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et le 1/2 ton majeur jf, f<»inii par la succession des harmoniques 15 et 16.

L'oreille peut confondre le ton majeur avec le ton mineur, mais elle apprécie la différence entre le demi-ton majeur et le demi-ton mineur.

De même que la tierce majeure est formée de la superposition d'une seconde mineure à une seconde majeure

9 10 90 5 8 ^T^TÏÏ^'^l

de même le ton est formé de la superposition du demi-ton majeure au demi-ton mineur.

Divisant le ton ^ par le demi-ton majeur ~|, nous avons pour valeur du demi- ton mineur

dont nous pouvons nous rendre compte par la succession des harmoniques 24 et 25.

Si nous comparons le ton majeur au ton mineur, ce que nous faisons par la division, nous obtenons

Cette valeur que l'oreille peut négliger s'appelle comma.

Comparons par le même moyen, le demi-ton majeur avec le demi-ton mineur, nous obtenons :

cette valeur, plus grande que le comma, est parfaitement sonsiUe à l'oreille.

Voyons maintenant comment s'introduisent dans la gamme les dièse^t les bémols.

Nous savons que la gamme majeure se compose de deux tétracordes disjoints et semblables. On appelle tétracorde les quatre sons qui séparent Finteryalle de quarte ayecla tonique, et de l'octave de celle-ci avec la dominante.

doi ré, mi, fa, sol, la, si, do.

1er tétxMovde. . 2b tétnoorfte.

On appelle ces tétracordes disjoints, parce qu'il y a un ton de séparation entre la fin du premier et le commencement du second ; ils sont semblables, parce que, à part la différence' de l'emplacement du ton mineur et du ton majeur, les tétracordes sont semblables quant à la position des tons et des demitons.

La tonalité la plus simple après celle à^ut majeur, est celle dont le premier tétracorde est composé exactement comme le second de la gamme dW majeur :

sol, la, si, do»

lar tétracorde.

Pour avoir un deuxi&ne tétracorde semblable au i»remier, il faut naturelleijient diéser le fa, on obtiendra ainsi un demiton entre le troisième son et le quatrième.

ré^ mit fa dièscj sol.

Se tétnuwrde.

Sachant que la distance entre le fa dièse et le sol doit être la même que celle qui se trouve entre le ^f et Vut de la inanimé d'uf, distance que nous avons évaluée à {|, deiod-ton majeur, il suffira, pour obtenir la valeur de fa dièse, de multiplier celle de fa par ff valeur du âemi-4on siineur.

Il est essentiel de tenir compte qu'au comma près, le ton résulte de la superposition du demi-ton majeur etilu demiton mineur.

La gamme de ré est la plus simple après celle de sol^ parce son premier tétracorde est composé du second tétracorde de la gamme de sol :

ré, mU fa dièse^ soi,

nous complétons cette gamme par Taddition d'un second tétracorde où nous donnons à do dièse la valeur de do multipliée par II :

la, sif do dilse, re.

et ainsi de suite pour la formation de toutes les autres gammes.

L'introduction des bémols se fait d'une manière analogue.

La gamme de /a, la plus simple après celle d'ut majeur, a pour deuxième tétracorde, le premier tétracorde de la gamme d'ut majeur :

fa, 80lf la, si bémol, do, ré, mi, fa,

1er tétracorde. 2» tétracorde.

Il est évident que pour avoir un demi-ton entre le troisième et le quatrième sons du premier tétracorde, pareil à celui qui se trouve entre les cinquième et quatrième son du deuxième tétracorde, il faudra obtenir la valeur de si hémol, ce qui se fait en multipliant la valeur de si par |J.

La gamme la plus simple après celle de /a, est celle de si hémolj puisqu'elle a pour deuxième tétracorde le premier tétracorde de la gamme de fa :

Si bémol, do, ré, mi bémol. fa, sol, la, si bémoh

1er tétracorde. 2e tétracorde.

Pour obtenir la valeur de mi bémoly il faudra naturellement

multiplier la yaleur dé mi, par f| et ainsi de suite pour. toutes les gammes bémolisées.

La gamme que nous venons d'examiner est la gamm:e dite des géomètres ou. des physiciens ; elle est loin d'être acceptée par les musiciens, et avec raison, car l'exactitude des rapports qui la constitue, si elle était exactement observée, nous amènerait inévitablement à jouer beaucoup plus faux encore qu'on ne le fait aujourd'hui. Voici quelques-unes des raisons qui nous obligent de nous écarter de la gamme des physiciens.

Tous les musiciens savent qu'entre deux sons à l'intervalle d'un ton, comme t«^ et re'par exemple^ on établira une diflférence assez sensible entre ut dièse, que l'on rapprochera instinctivement du ré, et de ré bémol, qui semble attiré vers uL

Il est naturel que nous ne parlons pas ici des instruments à sonsfixes. Cette distinction pratique provient de ce que l'oreille conçoit mieux les tendances résolutives de ut dièse sur ré, et de ré bémol sur ut, en exagérant la petitesse de l'intervalle qui les sépare. Ce fait, admis par tous les musiciens, est rejeté par les physiciens et les géomètres ; ceux-ci exigent ré bémol plus élevé que ut dièse.

En effet, nous avons, d'après la théorie qui précède, et en supposant wf == 1, re == | :

pour r^ ftemoL- g X 25 = 200 = 25

pour ut diè8& : 1 % -zT

En réduisant en fractions décimales, nous avons :

ponrw^ 1.00000 vibrations,

ut dièse 1.04166 »

ré bémol 1.08000 »

ré 1.12500

ce qu'un musicien ne peut admettre.

Dans la gamme des physiciens dont nous avons établi les rapports par la formule :

iit ré mi fa sol la si do

nous avons pour intervalle de la quinte tit-sol, 1 : |, dont le rapport est exact.

Nous en avons une autre, misl, dont le rapport est également exact, car en multipliant la valeur de la tierce mi par celle de la quinte, nous trouvons la valeur exacte de si :

Nous avons aussi fa-td^ dont le rapport est juste, car

Mais iious avons ré-laj qui manque de justesse, car

pour la valeur de ïa, tandis que nous devons avoir pour la, la valeur |. Si nous établissons le rapport entre ces deux valeurs, nous trouvons que ïa, considéré comme sixte majeure de do, est plus bas d'un comma que s'il est présenté comme quinte de ré. On le prouve en multipliant le rapport de la sixte majeure d'wt par la valeur du comma, ainsi :

Si nous avions à produire, à l'aide d'un instrument, trois

ra»a:;g-

tierces majeures de suite en partant d'wi = 1 vibration, nous aurions :

or, pratiquement, nous comptons trois tierces majeures dans l'intervalle d'octave :

do-mi, mi-sol dièse, sol dièse-si dièse.

Si dièse et ut doivent se confondre. Nous avons pris pour le premier ut 1 vibration, le deuxième devrait donc en avoir 2, et en faisant trois tierces de suite dans le rapport exact de |, nous n'arrivons qu'à 1,953 vibrations.

Entre w^ =« l et tti = 2, nous pouvons intercaler quatre tierces mineures en confondant, bien entendu, ut avec ré double hémdl^ ce qui est absolument nécessaire si nous voulons conserver la justesse des octaves, lesquelles ne souffrent aucune altération dans leur rapport. Nous aurons donc :

ut-mi bémol, mi bémol-sol bémol, soP^-si^, si^^^ré^

iXr X rX r Xr= 2.073 o 5 d 5

c'est-à-dire que le résultat dépasse celui exigé pour la justesse nécessaire à l'octave 1:2.

Une succession de douze quintes devrait correspondre exactement à celle de sept octaves, car

do, sol, ré, la, mi, si, fa d'^rdo d*^, sol d*^, réd*^, lad*^, mid'^, si d*^,

I I I i I I il

do do do do do do do do

arrivent aux sons enharmoniques de si dièse, do. Cependant,

si nous multiplions douze fois de suite ut == l par le rapport de quinte |, nous obtenons pour la douzième quinte, si dièse, 129,746 vibrations; tandis qu'en multipliant ut =1, sept fois de suite par le rapport de Foctave, nous obtenons pour la septième octave, t^, 128 vibrations.

Pour corriger toutes ces différences il faut donc trouver un moyen terme, et l'expérience prouve que la gamme tempérée est celle qui les compense le plus avantageusement, tout en se rapprochant le plus de la justesse absolue et en tenant compte des différents instruments qui composent l'orchestre moderne et du caractère omnitonique de notre musique.

Avant de passer à l'examen de la gamme tempérée, nous allons offrir ici le tableau de tous les intervalles qui composent la gamme des physiciens; les longueurs de cordes données en regard de chaque son et que nous avons obtenues au moyen de la loi que nous avons étudiée, permettra, à l'aide du sonomètre, de se rendre compte de l'intonation de chaeun de ces intervalles.

DESIGNATION DES NOTES

ut . .

ut dièse, ré bémol ré . .

ré dièse, 1)21 bémol mi . .

mi dièse fa bémol fa . .

fa dièse.