CHAP. III. — DU CENTRE DE GRAVITÉ

une propriété caractéristique du centre de gravité , c'est que ce point est fixe dans Fintérieiu* des corps solides, et ne change pas , quelle que soit la position qu'on leur donne à l'égard de la pesanteur. Par exemple, le point g (Pl.2 , Fig. 6) étant le centre de gravité du triangle abc quand le point c est en haut , il sera nicore le lieu du centre de gravité quand le point c sera en bas cm dans toute autre position qu'on pourrait lui donner; car le point d'application de la résultante des forces parallèles est indépendant de la direction de ces forces (21).

Pour qu'un corps pesant soit en équilibre , il n'y a qu'une

«eule condition essentielle à remplir : c'est que le centre de gra-

rité soit soutenu. Par conséquent^ si le centre de gravité est

lui-même un point fixe , on pourra tourner le corps de toutes

les manières possibles , il restera toujours en repos , parce qu'il

sera toujours en équilibre. On en peut faire l'expérience avec

un disque homogène, tournant autom* d'un axe horizontal qui

passe par le centre. Lorsqu'un corps est soutenu par un point

fixe qui n'est pas le centre de gravité , l'équilibre est encore pos-

s3>le , mais il n'a plus lieu que dans deux positions seulement ,

saToir, quand le centre de gravité est dans la verticale du point

fixe, soit au-dessus, soit au-dessous de ce point. On en peut

Éûre l'expérience avec un disque homogène tournant autour

d'un axe horizontal et excentrique.

C'est de cette considération que l'on tire un moyen expérimental de trouver le centre de gravité d'un corps. Ou l'attache a?ec un fil en un point c de sa surface (Fig. 6), on le suspend, et, quand il est eii repos , on marque, avec autant d'exactitude qu'U est possible , le point m où le prolongement du fil viendrait percer la surface inférieure ; le centre de gravité est nécessûrement sur la ligne cm. Ensuite on recommence l'expérience, CD attachant le corps par un autre point n, et en marquant de même le point m correspondant ; le centre de gravité est aussi dans la ligne am , Donc, il se trouve à la rencontre des deux lignes cm et am' .

Pour des corps très-lourds, on pourrait faire l'expérience en sens contraire , en les tournant sur leurs arêtes ou en les posant sur des supports de petite étendue. Mais, pour les corps homogènes qui ont des formes régulières, on détermine . leur centre de gravité par des considérations géométriques assez simples.

, 6i . UVBB PREKIER. — PESUtTEUB.

. x4*«« «rc«Ma. — Le centre de gravité est éridemment a»

. milieu de la longueur.

■ {C^Um^r** * hmm» pmrmtièu: — Lc centre de gravîté Cât au

. milieu de l'axe (Fie. 12, 13 et 14).

rmr^i**i»fmmtmt. — Le centre de gravité est à la rencontre ^es diagonales , carchaipie diagonale coupe la figure en deux parties égales. H en est de même pour ua paraUélogranune creux , .comme un- cadre.

cervie. — Le centre de gravité est au centre du cercle; ce point est pareillement le centre de gravité de la circonférence et celui de Vanneau compris entre deux circonférences concentriques (FiG. 15).

Tr-taMpi». — On mène les lignes de, fg, etc., parallèlement à la base (Fie. 7), ensuite la ligne am qui coupe en deux parties égales cette base et toutes ses parallèles; on acliî-ve les parallélogrammes t/irc, kkli, etc., par des lignes parallèles à am. La ligne am passe par le centre de gravité de tous les parallélogrammes extérieurs, et aussi par les centres de gravité de tous les parallélogrammes intérieurs au triangle ; et elle y passe, quelle que soit la grandeur que l'on donne à ces . parallélogrammes. Or, comme ils sont, les uns circonscrits au triangle, les autres inscrits, et, comme à leur limite de petitesse ils finissent par se confondre avec lui , il faut bien aussi que le centre de gravité du triangle soit sur am\ pareillement, il doit être sur bm' (FiG. S); donc il est en ^ à leur rencontre; et il résulte des tiîangles semblables ahg et mgm' que mg est la moitié de

CHAP, m. — DU CENTRE DE GRAVITÉ. 03

est en ^' à leur rencontre. Ensuite, on conclut, par la comparaison des triangles semblables, que ce point g* est aux trois quarts àe sg^ à partir du sommet. Une pyramide quelconque se décompose en pyramides triangulaires, et on arrive à cette conséquence, que, dans tous les cas, le centre de gravité d'une pyramide est sur la ligne qui joint son sommet au centre de gravité de sa base, et qu'il est aux trois quarts de cette ligue, à partir du sommet.

mm»9é^w^. — On le décompose en pyramides, comme le polygone se décompose en triangles.

- C'est comme une pyramide (Fig. 11).

— Le centre de gravité est au centre de la sphère; de même pour une surface sphérique ; de même pour une couche comprise entre deux sphères concentriques.

43. De l*É4i«llibre. — Nous avons déjà vu que la seule conditioD d'équilibre d'un corps pesant est que son centre de gra- TÎté soit soutenu ; mais cette condition se remplit de diverses manières, suivant que le corps est suspendu à des points fixes ou posé sur des appuis.

!• Supposons, par exemple^, un disque homogène (Fig. 16) perce' de trois trous égaux, «,t, c, et dont le centre de gravité soit au centre de figure : ce disque sera en équilibre dans toutes les positions autour d'un axe passant par le trou central a , et cet équilibre s'appelle indifférent; si Taxe passe par le trou supérieur é, l'équilibre est stable^ parce que le corps tend à y revenir quand on l'en écarte; on voit e\\ effet qu'en faisant un peu tourner le disque autour de cet axe , le centre de gravité se déplace à droite ou à gauche sur l'arc mn. Il n'est plus soutenu , puisqu'd n'est plus dans le plan vertical de l'axe de suspeusion , et il descend pour revenir, après une série d'oscillations, s'arreler dans ce plan ; si l'axe passe par le trou inférieur c, le disque peut encore mathématiquement être en équilibre ; cela ama tteu si le centre de gravité se trouve exactement dans le plan fertical de Taxe; mais c'est un équilibre instable y parce qu'au moment où le centre de gravité sort de ce plan, il s'en écarte de plus en plus , et décrit une demi-chconférence entière pour fcnir s'arrêter au-dessous de l'axe de suspension.

En généralisant ces résultats, on voit qu'un corps quelconque, nspendu par un axe, peut être en équilibre stable, instable ou

64 uvue prehier. — pesanteur.

indifférent, suivant que &on centre de gravité est au-dessous de l'axe, au-dessus de l'axe ou dans l'axe lui-même.

3° Examinons ce qui arrive à un disque simplement posé sur un plan horizontal au incliné, et supposons que ce disque, composé, par exemple, de plomb et de bois, ait son centre de gravité sur la circonférence abd (Fie. 17) à une distance auez grande de son centre de Ggure. Il résulte de ce qui précède qu'il y aura seulement deux positions d'équilibre : l'une stable quand le centre de gravité sera en a , l'autre instable quand le centre de gravité sera en b. Si ce même disque est posé sur un plan incliné (Fie. IS), il y aura encore équilibre quand le centre de gravité se ti-ouvera dans le plau vertical /»A mené par l'arête p du contact, la stabilité correspondant toujours au point le plus bas a , et l'instabilité au point le plus élevé b.

Dans ce dernier cas, si le disque est poussé un peu en avaul ou à droite, il tournera en remontant le plan sur une longueur égale à Varcpgv, et il sera alors dans sa position de stabilité.

Lorsque les corps reposent sur le sol par une base plus ou moins lai^e, il est nécessaire, pour l'équilibre, que la verticale du centre de gravité tomt)e dans l'enceinte de cette base. On voit d'après cela que le cylindre oblique (FiG. 19) sera en équilibre s'il n'a qu'une longueur ab, et qu'il tombera û on le surmonte d'un cylindre pareil qui déplace le centre de gravité au point de le porter en dehors des verticales du contour de la base.