OBSERVATIONS

Louise.

Mètres.

Degrés.

Bord droit de la Caroline.

Fin delà Louise.

S* Barbe.

Entrée dans h chambre d* S.te Barbe.

(Voy. pi XXX.)

Je conseille de commencer par relever l'ouvrage comme s'il était horizontal, de remplir les deux premières colonnes de ce nouveau livret comme dans le premier, et de ne remplir les troisième et quatrième , qui sont destinées aux inclinaisons montantes et descendantes, qu'après avoir relevé les degrés et les longueurs ; seulement on aura soin de

faire tomber les stations de la boussole sur les points où la pente change d'une maniera sensible , en sorte que l'on n'aura plus qu'à relever cette pente pour chaque station , et il y a d'autant moins d'inconvénient à partager ainsi l'opération en deux, que l'inclinaison ne peut s'exprimer sur le dessin du plan , mais seulement sur la coupe des ouvrages, qui ne peut se faire qu'à l'aide du plan, lequel doit toujours être dessiné le premier.

11 y a deux manières de prendre l'inclinaison ou la pente d'une galerie. La première, qui est la plus simple , consiste à se servir d'une règle de deux mètres et d'une autre d'un mètre seulement ; de placer la première horizontalement et la petite parfaitement droite (pi. XXXI, fig. i ). On pose un à-plomb garni de son fil sur la règle horizontale , et on la fait monter et descendre en la faisant glisser sur la règle verticale, jusqu'à ce qu'elle soit parfaitement de niveau ; on remarque à quelle division le dessous de la règle horizon* taie répond sur celle qui est droite , et cette division indique de combien le terrain monte ou descend , soit que l'on commence par le haut ou par le bas de la galerie. La figure 1 marque que sur une longueur de 14 décimètres le terrain descend de A en B de 7 décimètres, ou en d'autres termes, qu'il descend de moitié de sa longueur, et que , s'il avait la pente de BC, il descendrait de toute 6a longueur , etc., ce que l'on note dans les

44^ GÉOMÉTHIE

quatrième et cinquième colonnes ou eu ajoutant une M ou un D à coté du nombre qui exprime la pente , afin de se rappeler si c'est en montant ou en descendant Lorsque la galerie a une pente uniforme , et qu'elle ne va point successivement de haut en bas et de bas en haut , il suffit de mettre une de ces deux lettres en tête de la colonne , et il est inutile de la répéter à chaque station : de cette manière il ne reste qu'à additionner la colonne des inclinaisons , pour avoir la pente générale ou la hauteur verticale entre deux étages d'une exploitation qui ne communiquent que par des percemens inclinés; car le but de cette opération n'est que de déterminer la différence de niveau entre deux ou plusieurs travaux souterrains, de chercher la pente d'une grande galerie et de déterminer rigoureusement la distance qui sépare un point d'avec un autre; ainsi , par exemple, la distance du point A au point B (pl.XXX.1, fig. i ) n'est pas la ligne ÀB ; mais sa projection horizontale A'D, et il est tout aussi essentiel de tenir compte de cette différence dans les travaux souterrains qu'à la surface; car, si on la négligeait , on placerait sur le plan les différens étages d'une exploitation à des distances plus grandes qu'ils ne le sont réellement, quand ils ne communiquent entre eux que par des galeries inclinées et non pas par des percemens verticaux ; toutes choses que Ton ne peut point effectuer avec le niveau

d'eau et les royans , à cause de l'obscurité et du peu de hauteur des travaux souterrains. x

Tel est le moyen le plus simple , mais non pas le plus expéditif.

Voici le second: L'on a un demi -cercle de cuivreje plus léger possible, divisé en deux fois quatre-vingt-dix degrés, et dont le point zéro se trouve au milieu du limbe ; il est garni d'un fil à plomb et armé de deux petits crochets (pi. XXXI , fig. 2). On se munit de deux règles, chacune d'un mètre de haut, que l'on place bien verticalement , et sur le bout supérieur desquelles on tend la chaîne ou la ficelle dont nous avons déjà parlé. On suspend le demi -cercle à cette chaîne ou cordon bien tendu, et l'on observe sur quel degré le fil à plomb s'arrête : c'est le degré de la pente du sol de la galerie ; car, lorsque le fil à plomb répond à zéro , cela indique que la ligne de suspension, qui est parallèle au sol , est horizontale , et quand elle est in* clinée , l'angle formé entre la ligne horizon* taie et la ligne de suspension est le même que celui qui est marqué par le fil. Dans l'exemple

1 Une couche qui plonge de a degrés descend de 3 pouces par toise; de 8 degrés, descend de 9 pouces; à 10 degrés, elle descend d'un pied; a ai degrés, de a pieds; à a 8 degrés, de 3 pieds, et à 4^ degrés, de 6 pieds: c'eat-à-dire qu'elle s'enfonce d'une quantité égale à sa longueur. Ces données ne sont pas rigoureuses pour les premières inclinaisons , mais cela peut cependant servir quand on explore la surface sans instrument

représenté dans la figure 2 , cet angle est de vingt - cinq degrés. l

Quand on se sert de chaînes de laiton, Ton est dans l'usage d'y suspendre la boussole, comme le demi-cercle, de manière que, sans revenir à deux fois , on a du même temps la direction de la galerie sur une. longueur donnée (ordinairement 10 mètres) et son inclinaison, en sorte que la disposition du livret est réellement simplifiée.

Mais en revanche on ne peut point avoir, immédiatement l'inclinaison et le total de la pente par une simple addition , et l'on est obligé, pour l'obtenir, soit de tracer ces lignes sur le papier, soit de les calculer trigonométriquement pour chacune des stations ; ce que Ton obtient facilement, au reste, puisque Ton connaît les trois angles de chaque triangle et Thypothénuse formée par le sol même de la galerie; il est inutile de dire qu'il faut, après avoir noté les degrés de la boussole, ceux du demi- cercle et la longueur de la chaîne, recommencer immédiatement après, en partant du point où la station précédente a fini, et continuer ainsi jusqu'à l'extrémité de la galerie, en se tenant toujours du même côté , plaçant le nord de la boussole en

1 Suivant M. Dufrenoy, les Anglais, an lien d'exprimer l'inclinaison d'une couche ou d'un filon avec l'horizon, indiquent généralement la tangente de l'angle que forme ce plan avec la verticale, en disant que la couche s'écarte de tant d« pouces par toise de la verticale , etc.

ayant et observant toujours la même extrémité de l'aiguille.

Si une mine a plusieurs issues au jour , ou que Ton veuille figurer sur le plan quelques objets extérieurs, on se conduira absolument comme pour les travaux souterrains: ainsi, par exemple, pour déterminer la place de la croix A (pi. XXX) par rapport au puits, on visera dessus • avec l'alidade , on notera le nombre de degrés et l'on mesurera en droite ligne quelle est sa distance au puits, en ayant soin toutefois de niveler le terrain , s'il est inégal, avec un niveau d'eau ou autrement: si on ne pouvait pas l'apercevoir de l'entrée du puits , on ferait plusieurs stations et on les noterait comme pour les coudes d'une galerie.

Manière de rapporter les opérations sur le papier et de dessiner les plans.

Quand on a relevé ainsi les différentes issues d'une mine et les principales voies ou grandes communications de tout un atelier, il faut les tracer sur le papier, en se servant d'une échelle convenue , par exemple d'un millimètre pour mètre l ; mais avant de corn-

i Cest l'échelle youlue pour les plans à fournir a l'Administration des ponts et chaussées et des mines $ mais elle est beaucoup trop petite pour le plan journalier du directeur. Jt la propose de 3 mill. pour mètre , et cela suffit. La plancke XXX est dessinée sur l'échelle youlue par la loi.

mencer , voici quelles sont les précautions qu'il faut prendre.

i.° Il faut choisir une table qui n'ait aucun clou de fer, visiter les tiroirs, pour s'assurer qu'ils ne contiennent rien de susceptible d'attirer l'aiguille de la boussole.

a.° Il faut coller une feuille de papier par les bords seulement, et afin qu'elle soit bien tendue , on aura soin de la mouiller légèrement avant, sur toute sa surface, avec un linge ou une éponge humide.

3.° Quand le papier sera sec et bien tendu, on tracera un cadre tout autour avec une simple ligne à l'encre. On posera la boussole de manière à ce que la ligne N. et S. soit parfaitement parallèle avec le côté droit du cadre ; ce que l'on obtiendra aisément en faisant tourner la table sur elle-même: quand on y sera parvenu et que le point N. regardera le haut du papier, on marquera sur le plancher de l'appartement la place des 4 pieds de la table, a$n de pouvoir la replacer facilement dans là ipême position , ou s'assurer qu'elle n'en n'a pas changé , ce que l'on peut vérifier en représentant la boussole sur le côté du cadre qui est parallèle à la ligne N. et S. : de cette manière les quatre côtés du cadre répondent à chacun des points cardinaux , et si l'on ne tient point compte de la déclinaison de l'aiguille , on datera le plan et Yqix indiquera à côté du nord , que c'est le nord magnétique et non pas le nord

vrai : avec cette précaution et la date on peut se passer de tenir compte de la déclinaison , qui varie chaque année et qui est toujours consignée dans l'Annuaire du bureau des longitudes et la Connaissance du temps. Avant de commencer à dessiner , on jette un coup d'œil sur le livret, pour reconnaître dans quelle direction sont les plus grands travaux, afin de se placer plus à droite sur le papier, si les ouvrages s'étendent à gauche, et à gauche s'ils s'étendent à droite.

Tous ces petits préparatifs étant achevés, on commence à reporter sur le papier toutes les stations que l'on a faites dans la mine, en plaçant la boussole précisément comme elle était dans les travaux pour chacune des stations, et attendant avec patience que l'aiguille se soit arrêtée et que le bout bleu , si c'est celui que l'on a choisi, marque bien le même nombre de degrés que celui qui est indiqué sur le livret ; pendant que l'aiguille oscille à droite et à gauche , on prend avec le compas sur le pied métrique autant de millimètres qu'il y a de mètres indiqués pour cette station , on le marque en appuyant légèrement sur le papier , et l'on trace une ligne de cette même longueur avec un crayon fin , que l'on fait glisser le long de la boussole, qui sert de règle: voilà pour la première station.

Pour la seconde , si elle ne diffère de la précédente que d'un très -petit nombre de degrés , il faudra faire tourner la boussole

avec précaution ; afin. de ne pas trop agiter l'aiguille et l'amener sur le nombre indiqué; quand elle y sera fixée , on marquera la longueur de cette seconde station avec le compas , dont l'une des pointes doit tomber sur l'extrémité de la première ligne; on la tracera avec le crayon, et l'on aura ainsi, et successivement, la direction , la longueur et la figure exacte du côté droit de la galerie qu'on aura relevée ; mais comme cette galerie à une certaine largeur , on tracera légèrement à la main , et sans règle , une ligne légèrement ondée, parallèle à la première, dont l'éloignement figurera la largeur de la galerie. Que l'on jette un coup d'œil sur la planche XXX, et l'on verra l'effet produit par ces deux lignes dans le dessin de toutes les galeries. La ligne tracée à la règle indique le côté sur lequel on a. opéré, et j'ai l'habitude de relever toujours le côté droit, de mettre le nord en avant et d'observer le côté bleu de l'aiguille ou le bout qui se termine en dard de flèche. Lorsque l'on aura tracé les principales voies ou les plus grandes galeries, qui sont presque toujours des galeries de direction ou d'écoulement , on y rattache les traverses et tous les percemens secondaires que l'on a relevés en second lieu , et l'on parviendra ainsi à se procurer l'image exacte de toutes les parties d'une mine ; mais seulement à vol d'oiseau ou en projection horizontale. Cette première partie ne; peut indiquer ni la pro-

fondeur des puits, ni l'inclinaison des galeries, ni Ja distance qui sépare un étage d'avec un autre; on dirait, si l'on s'en rapportait à ce premier dessin , que tout est sur le même plan , il en faut donc un autre pour avoir une idée exacte et pour compléter le premier.

Cette seconde partie s'appelle coupe , et je ne puis mieux la comparer qu'à celle d'une maison dont la façade est abattue et dont on voit d'un seul coup d'oeil les différens étages et les escaliers qui y conduisent La coupe d'une mine , ou sa projection verticale , suppose que le terrain est coupé d'aplomb , et laisse apercevoir les divers ouvrages qu'il renferme. Or, si Ton a noté la profondeur des puits et la pente des galeries montantes et descendantes avec soin sur le livret, et que Ton ait dessiné le plan avec exactitude ; rien ne sera plus aisé que de tracer la coupe : car il suffira d'élever des verticales à. l'extrémité des galeries tracées sur le plan, et de donner aux puits la même profondeur qu'on leur a trouvée en les plombant. Ainsi , dans l'exemple figuré pi. XXX, le puits de Y Espérance, qui ne présente que son embouchure sur le plan, se dessine sur la coupe avec toute sa profondeur, son puisard et la galerie de Julie, qui y débouche à une profondeur de 14 mètres. On voit que, de même qu'un plan seul ne donnerait pas une idée complète des travaux , une coupe seule n'en donnerait pas non plus une idée exacte; car,

45ô GÉOMÉTRIE

en effet, si Ton n'avait pas le plan, on croirait que la Sainte- Barbe et la Louise se communiquent et traversent le puits, et cependant elles en sont bien loin ; on n'aurait pas une idée juste du développement de la Royale et de la Caroline , qui ne sont là qu'en raccourci , etc. Cela est si vrai que Ton conseille généralement de faire deux coupes des mines, l'une dans le sens de la direction, et l'autre dans celui de l'inclinaison, et quand les travaux sont très-multipliés , que les gites que l'on exploite sont irréguliers, on est sou* vent obligé , pour éviter la confusion , de dresser des plans séparés de chacun des étages: le nom et les couleurs que l'on répète sur les deux projections, facilitent, il est vrai, et aident beaucoup à l'intelligence des plans, mais ils ne suffisent pas toujours; on ne saurait rien voir en ce genre de plus satisfaisant et de mieux entendu, que les plans de mine qui sont gravés dans le magnifique atlas de la Richesse minérale de M. Héron de Villefosse, et en cela , comme en beaucoup d'autres choses, on ne pourrait choisir un meilleur modèle.

On n'est pas dans l'usage de représenter les objets de la surface sur les plans de mine : je conviens que c'est une espèce d'anachronisme ; mais néanmoins je suis d'avis qu'il y , en a de certains que l'on doit y faire figurer, afin que l'on soit toujours en garde, et que l'on n'en approche jamais assez pour nuire

à leur solidité , $i ce sont des routes ou des édifices, ou pour éviter les filtrations, si ce sont des ruisseaux ou des fontaines. On voit par exemple pi. XXX , qu'il eût été fort dangereux de prolonger la galerie Julie, puisqu'elle aurait infailliblement introduit les eaux du coljr dans les travaux, etc. Or, si le plan n'offrait pas à chaque instant l'image de ce dangereux voisinage, on pourrait peut-être venir à l'oublier, surtout si l'établissement changeait de directeur ou de maître mineur. C'est encore dans les mêmes vues que je conseille à mes confrères de figurer à la surface des terrains toutes les extrémités des principales galeries, dont ils continuent l'avancement avec des jalons ou voyans blanchis ayant la forme d'un index (pi. XXXI, fig. 3), et de les avancer chaque mois, dans la même direction que l'on a suivie , de la même quantité de mètres que l'on a exécutés , et en tenant compte de la pente extérieure ou de celle des travaux. De cette manière , et en se plaçant sur un point bien choisi, on se figure l'ensemble de ses travaux par rapport à la surface, et l'on sait toujours à point nommé sous qu'elle propriété l'on travaille, de quelle concession l'on s'approche le plus quand on a des voisins, si l'on marche contre un terrain qui se montre différent à la surface, etc. : toutes choses fort essentielles à bien connaître , et qui ne demandent que quelques instans tous les mois , en même temps

45â GÉOMÉTRIE

que Ton mesure l'avancement et que l'on met le plan à jour , chose que Ton ne doit pas négliger et qu'il ne faut pas laisser arriérer.

L'Administration a conseillé aux directeurs l'usage des plans maillés, et c'est une trèsbonne chose, que j'ai adoptée depuis longtemps ; ceFa est fort commode pour la corresrpondance , soit avec l'ingénieur du département, soit avec son Administration, qui doivent avoir un double des plans. Je suppose , par exemple , que là galerie Caroline ait été faite dans l'année, et que vous désiriez donner une *idée juste de sa figure et de sa direction; il vous suffira d'envoyer le carré de mailles compris entre G 3, Ka (pi. XXX), pour qu'on puisse la mettre exactement à sa place sur le plan qui ne la contiendra point encore. Ce sont des longitudes et des latitudes, à l'aide desquelles on s'entend sans périphrase: ainsi, par exemple , l'on dira que la croix de fer A se trouve à l'intersection de la ligne N avec la ligne 3 , et on la placera sans hésiter et d'une manière précise, quand bien même les plans de votre correspondant ne seraient pas sur la même échelle que le vôtre.

Le plan idéal et très-simple que je donne ici pour exemple , est celui d'un filon dont la direction représentée par la galerie Royale est à peu près du nord au sud, qui s'enfonce à l'ouest et dont l'affleurement devrait être à l'est dans le lit du coljr : à l'extrémité delà galerie Sainte- Barbe il se serait trouvé un

renflement qui aurait motivé cette chambre circulaire , et la galerie Caroline aurait été poussée sur une branche accidentelle, tandis que la Louise, la Julie et la Sainte- Barbe auraient suivi le filon principal dans le sens de son inclinaison.

Les plans de houillères sont généralement plus réguliers, et comme l'exploitation se fait ordinairement par tailles ou par chambrées, ils présentent de gyndes places exploitées, qu'on trouve rarement aussi étendues dans ceux des mines métalliques.

J'ai vu des plans de houillères où les travaux seuls étaient figurés en blanc et où les massifs étaient réservés en noir ; c'est peutêtre plus exact à la rigueur que de faire l'inverse > mais cette méthode a le grand inconvénient de ne pouvoir représenter les accroissemens successifs des travaux , parce que les parties où il faudrait les tracer, sont colorées en noir. Tels sont les plans des houillères de Liège, gravés dans l'ouvrage de Morand, et tels étaient aussi les anciens plans des houillères de l'Allier que j'ai vus à Fins en Bourbonnais,

Donner une idée juste de la figure et de la disposition relative des différens travaux d'une exploitation, n'est pas, à beaucoup près, tout le parti qu'on peut tirer d'un plan de mine ; il est une foule d'autres services qu'il nous rend journellement, et qui nous seraient absolument refusés, si l'on négligeait de le

dresser avec exactitude. On peut s'en servir comme d'une carte géographique, pour connaître la distance d'un point à un autre: ainsi je suppose, par exemple, que l'on ait intérêt à savoir quelle différence de hauteur il y a entre l'entrée de la Caroline et la chambre de la Sainte-Barbe entre e et 8 ; le compas ouvert de 8 à ef vous apprendra qu'il y a 18 mètres , et une autre ouverture, portée de e en e' vous apprend^ , .en se servant de l'échelle , qu'il y aurait 75 mètres de galerie à percer pour arriver perpendiculairement au-dessous de cette excavation et suivant telle direction.

Je suppose que la Caroline débouche au jour dans un profond ravin et que l'on veuille profiter de cette circonstance pour évacuer les eaux du puisard au lieu de les monter à grands frais avec des tines ou autrement; on mesurera cette distance avec le compas sur lé plan et non pas sur le coupe, et Ton trouvera ce qu'il y aurait de mètres de galerie à percer, pour arriver à ce point, dont on connaîtra par le même moyen la hauteur par rapport à la Caroline, qui devrait être de niveau, ou un peu plus basse , pour remplir le but qu'on se propose. Je pourrais ajouter une foule 4'autres circonstances où les plans et les cou* pes des mines sont indispensables ; car bien qu'une grande partie de ces problèmes puissent se résoudre par le calcul et à l'aide des tables des logarithmes et des sinus , il en est

d'autres qne Ton résoudrait plus exactement par la méthode graphique que par la trigonométrie; tel est, par exemple , celui qui tendrait à déterminer la longueur de la galerie qui ferait communiquer le puisard avec la Caroline: d'ailleurs, l'un n'exclut pas l'autre, et, comme je l'ai déjà dit, on devra se servir des calculs trigonométriques pour déterminer d'avance à quelle profondeur on recoupera une couche par un puits vertical , ou à quel point il faut se placer pour la recouper par un puits d'une profondeur donnée.

Résolution des triangles par les tables trigonométriques.

La couche , le puits et la surface forment un triangle rectangle ABC (pi. XXXI, fig. 4)» dont tous les angles sont connus. Si le puits doit avoir 288 mètres, à quelle distance faut-il qu'il soit de l'affleurement A ? ou combien aura de mètres le côté AC?

Formule. Sin. A : BC 1 1 sin. B ; AC.

Logarith. sin. A 5o°, compl. arith. • o,5oioS l

Logarith. a88m BC 2,45939

Logarith. sin. B. 6o° 9^1^

1 Exemple pour prendre le complément arithmétique du sinus À de 3o degrés. On trouve , dans les tables pour le sinus de 3o degrés, 9*69697$ oti soustrait le premier chiffre à droite

Cherchez ce logarithme avec 2 à la caractéristique seulement au lieu de 12 , et vous trouverez qu'il répond à 499 9 c'est-à-dire qu'il faudra s'éloigner de 5oo mètres seulement, pour qu'un puits de 3oo mètres, dont on en sacrifierait îi pour le puisard , puisse recouper une couche inclinée de trente degrés avec Thorizon à une profondeur de 288 mètres.

Supposons maintenant que l'on veuille faire l'inverse ; c'est-à-dire que, connaissant l'affleurement d'une couche et son inclinaison , et désirant faire un puits à 5oo mètres de l'affleurement , on demande à quelle profondeur il faudra descendre pour la recouper, et quelle sera la hauteur inclinée du massif que ce percement asséchera ?

Cette question se réduit à chercher le coté BC et l'hypothénuse , qui ici est la couche elle-même, AB.

Formule pour le côté BC.

Sin. B I AC I I sin. A : BC.

Sin. log. de 6o°, compl. arith. . 0,06347

Log. 5oom 2,69897

Log. sin! 3o 9*69897

Logarithme * 2, 46041, qui

répond dans les tables à 289™

de 1 o , et tons les autres du nombre 9 , et Ton a : 7 de 1 o, reste 3, — 9 de 9, o, — 8 de 9, 1, — 9 de 9, o, — 6 de 9, 3 — et 9 de 9, o , ou o,3oio3 : c'est le complément cherché.

Formule pour l'hypothénuse AB.

Sin. B ! AC : ! rayon I AB.

Log. sin. 6o°, compl. arith. . 0,0624.7

Log. AC 5oom 3,69897

Log. rayon . . * 10,00000

Logarithme 12,761^9 qui

répond dans les tables à 577 mètres.

Quoique les triangles obliques se rencontrent rarement dans les plans de mine , voici la manière de résoudre les cas où Ton connaît, i.° un côté et deux angles, 2.0 deux cotés et un angle non compris (pi. XXXI, % 5).

Premier cas. Le côté AB et les deux angles A et B sont connus. Pour avoir un des autres côtés on fait cette proportion : sin. G \ AB

: : sin. a : bg

Log. sin. 700, compl. arith. . 0,02701

Log. AB. 5im 1,70757

Log. sin. 5o° A 9,884^5

CB côté cherché. Log s 1,61 883, qui

dans les tables répond à 4im>5o.

Second cas. Les côtés AB , CB et l'angle C sont connus. On aura un autre angle avec la proportion suivante : AB \ sin. C * ! CB 1 sin. A.

Log. AB. 5im, compl. a ri th. .. 8,29243

Log. sin. C 700 9>97*99

Log. BC 4im 5o i,6i8o5

Logarithme. ...... ^9,88347, qui

répond dans les tables à 49° 53'. l

On trouve à la fin de la Géométrie souterraine du savant ingénieur Duhamel père, des tables de sinus très- commodes dans la

1 Usage des tables des logarithmes des nombres et des sinus.

Les tables portatives des logarithmes des nombres de Lalande sont calculées jusqu'à 10000. Ce chiffre est assez fort pour las besoins de la pratique, et il est au resta facile de le porter plus haut eu augmentant la caractéristique.

Pour trouver dans les tables le logarithme d'un nombre, de 9180 par exemple, on chercha cette somme dans la colonne des nombres; celui qui se trouve vis-à-vis dans la colonne des logarithmes est le logarithme cherché : ainsi il est de 333846. Si, au lieu de a i8o, on avait a 1800, on aurait 4 à la caractéristique au lieu de 3 = 4*33846, Ce moyen est suffisant lorsqu'on n'a pas besoin d'nne exactitude astronomique; d'ailleurs on peut recourir aux tables de CaUet, qui sont cal-r culées jusqu'à 108000.

Les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes, eo tangentes pour chaque degré et chaque minute , sont disposés par colonnes, comme les logarithmes des nombres. A là première page on trouve le logarithme du sinus d'un arc de i°, le logarithme du cosinus d'un arc de i°, etc. ; arrivé à 44° ^9 » Ie* degrés sont au bas des pages. Ils se cherchent en revenant sur ses pas, et leurs logarithmes se trouvent alors dans la colonne des cosinus; ceux des tangentes , dans la colonne des cotangentes, etc. Pour avoir le logarithme du sinus d'un arc de 7 8° 35', on cherche 780 au bas des pages, et l'on remonte la colonne des cosinus jusqu'à ce que l'on soit arrivé au logarithme qui répond à 35 minutes.

pratique, et qui mériteraient d'être réimpri-. niées sous un format plus portatif que celui sous lequel on les a publiées. Au moyen de ces tables, connaissant la base et les deux angles , on trouve de suite et sans calcul les deux autres côtés du triangle. Cet ouvrage, dont j'ai déjà parlé plusieurs fois, est recommandable sous beaucoup d'autres rapports, tant par les détails techniques qu'il renferme sur l'art des mines, que par le grand nombre de problèmes de trigonométrie applicable* à l'exploitation dont il offre la solution. Ce bon livre n'a peut-être contre lui que son malheureux format in-4-°> qui l'a toujours rendu cher et incommode; aussi je me plais à y renvoyer les personnes qui ne se contenteraient point de ce que j'ai' cru devoir dire sur l'application de la géométrie à l'art d'exploiter les mines, et qui trouveraient trop abrégées les tables des sinus calculés de M. de la Chabaussière , que nous donnons à la fin de ce chapitre. On voit qu'en agissant ainsi , mon intention a bien moins été de publier quelque chose de complet , que d'écarter tout cet appareil scientifique , qui n'a eu d'autre résultat jusqu'à présent, que d'effrayer ou de dégoûter les ouvriers et les chefs d'atelier, en leur persuadant que ce qu'on leur demandait était beaucoup au-dessus de leur intelligence.

J'ai essayé de présenter la chose sous un point de vue plus simple, et comme je suis

4<3o GÉOMÉTRIE

parvenu à former par ce moyen l'un des meilleurs maîtres mineurs qui existent en France, je l'offre ici avec toute confiance.

Observations sur quelques circonstances particulières.

Quelques minerais de fer ont la propriété d'agir sur l'aiguille aimantée et de la -forcer à se déranger de sa direction naturelle : or, on conçoit que si l'on avait à lever le plan des travaux faits à travers de tels minerais, il faudrait renoncer de toute nécessité à l'usage de la boussole, et chercher à la remplacer par un moyen où l'aiguille aimantée ne fût comptée pour rien, puisqu'il est certain qu'on n'obtiendrait jamais par elle que des résultats absolument faux. Il a donc fallu recourir à d'autres intrumens que la ho assole, et ces instrumens sont des rondelles de cuivre divisées absolument comme la boussole en heures ou en 56o degrés continus, et qui portent, au lieu d'aiguille aimantée, un index en cuivre qui se termine par un crochet à l'une de ses extrémités, et qui est fixé au centre de manière à pouvoir faire le tour de la rondelle comme l'aiguille d'une montre. Il est bon d'avoir trois de ce$ rondelles, qui se fixent sur des bouts de planche au moyen de deux vis. l

i Duhamel, Géométrie souterraine, page 17$ > et figures *

Lorsque Ton Teut faire usage de ces rondelles graduées, il faut commencer par s'éloigner assez des objets qui agissent sur l'aiguille aimantée, afin de pouvoir déterminer par son moyen la direction d'une première station, soit à l'entrée des travaux, soit en dehors. On tend un cordon ou une chaîne qui s'attache d'un bout au point de départ, et de l'autre au crochet de l'index d'une première rondelle qui est fixée convenablement, et comme ce cordon est parfaitement parallèle à l'aiguille, qu'il en est pour ainsi dire le prolongement , on fait tourner la rondelle jusqu'à ee que le même degré que marquait l'aiguille sur la boussole se trouve à son index, et on l'arrête là par une vis de pression. Après avoir fait les observations d'usage, savoir, la direction, la longueur, etc., de cette première station et les avoir successivement portées dans les colonnes du livret, on procède à la seconde station; mais ici, comme on suppose que l'aiguille serait dérangée, on supprime complètement la boussole.

Laissant donc la première rondelle à la place qu'elle occupait quand on l'a mise momentanément en communication avec la boussole, on en va placer une seconde au point où la deuxième station doit finir. On dé-

et 4 de la planche IV* — Jars, Voyages métallurgiques. — H. de Villefosse, Richesse minérale, etc.

46a GÉOMÉTRIE

tache l'extrémité du cordon du point de départ où il était attaché, et on Ta la fixer au crochet de l'index de la deuxième rondelle; et comme l'indicateur de la première a suivi la chaîne dans son mouvement autour du centre, le cordon ou la chaîne se trouve ainsi tendu de l'extrémité d'un index à l'extrémité de l'autre. Maintenant que l'on observe le degré marqué par la première rondelle, et ce sera évidemment le même que l'aiguille de la boussole eût indiqué, on fait tourner la deuxième rondelle jusqu'à ce que son index marque ce même degré ; tfn s'y arrête, et l'on continue ainsi dans toute l'étendue des travaux. Rien n'empêche ensuite de se servir d'une boussole pour dessiner tous ces angles sur le papier.

Au lieu des rondelles graduées, dont l'usage est assez minutieux, on emploie quelquefois de simples planchettes couvertes de papier, sur lequel on trace par des lignes, au lieu de l'exprimer par des nombres, les angles que forme la projection horizontale des stations consécutives, et il est ensuite extrêmement aisé de rapporter ces angles sur Je plan définitif. C'est à peu près ainsi que de pauvres paysans mineurs qui ne savent ni lire ni écrire, mais qui sentent cependant quelquefois la nécessité de se représenter leurs propres travaux, se servent de petits. bâtons croisés qu'ils présentent horizontalement à chaque coude de la galerie qu'ils veulent relever,

marquent avec des entailles les intersections de ces morceaux de bois» et parviennent , trèsimparfaitement sans doute, à se former une espèce de plan, qui certes n'est pas exact, maïs qui vaut encore mieux que rien.

Quand on a réglé l'entrée de la galerie avec la boussole , et qu'il faut suivre cette direction sans dévier ni à droite ni à gauche pour arriver par le plus court chemin possible au point que l'on veut atteindre, les simples mineurs, à qui l'on donne ordre d'aller droit devant eux, se servent de la lumière de leur lampe pour s'assurer qu'ils ne se détournent point: pour cela, ils mettent la flamme tout-à-fait contre la paroi qu'ils veulent dresser, ils se placent un peu en arrière, et s'il se fait une ombre, c'est une preuve que l'on est trop entré; si, au contraire, le côté fait saillie, c'est la preuve qu'il faut entrer davantage. Par ce moyen bien simple j'ai vu pousser des galeries parfaitement droites sur une trèsgrande longueur, et il est d'autant meilleur qu'il peut se vérifier à chaque instant.

Un instrument moins incommode que les rondelles graduées, et qui remplit absolument le même but, puisqu'il ne porte point d'aiguille aimantée, c'est le graphomètre souterrain; instrument qui consiste en une plaque circulaire, que l'on place solidement et dans une position horizontale par le moyen d'un niveau à bulle. Cette plaque ou plate-forme est divisée sur son limbe en degrés et en

heures. Sur ce limbe repose une alidade mobile circulairement , qui sert à indiquer les degrés et par conséquent les directions; cette alidade est surmontée d'une autre plaque verticale, à laquelle elle est solidement fixée. Cette plaque verticale est tronquée dans sa partie inférieure , et sa forme représente les deux tiers d'un cercle; elle est divisée en 121 degrés de chaque côté : elle sert, à l'aide de deux alidades garnies de crochets, à indiquer les angles d'inclinaison. Ainsi, lorsqu'on est parti d'une direction connue , laquelle peut pour la première opération être' déterminée avec la boussole, ou mieux encore à l'aide d'une méridienne passant par l'un des points principaux de la mine, on peut avec facilité diriger l'instrument vers un lieu quelconque, et exécuter tous les plans nécessaires pour lés travaux de mine, sans le service de l'aiguille aimantée, et prendre en même temps les directions et les inclinaisons , puisque dans toutes les opérations il ne s'agit que d'observer les angles présentés par l'instrument, de mesurer la longueur des lignes, et de calculer des triangles rectangles dont on connaît trois choses.

Lorsqu'on est appelé à relever le plan d'une vaste et ancienne exploitation, que les excavations sont nombreuses et irrégulières, il faut, avant de commencer, faire une reconnaissance générale des lieux, les parcourir plusieurs fois , et s'aider , si cela est possible, de

l'assistance de quelque ouvrier du pays qui ait travaillé dans ces travaux, s'assurer qu'il n'existe de mauvais air nulle part, et se préparer enfin au travail que Ton s'est proposé d'exécuter.

Il faut, comme je l'ai dit ailleurs, commencer à relever les plus grandes voies et laisser à chaque point où l'on s'arrête pour recommencer ailleurs , le nom écrit de la galerie que l'on aura relevée; nom qu'il faut lui donner absolument si elle n'en a pas déjà, et pour que l'humidité ou les rats, qui abondent quelquefois dans les souterrains, ne détruisent pas ces marques, on enfermera le papier plié dans un morceau de bois fendu. Quelques marques faites avec de la chaux sur les parois des galeries, avertiront que l'on a déjà passé par là, et qu'il faut se défier de faire un double emploi. Quand on en vient à relever les petites traverses, il faut aussi les nommer toutes, afin d'éviter de les mesurer deux fois, et comme on écrit toujours difficilement dans l'intérieur d'une mine, où l'eau et la boue ne manquent presque jamais, il faut avoir une provision de carrés de papier portant chacun un nom écrit trèslisiblement, que l'on n'a plus qu'à plier. Il faut, autant que possible, choisir ces noms sonores , faciles à prononcer et à retenir pour les ouvriers; car cette nomenclature des galeries d'une mine est destinée au même usage que la nomenclature des rues d'unç

ville, et quand on a épuisé les plus beaux noms de la liturgie des Saints, rien n'empêche d'emprunter ceux des grands hommes, des grands capitaines et des principales victoires, et rien ne s'oppose, si l'on veut, à ce que l'on puisse diviser et grouper tous ces noms dans des quartiers distincts, qui, désignés sous les noms de quartiers des apôtres, des preux, des belles , des* victoires , etc. , permettent d'indiquer tout un canton d'une mine par un seul mot.

J'ai fait l'essai de cette méthode de nomenclature, lorsque je fus chargé, en 1824, de relever les plans de toutes les mines de houille de l'Aveyron que M. le duc de Gazes venait d'acquérir, et je me suis convaincu qu'elle offrait plusieurs avantages et aucun inconvénient Ceux qui n'ont jamais vu que de très-petites exploitations, pourraient trouver toutes ces précautions inutiles; mais j'en appelle à ceux qui ont eu à débrouiller quelques-uns de ces grands labyrinthes, où Ton peut marchpr plusieurs heures sans repasser par la même galerie, où l'on monte et descend à chaque instant, où rien n'est droit, où l'on trouve des espèces de carrefours où quatre à cinq issues viennent aboutir, et ils conviendront avec moi qu'il n'y a rien d'exagéré dans ce que je propose ici.

Remarques sur la construction de la bous* sole des mineurs et autres instrumens.

Malgré tout ce que l'on a dit contre l'usage de cet instrument, l'expérience l'a suffisamment vengé, et je pense comme M. de la Chab aussi ère, directeur des mines de houille de Montrelais, que c'est encore le meilleur de tous ceux qu'on a cherché à lui substituer sous divers prétextes plus ou moins mal fondés. Néanmoins je crois que la boussole actuelle, celle que nos constructeurs nous vendent, pourrait être encore plus commode en y faisant de légers changemens, dont je vais indiquer ici les principaux*

i:° Je demande irrévocablement la division en 56o degrés continus, et non pas en quatre fois 90 degrés, comme quelques constructeurs se sont entêtés à l'exécuter; 36o° se trouve au N.,900 à l'E., i8o°auS. et270° à l'O.; que les degrés soient divisés en deux et cotés successivement de 10 en îo1 (pi. XXXII).

1 Dans presque tonte PAU e magne et dans les mines les mieux conduites , on se sert de boussoles divisées en heures ; les unes présentent 1a heures consécutives placées comme celles d'un cadran , et alors midi répond au N. , 3 h. à l'E. , 6 h. au S. , et 9 h. à PO. Mais d'autres présentent deux fois 12 heures, et alors midi répond au N. , 3 h. au NE. , 6 h. a TE. , 9 h. du soir au SE. , et minuit au S. ; 3 h. du matin au SO. , 6 h. à l'O. , et 9 h. au NO. En sorte qne la direction et le pend âge d'un filon ou d'une couche s'expriment en heures et fractions

2.0 Je voudrais que l'aiguille eut une forme particulière du côté qui doit se tourner au nord. La couleur bleue que l'on est aujourd'hui dans l'usage de donner à la moitié de l'aiguille, n'est point suffisante pour se faire distinguer quand on est mal éclairé et qu'il est tombé de l'eau sur le verre qui recouvre la boussole. La forme d'une flèche ou d'un petit javelot était préférable, et je voudrais qu'on y revînt.

3.° Je voudrais que le pivot de l'aiguille, dont là chappe doit toujours être en calcédoine, fut un peu plus haut, afin que l'aiguille fut moins sujette à toucher et à s'arrêter quand on vient à ne point tenir l'instrument parfaitement horizontal.

4-° Comme on doit toujours dessiner avec la même boussole qui a servi à opérer dans les travaux , je voudrais que le rapporteur de cuivre dans lequel on la fixe pour tracer sur le papier, portât deux boutons , l'un rond et l'autre triangulaire; et que le nord de la boussole ne pût jamais se trouver qu'en regard du bouton triangulaire , chose extrêmement aisée, puisqu'il suffit, pour empêcher toute. méprise, de réserver une trèspetite saillie à la boussole et une légère échancrure dans le rapporteur pour la rece-

d'heures , ce qui est infiniment plus long et plus compliqué que an l'indiquer, soit par rapport aux points cardinaux, soit tout simplement en degrés, comme nous rayons toujours fait jusqu'ici.

Toir. De cette manière, le N. serait toujours placé de même dans le rapporteur, et la forme particulière du bouton du N. avertirait si Ton venait à cesser de mettre ce point en avant sur le dessin , comme on l'a toujours dû mettre en relevant les travaux.

5.° Je demanderais surtout que les grands côtés du rapporteur fussent taillées en biseau ' et divisées en millimètres, dont le point zéro serait au centre et les nombres de droite et de gaucbe jusqu'à chaque extrémité. Cette petite précaution peut éviter un compas, une règle, un pied métrique ou une échelle; je la recommande particulièrement

6.° Enfin, je demanderais encore que la boîte qui renferme habituellement la boussole, fût disposée à peu près comme celle des arpenteurs, qu'on pût s'en servir pour lever dans l'intérieur toutes les fois qu'on ne voudrait pas suspendre l'instrument, et à l'extérieur en y fixant une alidade amovible. La seule différence c'est que la boîte, au lieu d'être parfaitement carrée, serait plus longue dans un sens que dans l'autre.

A tous ces perfectionnemens je voudrais qu'on en ajoutât encore un fort essentiel, c'est celui de diminuer le prix de cet instrument, de ne point chercher à en faire un bijou, et de ne mettre dejuxe que dans la précision de la division du limbe et du rapporteur. Il faut en venir à pouvoir fournir une bonne boussole de mineur pour 5of , et

c'est à quoi nos constructeurs doivent viser : alors ils en vendront beaucoup; chaque caporal voudra posséder la sienne en toute propriété, il s'en servira, s'habituera à la manier en tout sens, il la soignera comme sa montre et tout en ira mieux. La planche XXXII donne une idée de la boussole telle que je la voudrais voir exécuter.

La boussole de poche*

Cette petite boussole, qui a la forme d'une montre, est excessivement commode dans les voyages, et particulièrement dans l'exploration de la surface d'un terrain sur lequel on cherche des indices. Elle doit être divisée comme la grande et porter en sus les lettres indicatives des quatre points cardinaux. On y a même apporté un petit perfectionnement, qui paraît être au premier abord une faute de transposition. Le voici : on a placé l'E. à la gauche du N. , et l'O. à sa droite , mais c'est exprès et afin que l'aiguille marque la véritable direction d'une couche, qui, se dir rigeant, je suppose, au NO., force l'observateur qui tient l'instrument de se tourner à l'E., tandis que l'aiguille ne bouge pas de place. En effet pendant que l'observateur pivote sur lui-même , les divisions passent sous l'aiguille en sens inverse, et quand on juge que l'on est bien dans le sens de l'objet dont on cherche à déterminer la direction, le côté bleu de l'aiguille marque positivement

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dans quel sens la couche s'incline ou quelle est sa direction , celle d'une vallée, etc. Sans cette précaution on serait obligé de se servir de l'indication donnée par la côté blanc. Tout ceci, au reste, se comprend aussiôt que Ton a l'instrument entre les mains, et il serait superflu d'insister davantage.

Outre l'usage de cette petite boussole pour prendre la direction d'une couche , d'une vallée ou* de tout autre objet, on y a ajouté un segment de cercle divisé en degrés avec un petit aplomb, et afin que l'on puisse s'en servir sous ce nouveau point de vue, on fait sortir de l'intérieur de la boîte une petite pièce qui permet de la faire toucher par deux points à la fois sur un même plan horizontal : mais il faudrait que l'on pût faire saillir une autre pièce semblable du bord opposé , afin de pouvoir prendre l'inclinaison du toit des couches, tandis qu'on ne peut apprécier, par son moyen, que l'inclinaison des couches sur lesquelles on peut la poser. M. Gardien, ingénieur des mines, conseille cette addition, et je la recommande comme lui à ceux qui construisent ces petites bous* soles1 qui coûtent 60 f.

1 M. Rochctte, opticien, quai de l'Horloge près le Pontneuf a Paris, exécute ces boussoles, et tous les instrumens qui tiennent à Part des mines, avec beaucoup de soin.

La chaîne de laiton.

La chaîne de laiton que l'on recommande pour le lever des plans de mine, tant pour me* surer que pour suspendre la boussole et le demi-cercle, a l'avantage de ne point changer de longueur par l'alternative de l'humidité et de la sécheresse; mais elle présente l'inconvénient de se mêler à chaque instant, de se plier, et par conséquent de se raccourcir. J'aime tout autant une ficelle bien humectée pour l'intérieur»

S- 7- De la manière de tracer une méridienne et d'apprécier la déclinaison de l 'aiguille aimantée.

Je terminerai ce que j'avais k dire au sujet de l'art de lever les plans de mine, en rappelant à ceux qui ne l'auraient plus présent à la mémoire, le moyen le plus simple de tracer le méridien, et d'obtenir par conséquent, sans le secours delà boussole, le nord vrai du lieu où l'on se trouve.

On fixe sur un plan rendu parfaitement horizontal avec un niveau k bulle d'air, un style dans une position à peu près perpendiculaire; avec un aplomb à pointe on détermine exactement le point du plan qui répond au sommet du style, et de ce point, pris pour centre, on décrit deux ou trois arcs de cercles concentriques, ensuite on observe dans la ma-

tinëe le point où l'ombre projetée parle style coupe l'arc de cercle , et l'on marque exactement cette intersection. On fait la même observation dans l'après-midi, et l'on marque de nouveau l'intersection de l'ombre avec l'arc de cercle. La ligne menée par ces différens points est la méridienne cherchée, et la ligne qui la coupera perpendiculairement indiquera, par conséquent, le vrai nord. Pour avoir la déclinaison de l'aiguille aimantée, il ne s'agit plus que de présenter parallèlement à la ligne vrai nord, un des côtés de la boussole ; on voit alors de combien de degrés l'aiguille dévie, et de quel coté. Afin d'obtenir un résultat plus juste, on présente au vrai nord successivement les quatre côtés de la boussole, et l'on divise par quatre le nombre total des degrés observés à chaque tour : le quotient donnera la déclinaison fort approchée de la réalité.

De la réduction des plans.

L'on est souvent forcé de faire la copie d'un plan sur une échelle plus grande ou plus petite, et cela devient une opération aussi longue qu'elle est fastidieuse, si l'on n'a pas un moyen quelconque d'abréger. A ce sujet M. de la Chabaussière, que j'ai déjà eu occasion de citer plusieurs fois, avait fait exécuter un instrument aussi simple qu'il