PREMIÈRE PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE DES FONCTIONS CONTINUES

285. Les fonctions continues jouissent de certaines propriétés générales. Nous citerons d’abord la suivante, que Képler énonça le

Iiremicr(i6i5), et que Fermât prit plus tard (t635) pour base de sa théorie des maximums et des minimums :

Dans le voisinage d’un maximum on d’un minimum, toute fonction continue reste à peu près stationnaire et ne varie que par degrés insensibles .

Ce fait ressort immédiatement de l’inspection des courbes. Quand l’ordonnée d’une courbe cesse de croître, c’est-à-dire passe par un maximum, ou cesse de diminuer, c’est-à-dire passe par un minimum, la tangente à la courbe devient parallèle à l’axe Ox; l’ordonnée de cette tangente devient donc constante. Or, comme au voisinage du point de contact on peut assimiler l’élément de la courbe à l’élément de la tangente, on voit que le petit arc de la courbe qui se trouve près du maximum ou du minimum a une ordonnée à peu près constante. La fonction représentée par cette ordonnée ne varie donc alors que par degrés insensibles.

11 résulte de là que, pour chercher dans quelles circonstances une grandeur variable devient maximum ou minimum , il faut exprimer que cette grandeur considérée dans deux états successifs infiniment voisins a la meme valeur : l’égalité résultante, prise à l’instant limite où les deux états successifs se confondent , fournit une propriété caractéristique du maximum ou du minimum .

« Un tel caractère est philosophiquement d’autant plus convena- » ble, qu’il constitue l’expression directe d’une remarque générale » fréquemment suggérée par les divers phénomènes naturels qui » présentent des exemples familiers de maximum ou de minimum, » tels que les changements de la hauteur du soleil dans le cours de » la journée, l’inégale durée des journées et des nuits aux diffé- » rentes saisons, etc. F.n tous cas semblables, les observateurs » judicieux ont toujours senti que l’état de maximum ou de mini- » mum se trouve spontanément distingué des états antérieurs ou » postérieurs par une sorte de station spéciale que rappellent » quelquefois les dénominations consacrées, surtout quant aux » saisons (solstices, sol'stat). » (Auguste Comte, Géométrie analytique. )

Cette propriété trouve à chaque instant son application dans la mécanique industrielle, où l’on cherche souvent quelle disposition

CHAPITRK I)1X- SKPT1BME.

il faut adopter, quelle valeur il faut donner à certaine grandeur dont on est maître, pour produire un travail déterminé avec le moins d’argent possible, op un travail maximum avec une dépense déterminée.