

qà dôme or au moyea de A, /*, / et /y : auiiant qoe la valeur àtmtt^ positive tm négative, le foyer est réel ou yirtuel'. S VoR suppose ^= 09 , et si Fenr désigne pw ^lar valeur cor-> de' fw , u en neMure

Cette valeur de /*, ou la distance focale des rayons parallèles, est ce que Ton appelle la distance focale principale d'une lentille. On est alors conduit aux deux équations

qui .renferment toute la théorie des lentilles.

En discutant la première , il Qst facile de voir que la valeur de /*est toujours positive pour les lentilles conyergentes, et toujours négative pour les lentilles divergentes ; d'où il suit que le fojrer principal est réel pour les premières , et i^irtuel pour les dernières. En effet,

Lentille bi-convexe. . . r=-+-, r'= — , /=+ » plan-convexe. r= -^y r'=ao , /*=-<-

Ménisque convergeqt. . r= -+-) r'=-+-, /*=+ parce que r'>r

Lentille bi -concave. . . r= — , r'=+, f= — » plan-voncave. r= — , r'=ao , /*= —

Ménisque divergent. . . r = — , r'=i — , /== — parce que r >r

Quani aiix valeurs absolues de /*, il est facile de les calculer, lorsqu'on connaît r, r' et /i. Réciproquement, f et n étant donnés, on peut déterminer le rapport des deux rayons de courbure.

En discutant la seconde des équations précédentes, on ^oit

que

b = ce donne m = fj

bz=2f m = 2f,

résultats qu'il est facile d'interpréter d'après ce que nous atoi» dit précédemment à l'occasion des miroirs, et ^qu'il est facile aussi de vérifier par l'expérience, soit au moyen de la lunuer? solaire, soit au moyen de la lumière d'une bougie.

Nous ferons seulement deux remarques : 1® l'objet et son image se trouvent précisément à égale distance de la lentille quand Tobjet est placé devant elle à une distance double de » distance focale principale ; 2® pour 6 <^f^ m devient négatif, c està-dire que le foyer devient virtuel, il est alors du même côtequ* l'objet, mais sa distance à la lentille est toujours plus grande qu^

CHAP. U. — DES LENTILLES. i85

celle de l'objet ; la lentille diminuant alors la divergence sans pouToir produire la convei^enoe.

Pour les lentilles divergentes il faut faire 'attention que fesl nécessairement négatif, ainsi pour avoir b positif et exprimé au moyen de /*, il faut dans ces valeurs de b donner à /*le signe moins, on voit alors que

& =r 00 donne m = /*,

Il en résulte que devant une lentille divei^ente un objet placé à toutes les distances, depuis 0 jusqu'à Finfini, donne toujours des images virtuelles puisque m est toujours négatif comme f. De plus la lentille augmente toujours la divergenee naturelle de la lumière, puisque la valeur de m, abstraction faite de signe, est toujours plus petite que celle de b.

Dans ce qui précède nous n'avons considéré que des points lumineux situés sur l'axe de la lentille, mais nous allons faire voir que les mêmes formules s'appliquent aussi aux points qui sont situés hors de l'axe, sous la condition que les axes second daires correspondants ne fassent que des angles très-petits avec Taie principal. On appelle axe secondaire la ligne menée par le centre optique de la lentille et par un point quelconque, pris hors de l'axe principal. Le centre optique est un point, placé dans rintérieur de la lentille, et sur son axe, qui jouit de cette propriété que les rayons lumineux qui le traversent prennent^en soTtant de la lentille une direction parallèle à celle qu'ils avaient en entrant. Soient s (Fig. 30) un point lumineux, ^a^ l'axe secondaire correspondant, sd et set des rayons arrivant à la lentille et réfractés par elle; tous ces rayons viennent concourir au même point t de Taxe secondaire , et les distances as et at^ que nous désignerons par b et m, sont liées entre elles par la relation :

b ■*" m-^p féXBDl la distance focale principale de la lentille; En effet, rap-

i86 LIVRE Tl. — OmaUE.

portons les points ^ et f en s" et f, en sorte que Ton ak ami as" = b^ at" ^ m^ les triangles aas" , atf pmiiTont alors être coosidérés comme des triangles reetangles ens^ et en f". Cohsidérons le rayon incident sd et son rayon émergent A: soiem.i et f les points où ils coupent Taxe, b' , et W les distances on^ respondantes as' et at ; ces distances sont évidemment soumises à réquation :

et, si la première équation est vraie, comme nous Tavons admis, il en résultera :

Or, il est facile de voir que cette équajtion est en effet a:acte, car en désignant par p Tangle- des deux axe&, par x*. et z' les angles ds'oj dia^ on a

tang:r'=-^;' tangx' = gi-^; tang^' = ^'

A# si té

tang^' = ^> tangjA=.jr,; tang</=-;

rlWi 5?gff w'; taagjp^ b . tmgs' m ^

ttMgîs' à" tangt^ ^ — A' . tangi» iT— i

En égalant les deuxrvalem:a de -^—)<pii résultent de ces trois

dernières éqnfftîecis, Ton n.

b{ni—m)m' j, x 1 i i i m{h-ii)-T^^ dou -4-;j=p-f.^,

ce qui dénu>ntre. Fexactitnde tle Téquation

apiiliquée à l'axe eocoodaice 44^.

Le champ' de la lentlUe est mesuré par Tan^ que penne» les axeasecondaives aana cesser de dounner des-imagngosnffiww^ exactes, tandis que V ouverture de la lentille est Tangle sous leqod elle est vue du foyer principal, cet angle ne peut pas, en général dépasser 10 ou 12^. Quand cet angle est plus grand, il y aoierration, de sphéricUé^ c'es^i*diie tpet \àB nyoK ^ «uifeD^

CHAP; IL— BES LENTILLES. Ig7

fos les bords de la lentille ne concoiorent pa& exadanent avec ccnx qui passent prèa du cenise.

n résuke de ot qui précède qu'on objet sê' (Fig. ai), (fà sciait compiis dans le cbamp de la lentÛle et j^cë sur la surface d'une ^pbère ajtint son centre en a ,. donaôrak une image TontcEMe trèsHAeCte sur la surÊice Uf d'une autre sph^ ayant k BKOie eeatre. Ainsi y lea objets £oiit des images au foyer des konlies comuie au foyer dea miroirs-^ et, vus du centre lyrique àe la leniillf y Timage et Tobjet sont vus sous le même an^e. Sûioit V cet an^e, g et g' les grandeurs absolues de Tobjet et de âon imagie , il est facile de voir que Ton a :

bf ^rrzvwtangf', d'où g'' = T3:y^°g^-

Laaique k» o^efts sent tcàsv^loignés, h est trè»-graiid parrapf«là /*, et la fbnauk dément

gf=fvmgif.

Aimi, Vangle moyen du soleil étant de 31', son image a 9 flnffim^cres au foyer d'une lentille de 1 mètre de distance nwdf principale.

Qmoé le9 obfets ne sont pas très^-eloignés, on peot remplacer

taiig if par sa valeur|, et la formule devient :

n senol inutile de cbercher iei les foyecs des lentilles cyUnr ânqaes, neiia. avona seukn^ena refréievAé ivae de ces lentiHes dans la figuvo: SS- pourmontrer que Viaaage d'un faisceau pi^ iillêle est siœsîUement une ligne droite pasaUèle à Taie dtt <^|liQdbe*

U. figninhia 4é ffériwnfi ai PhMres. — Fiesnel est parvenu à «owmnre deailfatito de diverses hiaou au moyen dafr» quellss la liwièie de&.pkates est ptojotée sus la mer à la- HÎHlance de^ U .ou 1& lieuea^ avec assez d'éclat pour indii* fier aux. nmgaleiaa leur position précise, et signaler ainsi ks écueils ou les dangees de la côte.. Cotte af^licatioa a une â home importance,, et elle a été. faite avec tant de succès., qa'il noua a $mMé néeessaive di'en domer ici une idéew La fige» 36 représente une; len^Ue .oMmUaire coupée par le mi* lim; elle se- eeupyw» .dur ^eginertt de ^bàae a aulour duquel cm*

iSS LIVRE VI. — OPTIQUE.

dispose plusieurs anneaux i, r, rf, dont on voit la coupe i', c\ et (FiG. 35). La figure courbe de ces anneaux est calculée pour que chacun d'eux ait le même foyer f que le segment a\ en sorte qu'un fanal étant placé en /*, toute la lumière émise sur la lentille par chaque point forme, après l'avoir traversée, un large faisceau qui est presque parallèle , car il le serait rigoureusemeut si tous les points lumineux du fanal pouvaient être rigoiu'eusement à la distance focale principale. L'affaiblissement de l'intensité n'ayant lieu qu'à raison de la divergence des rayons d'un même faisceau , et à raison aussi de la divergence des axes des différents faisceaux , il en résulte qu'il est ici peu considérable , et qu'on peut éclairer par conséquent à une distance très-grande. On pourrait croire au premier abord que des lentilles ordinaires donneraient le même avantage ; mais, conune nous l'avons remarqué , les lentilles ordinaires ne peuvent avoir qu'une ouverture de 12 ou 15*, tandis que les anneaux de la lentille de Fresnel sont calculés pour que son ouverture puisse atteindie plus de 40* ; ces lentilles ramènent donc dans la même direction neuf fois plus de lumière , ■ sans compter qu'étant beaucoup plus minces , elles en absorbent beaucoup mains. C'est d'après ces principes, mais en variant les formes des veiTcs réfringents, et en leur imprimant des mouvements de rotation réguliers , que Fresnel a fondé un nouveau système d'éclairage dont la supériorité est maintenant reconnue par toutes les puissances maritimçs de l'Europe. Nous indiquerons seulement la construction des feux de ports et celle des feux tournants du premier ordre. La figure 37^ représente un feu de port, La lumière est donnée par une lampe d'Argant qui brûle 45 grammes d'huile à l'heure ; la mèche a 2 centimètres de diamètre , et la flamme 5 centimètres de hauteur. Tous les rayons sont ramenés dans la direction horizontale , soit par réfraction, soit par réflexion: Le système réfringent se compose de cinq anneaux superposés n , dont 1% surface extérieure a une courbure convenable , et le système réfléchissant se compose de huit anneaux^ prismatiques /?, cinq en haut et trob en bas, taillés et disposés de telle sorte que la lumière éprouve stu* leur* grandes fiacres une réflexion totale , tandis qu'elle entre et sort par les auti-es faces sous une petite obliquité. Par cette combinaison , toute la lumière est ramenée dans une couche presque