CHAPITRE V

RAPPORTS RUIÊIIIDUES DES IRTERVRLLES.

L'art musical n'a rien à voir dans les chiffres, a-t-on dit bien souvent et avec raison. Non, évidemment, l'art musical n'a rien à y apprendre. Mozart, Beethoven et tant d'autres ne se sont probablement jamais occupés des rapports delà science avec la musique, et cette indifférence ne lésa pas empêchés de produire des chefs-d'œuvre. Mais est-ce une raison pour qu'on les suive dans cette voie? Si les maîtres se sont montrés peu soucieux de cette connaissance, c'est que probablement leur époque n'exigeait pas les études qui sont indispensables aujourd'hui. Les phénomènes de la nature ont existé de tous temps, ce qui n*empêche pas que la découverte des lois physiques qui les gouvernent est récente et constitue une des plus précieuses conquêtes du génie humain!

Le connaissance des rapports numériques des intervalles est de nécessité absolue pour le musicien, non qu'il doive s'en servir dans la pratique de son art, mais afin qu'il se rende compte des éléments qui le constituent. A cet effet, il doit s'initier aux travaux des savants qui ont écrit sur cette matière

en comparant le résultat de leurs recherches aux lois de la science harmonique.

Aujourd'hui, peu de musiciens lisent ces ouvrages avec fruit, parce qu'ils n'en comprennent pas la portée et qu'ils n'admettent pas l'influence bienfaisante que cette étude exercerait sur leur carrière artistique.

La première page les efifraie et le livre est fermé sans que celui auquel il est destiné se soit donné la moindre peine pour en comprendre le sens !

Tâchons donc de compléter la mission que nous avons entreprise en exposant brièvement, mais explicitement, le rôle des chiffres dans la désignation du rapport des intervalles. Si le musicien veut bien nous suivre sans parti pris, et surtout sans effroi, nous pensons que les quelques lignes qui vont suivre lui l)ermettront désormais, sinon de prendre part aux nombreuses discussions qui surgissent aujourd'hui à propos de l'art qu'il est le plus intéressé à connaître, du moins de les comprendre eu mettant à profit ce qu*ily trouve de bon.

On appelle intervalle la distance qui existe entre deux sons. Le plus grand intervalle en musique est l'octave; c'est celui qui est représente par deux sons dont l'un fait une vibration pendant le même temps que le second en fait deux.

Le rapport vibratoire d'un intervalle se chiffre sous forme de de nombre fractionnaire, en mettant comme numérateur le plus grand nombre de vibrations et, conséquemment, au dénominateur, le plus petit nombre. Ainsi, l'intervalle d'octave se chiffre f , que l'on énonce 1 est à 2 et qui peut encore s'écrire de la façon suivante 1:2.

Il est évident que le connaissance du rapport entre tous les intervalles nous permettrait de les établir pour tous les degrés d'une gamme dont le premier terme nous serait connu. C'est ce que nous allons essayer de faire en donnant plus dé développement à notre démonstration ; pour cela, il est nécessaire que nous rappelions ici l'ordre de succession des harmoniques

la ,1^ Hit <^i

produits par la diyisioa d'une corde ou dVa tuyau. Nous avons vu que ces harmoniques sont :

i^ fr K* il& *fc g

13 li 15 16 17 16 19 20 21 22 23

et qu'ils sont produits par la division des corps vibrants, en fractions de plus en plus petites. Cette série des harmoniques n'a d'autres limites que celle delà corde elle-même, parce qu'il arrive un moment où ^les divisions de la corde se confondent. Bappelons-nous que le nombre de vibrations étant en raison inverse des longueurs, nous avons pour

le son 1, dit fondamental^ tonte la longueur de la corde. » 2, faisant 2 fois plus de vibrations , la ^ longueur de la eorde.

et ainsi de suite.

L*ordre de succession des harmoniques 1, 2, 3, 4 etc., est donc une progression arithmétique et donne, en même temps, le rapport de vibration de chacun des sona comparé au son fondamental désigné par 1 .

Examinons la gamme majeure en partant Sut ==»! vibration.

Le second degré àQ cette gamme est re, à la seconde majeure du premier.

La succession des harmoniques 8 et 9, nous offre le rapport vibratoire de cet intervalle, elle nous indique qu'il est

produit par deux sons dont l'un Mt 8 vibrations jiendant que le second en fait 9. Donc si ut fait 8 vibrations, ré en fera 9; Mais si ut ne fait, conformément à notre hypothèse, qu'une vibration, re\ pour se trouver dans un rapport équivalent avec cet ut, en fera 8 fois moins: donc 9 divisé par 8, ce qui s'écrit |.

Le troisième degré de la gamme majeure est fourni par l'intervalle de tierce majeure avec le premier. La série des harmoniques nous offre cet intervalle par les quatrième et cinquième sons.

De là, si ut fait 4 vibrations, mi tierce majeure en fera 5 dans le même temps, et si ut ne fait que 1 vibration, mi n'en fera que |.

Le quatrième degré de la gamme nous est fourni par l'intervalle de quarte juste représenté dans la série des harmoniques par les sons 3 et 4 ; ut faisant 3 vibrations, fa en fera 4, maïs mî n'en faisant qu'une, fa n'en fera que |.

Le cinquième degré de la gamme est fourni par l'intervalle de quinte, do 2 — sol 3, de la série des harmoniques. Ut ne faisant que 1 vibration sol ne fera que |.

Le sixième degré constitue un intervalle de sixte majeure avec la tonique. Les sons 3 et 5 nous donnent le rapport de leurs vibrations; mi faisant 3 vibrations, la en fera 6, mais ut n'en faisant qu'une, la n'en fera que |.

Le septième degré constitue un intervalle de septième maijeure avec la tonique. La série des harmoniques représente cet intervalle par les sons 8 et 15 qui nous donnent en même temps le rapport des vibrations. Ut faisant 8 vibrations, si en fait 1 5, mais ut n'en faisant que 1, si en fera 8 fois moins, donc •^.

Si n«)us rassemblons les différents rapports que nous avons déterminés en partant deut = l vibration, nous avons pour les différents degrés de la gamme majeure :

ul

ré

mi

sol

la

si

Les rapports vibratoires des sons de la gamme sont ordinairement exposés d'une façon dififérente de celle que nous venons d'indiquer. Nous avons choisi cette dernière manière de préférence à toute autre parce qu'elle est simple et compréhensible pour les musiciens peu familiarisés avec l'emploi des chiffres. Voici comment on procède habituellement : on sait que l'accord parfait majeur du premier degré se compose dupremier degré ou tonique; du troisième degré majeur, tierce ou mediante et du cinquième degré, quinte ou dominante.

Examinons la série des harmoniques, nous trouvons pour tit 1 vibration; pour mi 5 et pour sol 3 vibrations. Mais le plus grand intervalle en musique est l'octave représentée par le rapport de 1 : 2. Il s'agit donc de ramener les rapports vibratoires de la tierce et de la quinte entre ceux qui déterininent l'octave.

Le son 5 appartient, comme nous pouvons le voir en consultant la série des harmoniques, à l'octave moyenne, c'est-à-dire à celle qui se trouve deux octaves au dessus de l'octave fondamentale à laquelle appartient le son 1. Pour ramener le rapport de l'octave moyenne à celui qu'il doit avoir dans l'octave fondamentale, il faut le diviser par 2 pour une octave, par 4 pour 2 octaves, par 8 pour 3 octaves, par 16 pour 4 octaves, et ainsi de suite. Or, comme nous venons de le dire il y a 2 octaves entre le son 1 et le son 5 et nous avons donc en partant â!ut = 1 , mi = |.

Le son 3 appartient à l'octave grave de la série ; il n'y a qu'une octave de différence avec l'octave fondamentale, nous n'avons donc qu*à diviser par 2 pour avoir le rapport de la quinte vis-à-vis de la tonique 1, et conséquemment |.

L'accord parfait majeur de la tonique se chiffre donc :

Ht

sol

ut.

Établissons maintenant pour règle que pour connaître le

rapport d'un intervalle à un antre, il faut multiplier Tun par Vautre, les numérateurs et les dénominateurs des deux formes fractionnaires. Ainsi, prenons les rapports des sons constituant raccord parfait en partant de sol comme tonique. Nous avons pour établir le rapport de la tierce majeure de sol à multiplier I par le rapport de la tierce f , ce qid donne :

~ X ;j = -g rapportde si.

Pour établir le rapport de la quinte de sol^ nous avons à multiplier | par le rapport de la quinte f , ce qui donne :

2X2 = 4 rapportde rc.

Nous avons donc pour Taccord parfait, en partant du

sol :

2 8 4 soi si ré

mais le rapport de ré dépasse l'octave à^ut == 1 , car | est plus grand que 2 ; il faut donc, pour ramener ce rapport à la gamme précédente, le diviser par 2, ce qui s'obtient en doublant le dénominateur de la forme fractionnaire. Nous avons donc pour ré^.

n nous manque les valeurs relatives de fa et de la pour compléter les valeurs de chacun des sons de la gamme.

Ces deux notes forment avec l'octave de la tonique, un accord parfait : fa, la, do.

La valeur de ut étant connue, nous avons à diviser 2 par le rapport de quinte pour avoir la valeur de fa rapporté à ut = 2.

On sait que diviser un nombre entier par une fraction consiste à multiplier ce nombre entier par la fraction diviseur renversée.

Nous avons donc pour /ii, 2 divisé par | est égal à 2 x | =f • Connaissant la valeur de /a, nous multiplions cette valeur par le rapport de la tierce pour avoir le rapport de la :

La valeur d'une fraction ne change pas si le iiumérateur et le dénominateur sont divisibles par le même nombre ; pour simplifier, divisons donc 20, numérateur, et 12, dénominateur, respectivement par 4, et nous aurons |.

Eétablissant la valeur de chacun des sons obtenus pour la détermination de la gamme majeure, nous avons :

f*t ré uni fa sol la si do

Le résultat est le même que celui obtenu à l'aide de la série des harmoniques.

Bemarquons, que nous n'avons cherché à ramener ces rapports à Vut = l que pour avoir l'expression la plus simple possible. L'on peut partir d'un ut quelconque en multipliant les rapports de tous les sons de la gamme par le même nombre, ce qui n'altère pas les valeurs relatives. Si nous voulons connaître les valeurs de chacun des sons de la gamme en fractions décimales, nous n'avons qu'à diviser le numérateur par le dénominateur, en conservant autant de décimales qu'on le désire. Ainsi ;

ut ^= 1 nous domie 1,0000 vibrations

ré

mi

fa

BS

sol la

do

- nous donne 1,5000 yibrations

Si, au contraire, nous voulons obtenir des rapports en nombres entiers, nous avons à réduire nos fractions ordinaires au même dénominateur.

Nous savons que, pour ramener des fractions au même dénominateur il faut rechercher le plus petit multiple des dénominateurs des fractions proposées. Ce plus petit multiple sera le dénominateur commun ; on le divise par le dénominateur de chaque fraction particulière et l'on multiplie chacun des termes de la fraction par le quotient.

Examinons notre gamme :

Le plus petit multiple des dénominateurs, 8, 4, 3, 2, 3, 8, est 24. Donnons à l'unité la forme fractionnaire :

— ut

8 dén ominat.de- entre en 24, trois fois, nous avons donc- X ô "^ 772^'^

24, six fois, 24, huit fois, 24, douze fois, 24, huit fois, 24, trois fois,

Toctave 2 se représente naturellement par :

Sapprimons tous les dénominateurs, ce qui peut se faire sxns altérer les rapports, nous aurons en nombres entiers les nombres :

ti^ ré mi fa sol la si do

n serait impossible de donner à ces rapports une expression plus simple, ces nombres n^ayant pas de commun diviseur.

Pour produire cette gamme au moyen des divisions d'une corde ou d^un tuyau, il'faudrait que ces derniers fussent assez longs pour donner les harmoniques :

C3 qui est pratiquement impossible.

Si nous comparons, par la division, le rapport des intervalles entre eux, nous trouvons :

entre ut et ré -r divise par 1 = t

> tniet ré, - > « = t X :: = — ou —

> /a et wt, - > - == - V - = —

•> sol et fa, -- > :: = :: X T "S r '2 3 2 '^ 4 8

» la et soi, - > « = :;X::= — 3 2 3^3 9

> ^ et Za, - > g » - X g =- on .

> u*et.i, 2 • ~= 2Xî5=|^

Nous nous trouvons donc en présence de trois espèces d'intervalles : le ton majeur |, dont nous pouvons nous rendre compte par la succession des harmoniques 8, 9; le ton mineur -,-, fourni par la succession des harmoniques 9 et 10 ;