CARACTÉRISTIQUE

232. Le logarithme d'une puissance quelconque de 10 est égal à l'exposant de cette puissance. Car

log io" = « log 10 = 1.

233. Les logarithmes de tous les nombres autres que tes puissances de 10 sont incommensurables.

En effet, soit N un nombre dont on suppose le logarithme com-

inensurable, et représenté par la fraction à termes entiers — ;

on a

log N = — 1 n log N = m , log N" = m — log 1 o m , et enfin,

N" — io™.

Le second membre étant entier, le premier doit l’être, et par suite N. De plus, N ne doit contenir que les facteurs premiers 2 et 5 , puisque tout facteur premier de N divise N" ou son égal 10”, et par suite 10.

Soit donc

N = ip 5 i,

on a

ce qui entraîne

pn — ni , qn — m ou p = q .

En d’autres termes, îï est une puissance de 10. Donc les puissances de 1 o sont les seuls nombres qui aient des logarithmes commensu râbles. Les logarithmes des autres nombres ne peuvent être obtenus qu’avec approximation; on les évalue à moins d’une unité décimale du septième ordre par excès ou par défaut, et l’on donne le nom de caractéristique k leur partie entière.

254 La caractéristique du logarithme d'un nombre plus grand que 1 contient autant d’unités moins une qu’il y a de chiffres dans ta partie entière de ce nombre.

Car tout nombre dont la partie entière a n chiffres est compris entre 10"" 1 et 10". Son logarithme est donc compris entre n — i et n, et il a n — 1 chiffres à sa partie entière.

255 . Connaissant le logarithme d’un nombre, on trouvera celui d’un nombre 10 n fois plus grand ou plus petit en augmentant ou diminuant sa caractéristique de n unités.

En effet , on a

log ( A . 1 o") = log A + log 1 o" =r log A H- n , log(A: 10") = log A — log 10" = log A — n.

THÉORIF. UF.S LOGARITHMES. ICi']

Il résulte de là que, si deicr nombres ne diffèrent que par ta placide la virgule, leurs logarithmes ne diffèrent que par la caractéristique.