VALEUR D’UN TERME DE RANG QUELCONQUE

198. Théorème. — Un terme tic rang quelconque est égal au premier augmenté d'autant de fois la raison qu'il a de termes avant lui.

En effet, si l'on désigne par a le premier terme et par r la raison , le second terme est a r, le troisième a %r, le quatrième a 4- 3 r, . . . et en général le c’est-à-dire celui qui an — t termes avant lui est égal à a -+- ( n — i)r.

On verrait de même que chaque terme est égal au dernier moins autant de fois la raison qu'il y a de termes après lui.

199. Corollaire I. — Dans une progression arithmétique croissante les termes finissent par surpasser tout nombre donné A.

Car on satisfait à l’inégalité

ou à l’inégalité équivalente

en prenant pour n le nombre entier immédiatement supérieur à

200. Corollaire II. — Dans toute progression arithmétique la somme de deux termes équidistants des extrêmes a et l est constante.

En effet, le terme qui en a n avant lui est égal à a nr, celui qui en a n après lui est égal à / — nr-, cette somme est doncn l.

SOMME DBS TERMES.

201. Théorème. — La somme des termes d’une progression arithmétique est égale à la moitié du produit de la somme des extrêmes par le nombre des termes.

En écrivant au-dessous de la progression cette même progression renversée et ajoutant par colonnes verticales , on obtient autant de fois la somme des extrêmes qu’il y a de termes ; on a donc

d’où

202. Si l’on remplace dans cette formule le n' im * terme l par sa valeur

on trouve, pour nouvelle expression de la somme, .

205. La formule (t ) appliquée successivement aux progressions arithmétiques que forment , d’une part les n premiers nombres de la suite naturelle, et d’autre part les n premiers nombres impairs.

donne