INSERTION DE MOYENS ARITHMÉTIQUES

204. Insérer p — i moyens entre deux nombres a et /, c’est former une progression arithmétique de p -+- 1 termes dont a et l soient les extrêmes.

Le problème consiste à trouver la raison x de celte progression ; or / étant le (p -+- i) 1 *"* terme , on a

l — a - f- px ,

d’où

Donc la raison de la progression formée par l'insertion de moyens entre deux nombres s’obtient en divisant la différence de e'es nombres par le nombre des moyens plus un.

Exemple. — On veut insérer 8 moyens entre i et i oo ; la raison sera

ioo — i qq

et la nouvelle progression contiendra les nombres

208. Théorème I. — Une progression arithmétique de raison r étant donnée, si l’on insère un même nombre p — 1 de moyens entre chaque terme et le suivant , on obtiendra une suite de progressions partielles dont l’ensemble formera une progression unique.

D’abord toutes les progressions partielles auront même raison -■>

et comme le dernier terme de chacune d’elles est le premier de la suivante, elles formeront une seule et meme progression.

206 T héorémk II. — Pour insérer pp' — 1 moyens entre deux nombres donnés a et /, on peut : soit insérer d ’ abord p • — 1 moyens entre ces nombres et insérer ensuite p ' — 1 moyens entre chaque

terme de la progression obtenue et le suivant; soit insérer d'abord // — 1 moyens entre a et l, et insérer ensuite p — i moyens entre les divers termes de la progression ainsi obtenue.

En effet, la raison de la progression qu’on obtient en insérant pp' — 1 moyens a pour expression

qu’on peut écrire des deux manières suivantes :

Or on trouve évidemment la première en insérant d’abord p — i moyens entre a et / , et puis p' — i moyens entre les divers termes delà progression obtenue. On trouve, au contraire, la seconde en insérant d’abord p' — t moyens* entre les nombres a et /, et puis p — 1 moyens entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant.

I.e théorème est général , et pour insérer pp' p" ... — i moyens entre deux nombres, on peut insérer d’abord p — i moyens entre ces nombres , puis p' — t moyens entre les termes de la progression obtenue, puis p " — t entre chaque terme de la nouvelle progression et le suivant , etc.