OP

pour le point M. .

On désigne les abscisses par x et les ordonnées par y .

282. Nous n’insisterons pas davantage sur l’utilité de la représentation graphique des fonctions empiriques. Les travaux de MM. Régnault et Despretz offrent des exemples remarquables et bien connus de ce genre d’opérations.

En analyse on emploie les courbes dans le seul but de donner une image sensible de la marche des fonctions. La ligne est une peinture frappante de la loi algébrique qui lie les variables entre elles, et ses inflexions, son allure montrent d’un coup d’œil ce qui ne ressortirait que péniblement de la discussion de l’équation.

Exemple. — Étude de la fonction

Supposons les deux axes rectangulaires Ox et divisés en parties égales, et marquons i, 2 , 3, . . . aux points de division.

Fig. ai.

P àgpfi ' Ù ' ' x

La formule

montre que l’ordonnée est nulle

pour x = i et x = - , et

qu’elle est égale à 3 pour

x=o. La courbe coupe donc

l’axe Oi en A et B , et l’axe

0/ en C.

x croissant à partir de les deux facteurs x — i, x — - sont

positifs, et augmentent sans cesse; y croît donc sans limite en restant positif. De là la branche infinie BNU qui s’élève au-dessus de Ox en s’écartant aussi de O y.

x décroissant à partir de i, les deux facteurs x — i, x — -

sont négatifs, et augmentent sans cesse en valeur absolue; y croît donc encore sans limite en restant positif. De là la branche infinie AMCV qui traverse 0/ en C.

Enfin , quand x est compris entre i et — , les deux facteurs x — i

x — — sont de signes contraires, y est négatif, et l’on a un arc

ARB, situé au-dessous de Ox, qui relie les deux branches VMA, UNB. Le point le plus bas R de cet arc correspond au maximum

de

— y = 2 (x — i) ^ — x^, lequel a lieu lors de l’égalité des

facteurs x — i x, donè la somme est constante. L’abscisse

de ce point R est donc la demi-somme

de celles des

points A et B, et R est sur la parallèle à 0/ menée par le milieu I de AB à une distance IR = g-

Posons

l’ordonnée y reste la même quand a change de signe. Si donc on prend, de part et d’autre de I, deux longueurs égales IQ, IP, et qu’on élève des perpendiculaires QN , PM jusqu’à la courbe, la figure MPQN sera un 'rectangle; en sorte que la courbe est symétrique par rapport à la parallèle à O y menée par le milieu I de AB.

Les courbes représentatives de la fonction générale y — ax 7 bx + c

ont toutes une forme analogue à la précédente; ce sont des paraboles composées d’une double branche infinie et symétrique par rapport à une parallèle à 0 y. Les branches infinies sont dirigées

dans la fig. 23.

vers u y ou vers uj , suivant que a est positif ou négatif ; car pour des valeurs suffisamment grandes de x, c’est le terme ax 7 qui donne son signe au trinôme. De plus , la courbe coupe Ox en deux points, est tangente à cet axe , ou ne le rencontre pas, suivant que l’équation

ax 7 bx c — o

a ses racines réelles et inégales . Ces divers cas sont représentés