DE I.IÉQ11II.IBBE ET DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES

Le principe des vitesses virtuelles est connu depuis long-temps, aussi bien que ta plupart des principes géueraux de la mécanique. Galilée observa le premier, dans les machines, cette fameuse propriété des vitesses virtuelles, c'est-à-dire, cette relation si connue qui existe entre les forces appliquées et les vitesses que prendraient leurs points d'application si l'on venait à troubler inQnimcnt peu l'équilibre de la machine. Jean Bernouilli vit toute l'étendue de ce principe, et l'énonça avec cette grande généralité qu'on lui donne aujourd'hui, f^arignon et la plupart des géomètres prireut soin de le vériGer dans presque toutes les questions de la statique j et quoiqu'on n'en eût point de démonstration générale, il fut universellement regarde' comme une loi fondamentale de l'équilibre dei systèmes.

Mais jusqu'à M. Lagrange, les géomètres s'étaient plus appliqués h, démontrer ou à étendre les principes généraux de la science, qu'à eu tirer une règle générale pour la solution des problèmes ; ou plutôt ils ne s'étaient pas encore proposé ce grand problème qui est à lui seul toute la mécanique.

Ce fui alors une heureuse idée de partir sur-le-"''-"*"

^a8 ÉQUH.lBhb:

du principe des viliisses virtuelles comme d'uu axiome, et sans s'arrêtiji* davantage aie considérer en lui-mêine« de ne songer qu'à en tirer une méthode uniforuiede calcul pour former les équations de l'équilibre el du inouv^ement dans tous les systèmes possibles. On franchit par là toutes les difficulté'» de la mécanique : diitant pour ainsi dire , de faire la science elle-même, oa la transforma en une question de calcul : et cette tiïoiformation , l'objet et le re'sultat de la Mécanique anafyliquc, parut comme un exemple frappant de la puissance de Y Analyse.

Cependant, comme dans cet Ouvrage, on ne fut d'abord attentif qu'à considérer ce beau développeratol de la Mécanique qui semblait sortir tout entière d'ane seule et même formule , on crut naturellement que la science était faite, et qu'il ne restait plus qu'à chercber la dc-monstration du principe des vitesses virtuelles. Mais celte recherche ramena toutes les difficulté qu'on avait franchies par te principe incitie. Cette loi %i générale, où se mêlent des idées vagues et étranger» de mouvemens infiniment petits et de perturbation d'équilibre, ne fit en quelque sorte que s'obscurcira l'exameu : et le livre de M. Lagrauge n'offrant plus alors rien de clair que la marche des calculs , on vit bien que les nuages n'avaient paru levés sur le cours de la Mécanique, que parce qu'ils étaient pour ainsi dire rassemblés k l'origiue même de cette science.

Une démonstration générale du principe des vïtesus virtuelles devait au fond revenir àétablir la tnécaniqiK entière sur une autre base. Car la démonstration d'une loi qui embrasse tout une science ne peut être autre chose que la réduction de cette science à une antre loi

•iw

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 429 aussi généialcjinaiaevideiile, ou du moins plus simple que la première, et qui partant la rende inutile. Ainsi , par cela même que le principe des vitesses virtuelles renferme toute la mécanique, comme ilabesoin d'une démonstration approfondie , il ne peut lui servir de base première. Chercber à le démontrer pour l'heureuï usage qu'on en a fait , c'est chercher à s'en passer pour cet usage même; soit en trouvant quelque autre loi aussi féconde mais plus claire, soit eu fondant sur les principes ordinaires uue théorie générale de l'équilibre, dont la propriété des vitesses virtuelles ne devient plus alors qu'un simple corollaire.

Aiusi, dans cet état ou M. Lagrange avait porté la science , ce n'était point la démonstration du principe des vitesses virtuelles qu'il fallait chercher immédiatement. La Mécanique analytique, telle que l'auteur l'a conçue, est au fond ce qu'elle doi t être : et la démonstrationdu principe desTÏtessesvirtuetlesn'y manque point, puisque, si Von essayait de la mettre ^'1 la tête de ce livre d'une manière générale et bien développée , l'ouvrage se trouverait fait deux fois; je veux dire que cette démonstration comprendrait déjà toute la mécanique. Il faut considérer que M. La{;range s'est placé tout d'un coup sur un des points élevés de la science, aGn de découvrir quelque règle générale pour résoudre, ou du moins pour mettre en équations, tous les problêmes de la mécanique ; et cet objet est parfaitementrcmpli. Mais pour former la science clle-mËme, il lant élever une théorie qui domine également tous les points de vue d'oii l'on peut l'envisager. Il faut 1er directement , non pas au principe obscur des vii virtuelles, mais à cette rè^le claire qu'oji en a su

43o ÉQUILIBRE

pour la solution des problèmes : et cette rechetctifi directe, la se aie propre à satisfaire notre esprit, Ut l'objet principal du Mémoire qu'on va lire.

Propriétés de l'équilibre communes à tous lot systèmes libres.

L'un des premiers elémens de la théorie générale de l'équilibre est cet axiome ; que si îles forces se font «tuellenient équilibre sur un système quelconque de figure variable, l'équilibre ne cessera point en supposant que le système soit rendu tout-à-coup invariable, ou vienne, pour ainsi dire, à se solidifier liûmème.

Les conditions de l'équilibre des corps solides doivent donc se retrouver dans l'équilibre de tous les systèmes possibles , et c'est pour cela qu'on peut les nommer les propriétés générales de l'équilibre.

On a présenté ces conditions de plusieurs manières; maison peut remarquerqu'e//ej je réduisent à cette condition unique, que les forces appliquées aux divert points du système soient décomposables , suivant Ut droites qui les joignent, en forces deux à deux égales et contraires . C'est la possibilité de cette décompositiou qui exijje les six équations ordinaires de l'équilibre, comme on le verra tout à Iteure.

D'abord le théorème est évident pour l'équilibre de deax forces ; il faut que ces deux forces soient parfaitement égales et contraires.

Il est bien aisé d'en conclure que, pour trois forces, si l'on joint leurs points d'application par trois lipws

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 43i droites, il faut nécessairement que ces forces soient décomposables en d'autres deux à deux égales et contraires dans ces trois ligues.

Actuellement, si l'on a mi nombre quelconque de forces, que l'on prenne trois quelconques de leurs points d'application , les trois lignée qui les joignent , et toutes celles qui partant des autres points, viendraient aboutir à ceux-là : ou pourra se représenter ces trois premiers points comme les angles de la commune base de plusieurs pyramides triangulaires dont les au-c très points seraient les sommets.

Cela posé , on peut toujours commencer par décomposer les forces appliquées à ces sommets, chacune en trois autres suivant les troisarètes qui y aboutissent.

Ensuite, on est le maîire de décomposer les trois forces qui sont aux coins de la commune base, en forces qui soient égales et contraires aux premières, et en d'autres. Si l'on supprime les forces égales et contraires dans les arêtes, il ne reste plus que trois forces appliquées aux trois angles de la base. Mais puisqu'il y a équilibre, ces forces restantes doivent être décomposables suivant les trois côlés de cette base, en forces deux à deux égales et contraires.

Donc toutes les forces étaient déco m posabl es suivant les droites qui joignent leurs points d'application eu forces deux à deux égales et contraires dans chacune d'elles ; et cette décomposition est déterminée lorsqu'elle ne se fait , comme on le suppose ici, que par 3 h — 6 distances mutuelles , h ^taut le nombre total des points du système.

Lorsqu'on veut faire entrer dans le calcul, non-seulement les quantités des forces appliquées, mais encore

43a EQUILIBRE

leurs inclinaisons mutuelles, on se donne au Hta chaque force , ses trois coinposautes parallèles à tti aiea connus. Alors, pour exprimer qu'en cLaq poiut chaque force est dëcompose'e en d'autres snin les arêtes qui y aboutisseot, il faut trois e'quatii où ces demiëres composantes sont les inconnues, iaudrait donc en tout 3A équations pour les h poii du système. Mais si l'on veu t que les composantes soie

deux à deux é;;ales et contraires dans les 3h 6 arèlM

elles ne formeront que 3fi— 6 inconnues. Donc, eal9 éliminant, il restera entre les forces données six équ»lions de condition , pour que leur de'compositi forces éjjaleseicontraircit soit possible, et par conséqneBl

pour qu'il y a

équilibre. Ces<

t les si

equationicofe-

s données ailleurs par une métaphysique qui a de grands avantages; mais j'ai ^ll bienaise d'en indiquer, en passant, celte démoustratioi nouvelle, parce qu'on y découvre un nouveau et qu'ici ces équations ne sont pas obtenues sépaiément et par des considérations particulières, a s'offrent à la fois toutes six comme l'expression ï seule et unique condition, qui est la possibilité ok les forces appliquées se décomposent en dautres éeda et contraires suivant les distances mutuelles des é'B'^

Cette décomposiiion est donc nécessaire dans l'ég»libre de tous les systèmes possibles ; et , quand lestotances mutuelles des points du système sont touiesin* variables , elle suffit , de quelque façon qu'elle s'opèit d'ailleurs; je veux dire, quelle que soit la propofliu des com posan tes dans les dis ta nces mutuel les s u ccessira. . Mais lorsqu'aucune de ces lignes n'étant invaHitile

rS

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 435 à parti c'est limplement une fonction de leurs longueurs qui doit demeurer constante , alors U dëcompo* BÎtion précédente (qui est toujours nécessaire) ne suffit plus pour assurer l'équilibre du système ; il faut encore qu'il règne d'une droite à l'autre , entre les fa-* letirs des forces égales et contraire» , une certaine pro« portion qui dépend de la nature de la fonction propos Bée*. Or c'est précisément cette proportion qu'il s'agit de découvrir ici ; et^'est dans la manière géuéraliT de la déduire , de la fonction pro j^osée , que consiste la loi fondamentale de l'équilibre des systèmes.

D^un tifêlkme oà les 'points ne sont liés que par un» seule équation entre leurs distances mutuelles.

Ne considérons d'abord que quatre points, çt leufs distances m , n,p ,q, r, s qui sont comme les arêtes d'une pyramide triangulaire dont ces points seraieiit les sommets.

Représentons par/* (m, n,p , q, r, s) =sLssconstt la fonction quelconque de ces distances qui doit de^ meurer constante , en sorte qu'on ait toujours cette équation y dans quelques positions respectives que puissent passer les divers points du système.

Cela posé , soient , s'il est possible , quatre forces qui tiennent ces- quatre points en équilibre. Si on les conçoit décomposées , chacune en trois autres suivant les trois arêtes contigues , il résulte de ce qu'on vient de dire, que les deux composantes, qu'on trouvera dans chaque arête seront nécessairement égales et tonr

traires; sans quoi il n'y aurait point équilibre , ineai en supposant toutes ces arêtes devenues raides.

Il ne reste donc qu'à trouver la proportion ie composantes autour de chaque sommet de la pyramide

Pour cela, je suppose que trois quelconques de points deviennent parfaitement fixes dans l'espace. L'é quilibre n'est pas troublé. Mais, à cause de l'équath» propose'e, le quatrième n'a plus que la liberté de si mouvoir sur une certaine surface courbe , et il a entiè remeiit cette liberté : donc il est nécessaire que b force unique qui le presse soit actuellement perpendiculaire à cette surface (*).

Or, m, n,p, étant les trois arêtes qui se temûnenl au point que Ton considère , la surface qu'il a la liberté de décrire quand les trois autres deviennenl fixes j est donnée par l'équation ,

/( '»> n^p, ç, r,s) =z cens t.

lorsqu'on y regarde m, n, p comme seules variables. La normale à cette surface se trouve donc en pi^ nant les itois fonctions primes f (m), f {n),f{p\ delà fonction proposée relativement aux trois lignes on rayons m, n,p ; portant sur eux trois longueurs respectives proportionnelles à ces fonctions primes, ave( cette attention de les porter, sur les rayons mêmes, pour les fonctions primes qui auront le même signe; et ior leurs prolongemens, pour les fonctions qai antout ie signe contraire : si l'on achève le rhomboïde, la diagohale donne la direction de .la normale comme cela se voit JMir la géométrie (**).

t*) Voycz'iarceprincipc, la note I.

.(**) Oto trooTera phit loin laïdcmonsiratîon de ce tli^ortee.

Donc , puisque la force applique'e au point que Ton considère doit agir suivant cette direction, ses trois composantes suivant les arêtes m, n,p^ sont nécessairement proportionnelles aux 'trois fonctions /^rtme^ f im),f {r,),f (p).

On verrait de même qu'au point oh se terminent les trois airètes wi, ^, r, les trois composantes de là force qui le sollicite , sont proportionnelles aux trois fonctions primer f'\7n)y f\ç)y f\r)y et ainsi de suite.

Donc les forces e'gales et contraires dans les six arêtes m, n, p, q^ r, * , sont toutes proportionnelles aux six fonctions primes f{m), f{n), f(p)\ f[q)y fir), fis).

Donc il est de'montre', en toute rigueur, que si quatre corps ou points sont liés entre eux par la condition qu'une fonction quelconque de leurs distance^ mutuelles demeure constante, ces corps ne peuvent être en équilibre, à m'oins qxî*ils ne soient sollicités les uns vers les autres, suivant leurs distances. mutuelles , par des forces proportionnelles aux fonctions prîmes de la fonction donnée relativement à ces distances : ou*, ce qui est la même chose , à moins qu'ils ne soient sollicités par quatre forces P, Q, R, S, qui puissent se décomposer en celles-là; et, comme cette condition détermine entièrement les forces , il s'ensuit que de telles fovces se feront réellement équilibre sur le système.

On a considéré sous la fonction les six' distances mu-* tuellear^iTi^ n^Py q^ r, s, des quatre porps ; mais le rair sonnement serait le même si cette fonction lie renfermait qu'une partie quelconque de ces distances. Seulement on trouverai que les forces sont nulles le h des distances qui n'entrentpas dans la fonction.

Par exemple , que , des trois distaoces m^ n,p, du premier point aux troitf autres, il n'entre qae les deux premières m et n dans la fonction proposée ; alon k surface que ce point peut de'crire , quand les aulni sont fixement arrêtés, est donnée par TéquatioA f(m, n, Çf etc.)ssconsL en y regardant m et ti conme seules variables. C'est une surface de révolution autour de la ligne qui joint les deux corps d'où parlent la deux rayons vecteurs m et n. La normale à cette sar^ face est donc simplement la diagonale d'un paraUélogramme construit sur deux droites ptoportionneUesà f^ (Tn),J\n)j dont on aurait prolongé ces rayons vecteurs. La force qui doit agir suivant cette normale se décompose donc entièrement , suivant les ^îy^n^f^ m et Tif en deux autres proportionnelles kj^ {p^)yf(^f et ne donne point de composante suivant la distancé f), qui n'entre point dans la fonction.

Si, des trois distances m, n,p dn premier point tu autres, il n'y en avait qu'une seule m sous la fonctioD, la surface qu'il pourrait décrire- quand les autres sont fixes, serait donnée par réquationy( m^q^ r,....) = const.y en y regardant 772 comme seble variole, ccfû équivaut à m=sconst. C'est alors une sphère dont Ift ligne m est le rayon, et par conséquent la normale. La force qui doit agir suivant cette ligne y reste donc tout entière, et ses deux composantes sont naUett y suivant les distances neip : d'où l'on voit qu'il Bepeut avoir aucune action directe entre les corps, soivantkon distances mutuelles que la fonction ne renferme pf-

Soient actuellement tant de points que l'on toudra, et ^

f{m, n, p, q,r,....)=z L^ss. consL

une équation quelconque entre leurs distances mutuelles m; Tiyp, q, r,,,.. : et, s'il y a dans cette équation plus de 3 A— «G distances mutuelles, h étant le nombre des points, qu'on élimine ces lignes superflues , ou ^qu'on les suppose éliminées au moyen des équations de con-< dition qui ont lieu entre les lignes qui joignent des points deux à deux dans Tespace ; on pourra se représenter comme ci^nlessus, toutes ces distances mutuelles comme les arêtes de pytamides triangulaires successives qui s'appuieraient toutes sur une même base..

Gela posé , soit le système tenu en équilibre par des forces P, Q, R, S,... respectivement appliquées à ses différens points»

D'abord .toutes ces forces doivent être décomposables suivant les lignes m, n, p, q, r,.,,. en forces deux à deux égales et contraires , sans quoi il ne pourrait pas y avoir équilibre, comme on l'a démontré plus haut.

Cette décomposition supposée faite ( et elle aura lieu ici d'.une manière déterminée j , il ne s'agit pli^s ^ pour connaître les forces , que de trouver la proportion nécessaire de leurs composantes. Or, je dis qu'elles sont entre elles comme las (onciionB primes de la fiemotion pi*oposée relativement aux lignes m. n,p, q, r,,,. où elles sont dirigées.

En effet , considérons à part quatre points qui forment les angle$ de l'une de nos pyramides , et supposons pour un moment que , leurs distances mutuelles restant seules variables dans l'équation , toutes les autres y deviennent constantes ; il est clair que le jeu de ces quatre corps devient le même que s'ils étaient restés seuls dans l'espace , mais liés entre eux par l'équation proposée, où l'on regarderait leurs seules.

*38 EQnLIBRË

ilfiGmces nintnHlfs camme variables, et toutes les

uixres lii^es couune de simples nombres donnés. Cela

TsoLiâ ie la. ^opposiQaa même , et se voit aussi très

Jicn Jonâ .a i^uze ,, en se représentant les six arêtes

«.c loixr: -jvnuuitie restées seules variables. D'abord , le

^ixic iui laic le sommet de cette pyranaide ne tient

'OLCL ^uz outres irèces devenues invariables ; et pour

i^ï rou -Hiints 1 la base , ils ne sont pas plus gèaés

ar .r> .œie!^. ^lui viennent sur eux trois à trois des

.uiiv» ^xiucs du système y que si elles n'y étaient réel-

;:aicuL Lias. CxTf. bien que ces lignes soient devenues

ïsjLcuicnt raiùes, comme on les suppose restées mo-

:uL^ luLOur ie leurs points d'intersection, qui eux-

ucub.^ >ouL :uubiles dans Tespace , il est visible qu'elles

H. -i^icuk à'^iîles- mêmes aux mouvemens des trois

.viiicii ju oiles aboutissent y' et ne font que les suivre,

siu> '«» (^euer« dans toutes les positions où ils peuvent

si>c^' i'.Miîd Jii tait varier leurs seules distances niu-

:,^»:,^x ,j.;:> '*jv^i:atiou proposée.

*...», t ■ -^rtu de ce qui a élédcnionlré, il faudrait

««i .«^.. -vc [MrtKulior du système de nos quatre

...v> 4:< i> losi^ut sollicites les uns vers les autres

.,v^ v"n.i^ oioportiounelles aux fonctions /;r/mtîi

. i 0. ^' Ckt ^u'iuiee. prises relativement àleursdis-

Mi.x . ^xi . ail' vjae cette proportion doit se relrou-

, , » . ^>^ v'îL *A iucme dans lequilibre général du

.. V ,*. -i Vvv^u/.lbro est suppose' y exister, il y

,„A. X ^ .... OUI -^ .• -a SLi;.^pos;mt telles arêtes que Von

.,.vi.< v^. .vu> rii.àv.\s et supprimant alors toutes

^ . v;.vv ^^i» »'^^ - - vO^:-. aires qui se détruiraient d'elles-

,»v4Hv A ^i^t»i> vcs ai^'tcs. I.vs torccs restantes appliquéLj

au système partiel le long des arêtes ou distances mutuelles reste'es variables, doivent donc suivre nécessairement la loi de l'équilibre de ce système.

Donc, au moment de l'équilibre général, on est sûr que les composantes contraires qu'on trouverait dans les arêtes de l'une quelconque de nos pyramides ,'sQnt proportionnelles aux îonctïons prîmes de la fonction donnée relativement à ces lignes. Donc , à cause des arêtes communes aux pyramides successives, cette proportion s'étend d'une arèle â l'autre dans toute la figure du système ; et tous les points sont nécessairement sollicités les uns vers les autres, suivant leurs distances mutuelles m, n,py q, r^. , *, qui entrent dans la foncr tion, paç des forces proportionnelles aux fonctions primes/ {m),f(n),f(p),f(q),f, Çr) etc. , de cette fonction , relativement à ces distances m, nfP,q,r,,,., Ce qu'il fallait démontrer.

Si donc , aux differens points du système , on prend sur les lignes nfi^n^p^q^ry, . .., des longueurs quelconques toutes proporUonnelles a^x fonctions primes fijn),f\n),f\p),f\q),f{r), etc. , qui se rap. portent à ces lignes, ces longueurs représenterontgles composantes des forces qui doivent être appliquées à ces points respectifs; de sorte qu'en les téduisant- en chaque point à une seule P , on aura la force unique qui doit y être appliquée pour l'équilibre du svstème. La manière la plus simple de trouver l'expression de ces forces P, Q, R.../ est de chercher, -pour chacune d'elles P, ses trois composantes X, Y, Z parallèles à trois axes rectangulaire» dans l'espace.

Soient x^jj z les trois coordonnées du premier point par rapport à ces axes, w, n, /7,'etc., ses dis-

44o lÉQUILIBEe

tances aux aatres pouttc dont les cpoidonn^ mai

'^,y'y'^\ *'iy »«'; ar*,y,**; etc., on ania r

etc. y •

et les fonctions /7nfme5 de ces exj^ressions, prises pv

dm dn rapporta :v,etqne nous représenterons par -j-, j- ,

r^, etc. , seront les cosinus des angles que les droits

font avec l'axe des ».

Les forces f\m)^ f'{n)y f^tp)f «^«j appliqué» an point que Ton considère, suivant ees droites , donneront donc parfillèlement à l'axe des :r, les com|XH santés respectives •

lesquelles se réduiront à une seule X , égale à leur somme ,

mais cette expression n'est autre chose que la foactioD prime de la fonction proposée, yCifs^n,^, 9, r,...)i ou Lf prise relativement à :r, et que nous représenterons simplement par ( ;7- )•

Ainsi la force appliquée au premier point aura sa composante suivant l'axe X, des or, représentée par

( -7- j, c'est-à-dire, par la fonction prtTTie de la fonc-

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 441 tioa donnée L^ relativement & la coordonnée du point le long de cet axe, .

On aura de même pour les deux autres compo*^ santea Y» Z, suivant leaaxesdesy, ji, les expreisions

(4^\ (7-) ; de sorte que la force elle-même P sera

représentée par

Si l'on considère la surface courbe représentée par l'équation L zza const, y quand on' y regarde x^ jr^ z

comme seules variables, on sait que (;t-J> \ZiJ "> fdL\

angles que fait, avec les axes, la normale k cette surface (*).

est donc dirigée perpendiculairement à la surface courbe que le point où elle agit pourrait décrire si tous les autres devenaient fixes; ce qui doit être,

r--j, sont proportionnelles aux cosinus des trois

■•'''^'^'■■■"'••"■■■•"■^■•'■■^W^— »*•— ^Pii*— «iJi^iWiBW^BWI

(^) Cette Analyse contient la de'monstra lion générale ^a théorème de ge'ome'trîe dont on a parl^ pins haat (p.434)> Il en résulte ^oe les lignes^ (m),y*(/i),y'(p), etc., composées à la manière des forces, donnent pour résultante la normale k la sarface coarbe décrite par le point on m, rtyp^ q, etc., aboutissent comme rayons vecteurs. C^est ce rapprocbement curieux, entre la composition des forces et.

et ce qu'on pouvait supposer àpfio^, comme dan? le cas du système de quatre points, où l'on es^ parti de cette vérité comme principe.

Doue en appliquant ce qu'on vient de dire aux différens points du système , les forces P, Q, etc.^ qui les sollicitent sont toutes proportionnelles aux fonctions,

v/[(©*+(iy+(©"]'

etc.

et chacune d'elles est normale à la surface courbe que son. point d'application pourrait décrire, en vertu de l'équation L z= const.j si l'on supposait tous les autres fixement arrêtés.

Cette démonstration nom parait nette et rigoureuse ; elle est même dégagée de cette espèce d'axiome , que, dans les systèmes, les points ne peuvent agir les uns sur les autres que suivant les droites qui les joignent. £n effet , pour obtenir les forces totales qui

la détermination des normales, qui amène en Mëc^DÎqae ces fonctions primes de la fonction donnée , comme l'cxpres&îon natarelk des forces capables de se f.iiie c'qailibre. Car il faut, en chaque point, que les forces appliquées soient proportionnelles à ce» fone* tions primes , ;ifîn de donner leur résultante dirigée suivant laooc* maie h la surface que ce point peut décrire quand on arrête toosld autres : et cVst cnsuiic la nécessite' de Téquilibre clans chaque psrtii du système, qui eieuj celle proportion d'un point & Tautre da» toute IVtf'n due de la figure. /

ET MOUVEMENT PES SYSTÈMES. 443 doivent être appliquées aux, points respectifs «du sys* tème , nous sommes bien maîtres d'imaginer chacune d'elles comme décompose'e en d'autres suivant telles lignes que nous voulons choisir, et qui, pour chaque point, sont au nombre de trois au moins; et puisque nous avons trouvé la proportion nécessaire de toutes ces composantes ^ il s'ensuit que nous avons trouvé les vraies forces de l'équilibre, et que cet équilibre est unique. Cependant , voici une difficulté apparente qu'il n'est peut-être pas inutile de proposer et de résoudre , parce que sa solution très simple met le théorème dans un nouveau jour.

Quand le système n'est composé que de quatre points , il faut nécessairement leurs six distances mutuelles pour d^vminer la pyramide dont ils sont les angles ; et par conséquent il n'y a aucune équation de condition, c'est-à-dire qui existe d'elle-même entre ces distances.

^ais lorsque le nombre des points est supérieur à quatre, il y a plus de distances mutuelles qu'il n'en faut poui' assurer la figure du système ; et l'on a, entre toutes les distances, autant d'équations de condition que de lignes superflues. On peut donc alors éliminer de la fonction proposée /(jn^n^p^q'^r^ ....), ou y introduire telles de ces lignes qu'on voudra , et que toutefois la combinaison de ces équations pourra permettre. Ainsi l'on pourra varier les distances qui entrent sous cette fonction, et la forme de cette fonction de plusieurs manières.

Or, suivant qu'on voudra présenter cette fonction entre telles ou telles distances mutuelles, on trouvera telles ou tellcvS forces suivant ces distances ;

444 ËQUfLlBRE

d'où il parait que les forces totales P, Q, etc. , qui en insulteraient à chaque point, {k>urraieiit bien n'être pas les mâmes dans ces différens cas , quoiqu'au fond la liaison des points n'ait pas été changée, et que le cas de l'équilibre soit unique.

Pour détruire sur-le-champ cette difficulté, ^'obserre que, si une fonction des distances mutuelles de plasieurs points peut quelquefois être écrite de plusieurs façons, seloB les distances que l'on y veut choisir, cette fonclicm néanmoins reste toujours identique y n on la regarde comme une fonction des coordonnées Xy jr^ z de tous -les points. En effet, les équations de condition qui ont lieu entre les distiHices motuelles nt,ii,/i,^,r, .... ne sont autre obose que des identités , lorsqu'on vient à j suba|kuer, au lien de c^s droites , leurs expressions par les coordoonées x^ jTyZy x\y yz\ ei€,f dcs différens points qu'elles unissent. Ainsi, quoiqu'au moyen de ces équations, la fonction* proposée L puisse être changée en mynjp, Çy r, . . . . elle demeure toujours la même en x, f, z; x\y\z y etc., etc. : les expressions

/</L\ /dL\ (dL\ (dL\ (dL\ (dL\ ^

fe)' .fe)' U)' \d^y w)' w> ^''='

sont* donc aussi toujours les mêmes. Or, comme on sera toujours conduit à ces expressions pour les composantes de P, Q, etc., de quelque manière permise que la même fonction Z»,ait été écrite en m,n,j9,^,r,.. .., il s'ensuit qu'on parviendra toujours aux mêmes forces P, Q, R, etc., pour l'équilibre du système, comme cela doit être.

Ceci nous fait voir encore que si la fonction pro-

posée f{m^ ^fpj ?» r^.*.)^nLj est présentée entre plus de lignes m^n^p^q^r^ . . .^ qu'il n'en feutpour la fijgure, il sera inutile d'éliminer les autres ^ comme on l'a suppose fait^ au condmencement , pour la clarté de

la démonstration. Les fonctions f^J, f^Ji (-jr);

(de) ' (^) ' (â^) ' ^*'- ' 'ï"''*" *" *''•''■***

pour l'expression des forces de l'équilibre , seraient identiquement les mêmes que si l'on n'avait pas fait l'élimination ; et par conséquent on les obtiendra tout de suite , sans rien changer à la forme sous laquelle la foncâon est donnée.

A l'égard des actions réciproques des • difféfens points > si l'on sait que, dans le système dont on s'occupe, il ne peut y avoir de oommunicàtitfn directe entre les h points que par leurs 3A — 6 distancés mutuelles qui entrent sous la fonction , ou conclura de ce qui a été démontré, que ces points agiront réellement les uns sur les autres , suivant ces distances m^n^ p^q^ r^.^ , . en raison des fonctions primes r{m),f{n)J\p),.f{q),f{r), etc.

Mais de même que la fonction proposée péttt être présentée indifféremment entre telles ou telles distance» mutuelles , de même la communication detf pointa peut être établie suivant telles ou telles de C6s lignes sans que la liaison générale de ces pûitits soit changée. Si donc on ignore de quelle manière le système est exécutée on ne potlif a pas dire , d'après la seule fonction /(n>fiiii/> 9 9\ . « .), quellesêonC les réactions véritables des différons points, parte qu'on ne

saura pas sides liens qui pourraient donner lieu à ces action» directes sont établis précisément le long des distances mutuelles myn^pyq^r,,, , , qui paraissent dans la fonction. Ainsi cette fonction, qui, sons quelque forme qu'elle soit donnée , caractérise le système, et suffit pour faire connaître sur-le-champ les forces uniques, P; Q, R, etc., ou

v/[(0+(fy+'©"]v/[(i)'+a+©']---

qui doivent être appliquées aux diffërens points, ne suffit pas pour apprendre comment ces forces se distribuent réellcn^ent des uns aux autres : il (kut encore regardert^^ construction du système lui-même, et voir suivant quelles distances mutuelles la communication est réellement établie. S'il arrive qu'elle se fasse précisément par les mêmes distances que celles qui sont dans la fonction donnée , on prendra sur-lechamp les fonctions primes relatives à ces distances, et Ton aura les réactions véritables des différens points. Mais si la communication s'opère par d'autres lignes, il faudra commencer par éliminer de la fonction toutes les distamces mutuelles le long • desquelles il n'y a pas de. lien immédiat dans la construction da système (ce qui pourra toujours se tAixe au moyen des équations de condition entre ces droites), et les fonctions primes de cette fonction nouvelle par rapport aux distances mutuelles qui y restent, seront les expressions des actions réciproques qui auront véritablement lieu entre les corps.

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 447 Tel est l'esprit de cette loi fondamentale, qui con* tient toute la science des forces. Avant d'aller pluB loin, il me parait à propos d'en faire quelques applications simples, où l'on voie à la fois la rapidité des solutions et l'identité de la théorie avec les premiers principes de l'équilibre.

Considérons d'abord trois points liés entre eux par la condition que la somme de leurs distances mutuelles m^riyp, doive demeurer constante .

La f onction ^(7?i,n,^) sera donc ici m-f-n +i?; en prenant les fonctions /77'ime^ ^ on aura

Ce qui nous apprend que chacun des trois points doit être sollicité vers les deux autres par des forces égales; que par conséquent les trois forces P, Q, R, qu'il faut appliquer à ces points , sont représentées «n grandeurs et en directions par les diagonales de trois losanges construits av.ec ,les mêmes côtés sous les trois angles du triangle. :'

C'est la loi de l'équilibre de trois points ou passeraient, comme dans des anneaux^ un miême fil inextensible Iç long duquel- ils pourraient couler librement. ,Quapd ces points^ se meuvent de manière que le fil reste. tendu , la somme, de leurs «distances ix»i^ ^eljies depieuire constiante, conformtément à l'équation m •4-;7i+./'=^ coQst., et chacun d'eux lorsqu'on le , suppose seul juohUejy n'a plus que^ la . liberté de se mouvoir sur un ellipsoïde de révolutiou dont les deux autiaes sont les :foyers. C'est p6ur:Cela que chacune des forces ^ppUquée^ divise en deux: parties. égales l'angle

formé par les distances de son point d'applicâtiob âax d«ux autres : car cette force doit étire normale à VA* lîpsoïde dont il s'agit , et dans cette surface la nou mêle divise en deux parties ^aleé l'angle formé pat les rayons vecteurs.

On peut remarquer que le fil inextensible ne tepré» sente pas complètement la liaison qae réquation suppose; car ce fil fait simplement que la somme db distances des points ne peut pas devenir pltu grande, mais il ne Tempéclie pas de devenir ittoindre. Ainsi, pour l'équilibre des trois <!orp6 Unis par le fil , il fattt encore ajouter que les forces doivent agir de manière à ce que le fil soit tendu ; au lieu que dana l'équilibre du système défini par l'équation m -f- n -f-/' =: consL elles peuvent agir indifféremment , ùgk pour tendre k fil y ou pour le comprimer ; de sorte que Tespète de.fil flexible que le calcul suppose, est toat-à^la«fois inextensible et incompressible.

Si c'était simplement la somme de» distances m et Il des deux premiers corps au troisième , qui dût d^ meurer constante , on aurait

/(m, n) rs m •+* FI =: const.y

d'où/'(m)ttc:/'(n)=â 1. Ainsi, il faitdrait appliquer aux deux premiers corps deux forces égales, snitist leurs distances m et n^ au troirîème> et à celui-datte force égale et contraire à leur résultante ; et il n'y aurait point de force suivant la distance />, qui n'eatrt pas sous la fonction.

C'est en effet le cas de trois corps, dont l'ttn pMtf^ rait couler comme un anneau le long du fil, taïKife

' autres seraient fixement attacbés à ses

^nd les «deux corps extrêmes sontsup-

du milieu n'a plus que la liberté'

é^ ilipsoïde de re'volution aulour d'eux

^ ■ ; mais ceux^ décrivent simplement des

«our de. lui, comme centre, quand ils sont

>, l'un après l'autre, comme seuls mobiles.

X paurqiïoi la force applique'e au corps qui peut

isser le long du fil, divise en 'deux' également Tan-

gle forme par les deux portions de ce fil , tandis que

chacune des deux autres forces agit vers le corps du

milieu , dans la direction du fil lui-même.

S'il y avait plus de trois corps unis entre eux pari un même* fil > le long duquel ils pussent couler libreihcnt, en nommant m ^n, p, 9, r^ .... les portions successives de ce fil ^ op aurait

et par conséquent /*("») =/'(«) =/"(?) ^rCy) = f\r) = etc. = . ,

comme ci-dessus: d'où Ton voit que le fil doit être

également tendu dans toute sa longueur ; que chacune des forces divise en deux parties égales Tangle du polygttae funiculaire où. elle est appliquée , et qu'elles sont toutes proportionnelles aux cosinus des moitiés de ces angles ; etc.

Supposons acluellement que noff trois coYps soient tellement liés , que là* tomme des carrés de leurs di^Bces mutuelles reste constante.

La fonction /(m, II,/?) sera ici m* + ;»• -f /7* ; et l'on

45o ÉQUILIBRE

aura

y (m) s= am, f{n) =2/i, /'(/>) = a/>.

il faudra donc , pour Téquilibre , que chaque corps soi tsoUfci té vers les deux autres par des forces proportionnelles à ses distances à ces deux corps ; d'où il est facile de voir que les trois forces, uniques P,Q,R*, qai agitaient sur ces points respectifs, sont dirigées vers leur centre de gravité , eu les supposant de masses égales , et sont proportionnelles à leurs distances à ce icentî-e.

C'est en effet ce qui résulterait du plus simple raisonnement ; car en xertu de Téquatiou

m* + n* + j?' T= const. , si . l'on supposé deux des points devenus fixes , le troisième n'a plus que la liberté de décrire une sphère dont le centre est aa milieu delà droite qui joint les deux autres : or la force qui le sollicite , dans le cas de l'équilibre , doit être normale à cette surface , et par conséquent les trois forces doivent être dirigées des trois angles du trian- ^,le vers les milieux des côtés opposés , et se croiser ainsi au centre de gravité de ce tri|ingie ; il est clair ensuite qu'elles sont entre elles comme les distances des angles à ce point.

• Mais ici on ne peut plus construire le syst^e, comme on l'a fait dans l'exemple précédent ; il faudrait un fil d'une espèce particulière , où . les corps pussent rouler de manière que la somihe deis carrés de leurs distances fi|t toujours la même , et nous ne counaissons pas de fil qui ait cette propriété. Mai^de quelque façon qu'un pareil système puisse ^tre exe-

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 45i cuté ,• qu'il soit même possible ou non , peu'im]}orte à ' là tbéorie ; notre objet n'est pas de le faire , ijnais de

trouver les forces d'équilibre qui résultent nécessaire-

ment de sa déânition., et le problème est résolu dans toute sa pureté.

Que si l'on arait un plus grand nombife de coi^ps liés 'de manière, que la &ommé des carrés, de toutes leurs distances mutuelles dut demeuret constante , on verrait de même que, pour l'équilibre^ tous ces corps doivent être sollicités les uns ver^ les autres proporr tionnellement à leurs distances ; de sorte que les forces totales qui les animent respectivement sont dirigées vers le centre de gr&Yité de tous ces points, considérés comme égaux en masse, et sont proportionnelles aux' distances de tes points à ce centre commun:

Si la fonction des distancés mutuelles était; . .... .

— -j + - + -+....,• en pi'enant les fonctions

primes , on Burait • .

f'ip) = -^. /(?)=- ^.•. etc.

et tous les. cqfps, dans le cas de l'équilibre , devraient

être sollicités les uns vers les autres en faison inversé des carrés' de leurs distances mutuelles , etc;

On pourrait multiplier les exemples $ mais ceux-ici suffisent, et je reviens à la question générale..

45a. ÉQUILipRÉ

D'un système ou les. pointa sont liés par plusieurs équations quelconques entre leurs distances, mu^ tuelles.

Supposons actuellement que lea points du système soient telledbent liés , qu'on ait toujours - entre leurs distances mutuelles les équations suivantes : .

f {tnyn^p^q^ry . . . .) = 'L = const^ ç (vt^n^p^q^r^. . . ,) = ifcf = const, ^ (m^n^p^q^r^ ,...)= N =s const.

etc.

de-sorte que le iiystènle' puisse affecter toutes les figuresoù ces équations subsistent, et n'en puisse affecter aucune où elles cesseraient d'avoir lieu.

PremiërementL, \)artela seul que les points 'du système sont liés entre eux par la première éq^uation L=z const, f on peut leur appliquer les forcfs respectives

v[(sy-(0-^(-i)"]

etc.

A désignant un coefficient quelconque indétemÛDé, et chaque force étant normale à la surface représentée par l'équation L r= const. y lorsqu'on y regarde les trois coordonnées du point d'application comme seules variables ; et Ton est sur que ces forces se font équilibre sur le système.

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 453 En second lieu , parce queles points sont liés entre eux par la seconde e'quation M'=^con£t,, on peut leur appliquer encore les forces respectives

etc. •. .

fê éiaiit un nouiwau coefficient indéterminé; et chacune -de ces forces étant normale à la surface représentée par l'équation L =i'consU^ lorsqu'on y regarde les coordonnées du point d'applicationi comme seules variables.

De même, en désignant par r un coefficient indéterminé comme les précédens , on peut encore Appliquer, aux pointa du «ystème les forces respectives

etc.

dirigées suivant les normales aux surfaces respectives représentées par Féquation N ^ const, ^ lorsqu'on y regarde- successivement, etc.

Et ainsi de suite pour lés autres équations qui lient les points du système.

Il est bien manifeste qu'il y aura équilibre eu verta de tontes ces fotces, puisqu'il' y aurait* équilibré en particulier dans chaque groupe relatif àchaqueéquatioD/

Mais- on .pourrait demander si ces forces , ou leuïrs résultantes aux' ditféren^ points, sont les seules qui puissent se faire équilibre sur le systènâe : si , par la simultanéité des équations L-ss con^r., M = const., N =: const.j etc., les points ne pourraient pas devenir capables d'autres résistances iquè des résistances composées 3e celles qui naîtraient successivement dé

ces équations , si" elles avaient lieu l'une après l'aatre. Poiùr- répondre 'à; cette question', j'observe qu'au moment de l'équilibre du système , chaque éqiiatioii petit' ^tre regardée comme tenant lieu de certaines forces;', car *si l'on venait à supprimer tout-è-coop cette équation , l'équilibre serait rompu ; mais il est clair qu'il y aurait de cértftine^ forces propres à empecfaisr cette rupture v et qui remplaceraient parfaite* ment l'équation absente. Si donc on imagine quêftpates les équations , hors la première , soient actuellement remplacée^ par des forces convenables , les points ne se trouvant plus liés entre eux quejiar la seule équation L ^ consi. , il est nécesçaire ' que toutes les forces appliquées soient réductibles à des forces proportionnelles aux fonctions :

etc.

D'où Ton voit quie cette équation, dans réquîlibre du système y ne pèu^ tenu lieu que des mêmes foi^ces dont^Ue poùrrfit tenir lieu si elle était seule. Ainsi., le^ foi^ces qui peuvent se faire équilibre sur un système défini par plusieurs équations, ne.sont autre chose que les forces composées de celles qui s'y feraient équilibre séparément en vertu de diaque équation. •

Lorsque* lès points du système ne sont liés i^ué par une 3^ule équation , le cas 'de i'éqiiilibrettfst uùique ; je ^Y^v^ dire qulln'y a , pour chaque figure* où peijit.passer le système, quexles forces P, Q, R, etc.> de ditectiona et de proportiMS déterminées, qui puissent s'y bivte équilibre, Maia lorsqU''il- y a deux équations Lsssçonst, , M::^c&ns,i.<, l'équilibre n'est plus unique , et il y a pour u<ie;mêm6 figure une infipité de. groupes de forires qui peuvent se faire équilibre sur le; système. En effet, i^u uioyei) deskxleux indéterminées^ et ff qui affectent le^ deux comj^santes .

de chaque force , on^ut varier les' directions . et la proportion de ces forces d'une infinité de manières. Seulement il faut o'bserver que chacune d'elles ne sortira pas d'un plan déterminé : car la première composanté «st nbrnrale à la surfe^ce représentée par l'équation L= consL , lorsqu'on y regarde Iqs coordonnées du point comme seufes variables; la seconde est normale à la surface représentée par l'équation M=const. ,

lorsqu'on y regarde les mêmes coordonnées comme seules- variables. La résultante est* donc située dans le plan perpendiculaire à l'intersection de ces deux surfaces. C'est en effet ce qui doit avoir lieu; car n l'on vient à fixer tous les points du système, hors celu dont il s'agit,, il n'aura plus que la liberté de se mouvoir le long de cette intersection , comme dans un canal infiniment étroit: or, l'équilibre n'étant point troublé par l'hypothèse, il laut nécessairement que la force appliquée soit actuellement perpendiculaire i h' direction de ce canal. ' ' •

Quand il y a plus de deux équatàona «{ai lient les points du système , l'indétermination du cas de l'équilibre est encore plus étendue ; et pour les points dont le« coordonnées 'se trouvent' à la fois dims trois équations , les forces appliquées peuvent avoir des direc* tions quelconques. Les trois indéterminées A, 9, t, qai affectent alors les trois composantes de chaque force, peuvent donner à cette force une direction . arbitraire dans l'espace. C'est ce qui s'accorde encore avec notre principe; car si l'on suppose dévenus fixes tous les points hors celui que je considère^ comme ses coordonnées entrent à la fois dans trois des équations, ce point ne conserve plus aucune liberté dans l'espace, ainsi la force qui le sollicite n'est obligée à aucune direction déterminée (*).

(^) Aa reite , il faut bien entendre ceci : les direclions des forces ne sont pas tontes indë terminées ; s*il n*y avait, par exemple , que trois équations , nne fois qne l'on anrait d>spos<5 de x, /«, ?, pour donner à Tiiiie des forces une dirediion arbitraire , les directioix << la proportion des autres serait nécessairement de'terminées. '

D^un système ou les points sont liés par ^fes équations quelconques e/ilre leurs coordonnées,

Jusqu'ici nous n'avons considère qu'un syslème eur

tièrement /l'^re,. c'est-àr-dire,^dont les, points ne se trouvent liés que par des équations entre leurs dis^ tances mutuelles ; mais il est bien facile d'étendre la loi que nous avons trouvée , à un système où les points seraient liés par des équations entre leurs coordonnées relatives à trois axes fixes dans T espace. Ce n'est pas que les fonctions L, M^ N^ etc., des distances mutuelles m, /ly^, q^ etc., ne puissent être regardées comme fonctions des coordonnées x, j\ z; x\jr\ ^^ etc., au moyen des expressions . V'. C ( ^ 7" ^' )' + ij''^yy + (z — /)* etc.] qu'on y substituerait à la place des lignes m, çtc. ; niais elles ne contiennent alors ces coordonnées j:, jr^ Z; x\ y\ z'j etc., que. d'une certaine manière , et noua voulons passer au cas où elles en fieraient des fonctions quelconques.

Pour cela, reprenons notre système libre de l'article précédent , et , choisissant à volonté trois points de c^ système, menons de chacun des autres trois lignes à ces points; et supposons, ce dont on est toujours le maître, que, dans les équations L — const,, M"^

const.y N=^const, , etc., il n'entre que ces distances et celles qui joignent nos trois points deux à deux.

Si Ton suppose alors que ces trois points deviennent fixes , les forces de l'équilibre n'en seront pas moins exprimées par les mêmes fonctions qu'auparavant;

seulement les trois points devenus* fixes supporteront des pressions égales et contraires aux forces qu'il aundt fallu y appliquer s'ik e'taicnt restés libres avec les autres. Actuellement, faisons abstraction de ces trois points, c'est-à*dire , regardons les autres .coinmé formant à eux .seuls un système qui est celui que nous avons en xut, Leréquations entre leurs distances aux trois points fixés deviendront dés équations quelconques entre les

coordonnées qui déterminentleurs lieux dans l'espace: cependant les forces de l'équilibre seront exprimées comme auparavant. Ces forces, il est vrai , ne se feront plus équilibre entre elles seules, comme dans le cas du système libre, où nous les avons vues se décomposer en fotce», deux à deux égales, at contraires, suivant les droites qni joignent les' points; et même il pourra souvent arriver qu'il n'y ait aucune action directe entre ces mêmes points: Mais pour concevoir alors comment l'équilibre is'opèrè,' il faudra supposer qu'on restitue ces trois points fixes avec lesquels les premiers sont en liâh' son tacite ; et c'est par ces points, comme par des espèces de poulies de renvoi, que ceux du système réagiront les uns sur les autres , et entretiendront la loi de leurs résistances respectives de la même manière que si tout tétait libre dans l'espace.

Voilà précisément ce qui arrive quand on considère un système dont les points sont liés pai* des équations quelconques entre leurs coordonnées. On "ne voit actuellement que les points dont les coordonnées praissent dans ces équations, et. l'on ne peut plus e;ipliquer l'équilibie entre ces seuls coi^s : c'est qu'en se donnant une équation quelconque entre les coorlionnéos de plusieurs points, on introduit tacitement

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 469 des objets fixes extérieurs, aaxqneis les points se trouvent liés, et souvent par lesquels seub ils peuvent se comiiMiniquer leur* action réciproque. Mais si l'on imagine alora qu'on ait pris trois points *quelconques daos l'espace , et- qu'on ait changé les coordonnées primitives en d'autres qui soient, pour chaque point, sei distancef àx:es trois foyers, en ajoutant ces trois points au système 9 et considérant le tout. comme libre, son trouvera pour les forces la même exprèssion que nous avond donnée plus haut; et si l'on ne veut plus compter ensuite les trois forces appliquées . aux trois, foyers , parce qu'en les supposant fixes ; Ils n*ont pas bésoiti d,'être retenus par des forces actuelles, et qu'ils trouvent en eux-mêmes les résistances nécessaites pour ^équilibre*, on n'aura égard , comme on le fait ordinairement, qu^à celles des points du système pi'bposé, 'lesquelles auront entre elles les mêmes relations qu'auparavant , et se déduiront ii|imédiatement des éc^uationâ données, isitis'feur. faire subir aucune transforhiation . • '

• Et de là résulte enfin ce théorème , qui est l'objet principal du Mémoire : .

Quelles que soient les équations L -= o ,' etc,, qui nègnent entre les coordonnées des' diffétens points et un ' sj'sthme, chacune déciles , pour Téqtiilibre , demande qu'on applique à ces points , le long de leurs coor^ données , des 'forces quelconques proportionnelles aux fonctions primes' de cette fonction h, relativement à ces coordonnées respectives.

Ainsi, en représentant par L=c:o,. M = 'o, etc., des équations quelconques entre les coordonnées :c,j^,z; x\y jz\ etc., des différens points, et par A, ^, etc.,

"Ib.

46o ÉQUILIBRE

des coefficiens quelconques indéterininës , on aura, pour les forces totales; Xy.YyZ; X'yY'.Z', etc. , ipi doivent être appliquées à ces points suivant leurs coor données :

+ etc.

^' - « (g) + Kf ) + "'•

etc.' •

Si Ton élimine de c^s équations les indétenninées A, ^, etc./ il' restera les conditions de Téquilibre proprement dites, c'est-à-dîre , les relations qui doivent avoir lieu entre les seules forces - appliquées et les coordonnées de leurs points d'application pourVéquilibre du système.

Les équations (A) sont en inéme nombre que les coordonnées de tous les points , et les incléterminées A, ^, etc., en même noii;ibre que les équations de condition L = o, Af ?= o, etc. Le nombre des conditions de l'équilibre est donc égal à celui de toutes les coordonnées, moins le nombre des équations qui les lient; par conséquent les conditions (le l'équili* hrc diminuent à mesure que celles de la liaison aug-

ET MOUVEMENT. DES. SYSTÈMES. 461 mentent. Mais comme , pour un système entièrement

libre et dont le nomlnre de points est h^ il ne pourvait pas y avoir plus de •3A->-6 équations de condition / auquel cas. la figure serait entièrement déterminée; il s^ensuit que , pour l'équilibre d'un, tel système , il reste toujours six conditions nécessaires , comme nous le savions d'ailleurs.

£n général on voit que les équations de l'équilibre, . réunies aux équations de condition, suffiront pour résoudre tous les problèmes qu'on pourra se proposer sur l'équilibre du système. Par exemple , oii peut sfe donner'les forces appliquées X,Y,Z; X%Y',Z', etc., et dëçiander là figure que doit prendre le système pour se -metlre en 'équilibre en vertu de ces forces. Dans ce cas , les* équations réunies dont je viens de parler, et dont le nombre est égal à celui de* toutes les coordonnées, serviront à les faire connaître, et par conséquent les lieux des. différens corps dans l'espace. Mais si l'on se donnait la figure d6 système-, c'e8t-à-<lire les coordonnées de tous Wpoints, et qu'on demandât les forces capables de faire prendre au systènie cette figure, comme les forces X,Y,Z; X',T, Z% etc., qui aéraient alors les inconiines>, - ne se trouvent que dans les. équations* de ^équilibre,* et n'en-» trent point dans les équations de condition » on aurait moins d'équations que d'inconnues , et le .problènoie demeurerait indéterli^iné ï d'où l'on voit que," pour une même figure du système, il y aune infinité de groupes de forçesL capables de s'y faire' équilibre; ce qui s'accorde encore avec ce que nous ayons trouvé précëdeifiment^ etc.* etc.

Mab je passe à la conclusion générale, où l'on

rappelle .solis ui) même point de'vue lé problème- de l'équilibre et celui du inonvément. •

. Conclusion de ce Mémoire.

Les lois de l'équilibre et du mouvement d'un poiut libre sont connues -et parfai tendent démontrées ; mais s'il y a plusieurs points liés entre eux par des candie tiôns quelconques , qu'elles seront les lois de l'équilibre et du mouvement de. tout, le système? Voilà le problème général de la mécanique.

Or, ridée la plus naturelle dans cette recherche est . de. considérer que si tout le système est actuellement ^ 4^quilibre , chaque point -doit être en équilibre de lui-n^êrne, en vertu 4eï forces qui lui sont immédiaterpent appliquées , et des résistiem'ces qu'il éprouve de la part des autres , à cause de sa liaison 'avec eux. Et de ipéme, quand, le système entre en monvçmeni , ' chaque point doit se mouvoir comme s'il ëtaitlibie, et qu'il. obéit à la fois jbmx forces qui Je «ollicitent et aux forces de résistance tdont nous venoéi& de parler.

Si dope on savait évaluer ces résistance^, mutuelles ,

on n'aurait qu'à les combiner avec lés forces immédiatement données par l'état . de la question ^ et posant les équations de l'équilibre où du mouvement pour cbaqtie point ,. comme s'il était pairfaitement libre^ on aurait tout ce qui serait nécessaire potir déterminer l'état du système danç l'^pace , et 'le problème serait résolu.

Toute la mécanique se réduit donc à savoir estimer les résistances réciproques que peuvent se prêter les

iiifférens points d un système, en vertu dfss coruk tiens qui les lient.

Mais pour donner là-dessus une règle générai^ , il faut nécessairement concevoir ces conditions' e^^priuiées sous une {orme générale. Il faut commencer pai* établir une définition générale (lès systèmes; sans quoi la mécanique ne serait plus que.rénnmération' des cas particuliers d'équilibre et de mouvement que Fon saurait résoudre, et il n'y aurait pas plus lieii de s'en -proposer Iç problème général , que dans la géométrie , de chercher une règle géoérâlevdes tangenjtes, sil'pn ne supposait avant tout les courbes définies par leurs équations.

'Or, en supposant que les conditions qui lient entre eux -plusieurs Gprps et qui en font un système, consistent en ce que , dans toutes les positions où peuvent passer ces corps , il y ait des fonctions quelconques de leurs coordonnées qui doivent touj purs demeurer nulles oucon3tantes, nous .avons, démontré qu'en vertu de chacune d'elles , les corps sont rendus capables, suivant leurs coordonnées, de résistances simultanées proportionnelles aux fonctions pçHnes de cette||fonction , relativement, à ces coordonnées respectives. 1

On n'aUKa donc, pour résoudre les problèmes , qu'à prendre les résistances mutuelles des corps, d'après cette règle générale;. à combiner ces forces aVec celles qui leur sont impaédiatement appliquées , et à traiter séparément chajcun d'eux , comme* »'il était lïbte.

Ainsi, des éqiiations précédentes (A), ,les tn>is premières peuvent être regardée» comme les équations de l'équilibre dû premier point, qui serait libre, mais sollicité à la fois par lés forces appliquées X,--Y, Z,

et par' les forces contraires

dL\ . /dM'

qui naissent des équations L z= o , M = o , etc.

De même les trois e'quations suiTantes peuvent être considérées comme , et,c. , et ainsi des autres.

Quant aux équaûons du mouvement, on les for-

itx mera en égalant l'expression générale -j- de la force

accélératrice suivant chaqtie coordonnée x, à la force appliquée X , combinée avec la résistance suivant cette même coordonnée , et l'on aura pour le premier point,

et de même pour le second point ,

ET MOUVEMEl»* DES SYSTÈMES. 46S 6t'àiti8i de iBuUe ]K)Ur les autres points du système.

Telles sont les équations générales du mouvement, d'où il s'agira de tirer^ par lé calcul intégral , la solu-. tîon des problèmes qu'on pourra se ^ïoposer sur le mfouvement du système. '

De la loi de l'équilibre établie ci-dessus , nous àufioùB bien pu conclure qite -^ l'on trouble iniSniment p^b l'équilibre. d\in système «Quelconque de corps , de manière que les conditions de la liaison ne *Boient pas Isolées, la somme des moTnen^ de toutes les forces appliquée^, c^èst-à««dire', suivant l'acception de Gatt^ iéé , la somnie de leurs- produits par les chemins Irespectifs que parcourent leurs points d'application dans le sens-de eesferrcés, doit toujours^ être égale à térà ; de qui constitue le principe des vitesses virtuelles 7 ihab isé principe h'est -plus alors qu'un simple corol^ fadre de là théorie précédente ^ lequel ^ pour )» jàfAxH ticfn^ problèmes, nous Tàmènerail à la règle géné^ ràle.djoù nou^l^nrions tî¥é lui même^ et. ne se ferait înèmebien'ehtendre' quje piv cette règle.

Gn= Toit eniiîoi^e • qa^îl à été inutite de rappeler le fameux principe de D'Alembert > qui réduit la. Dynamique à la Statique. En vertu de ce principe , si l'on décompose chaque mouvement imprimé en deux autres , dont le premier soit celui que le corps prendra réellement , tous les seconds doivent se faire équilibre entre eux; c'est- à^rre, que si l'on décompose chaque mouvement imprimé en deux, dont l'un soit celui quç le corps perd, l'autre sera celui qu'il prendra. Mais cela revient immédiatement à ce qu'on vient de dire, savoir, que le mouvement réel de chaque point est le résultat de son mouvement imprimé , ^t

de la résistance qu'il éprouve par sa liaiaon avec les autres ; ce qui est évident de soi-même. Ainsi le priacipe de D*Alembert n'est au fond que cette idée simple , qu'on remarque à peine dans la suite du raisonnement y et qui ne revêt la forme d'un principe qoe par un certain tour d'expression qu'on lui donne.

Cependant , comme ou a yu que , pour avoir le mouvement de chaque pointy.il faut connaître ia résistance qu il peut éprouver Me la part des autres, et que , <run autre côté , ces résistances mutuelles ne sont autre chose que des forces'qui se Ibnt équilibre à .chaque instant sur le systèuie , dans les figures successivea où il passe , il en vésulte non-seulement que les lois du mouvement peuvent être ramenées à celles de l'équilibre , comme on 1^ savait . déjà p^ir le pris* cipe de D'A.lcmbert, mais encore qu'elles doivent ) revenir nécessairement d'elles-mêmes; qiiê dans l'étude ordonnée dus diverses parties de la Mécaniquei on ne peut pas traiter l'équilibre comme un ci^ particulier du mouvement , et qu'il est dans la natiire des choses que la Dynamique soit fonde'e sur la Statique.