PRINCIPES DE LA THÉORIE DES DÉTERMINANTS

271, Définitions. — Désignons en général par a* une quantité qui change de valeurs lorsqu’on fait varier les indices h et e, et qui n’est nullement la puissance h de a v . Si chacun de ces indices peut recevoir les valeurs 1 , 2 , 3 ,...,«, a* représentera l’une quelconque des rO quantités

• tt l •

Dans le produit a\ a\ a\ . . . n" permutons les indices inférieurs de toutes les manières possibles; et ajoutons les a! produits ainsi formés en assignant à chacun d’eux le signe -I- ou le signe — suivant l’imparité ou la parité du nombre des indices inférieurs que

combinaisons; déterminants. 24 1

l’on pe nnute dans le produit a J a\ a* ... a", regardé comme positif, pour avoir le produit que l’on considère. L’expression ainsi obtenue est ce qu’on nomme le déterminant des ri 1 quantités dont a* est le type ; on désigne ce déterminant par le tableau (1) où tous les éléments apparaissent d’une manière explicite. Deux éléments tels que n* , a v h , sont dits conjugués ; «J , a\, . . . sont appelés éléments principaux , et leur nombre n indique l’ordre du déterminant. Ainsi les déterminants

= a\a\a\ — a\a\a\+a\a\a\~a\a\a\-\-a' i a\a\ — a\a\al

sont l’un du second ordre et l’autre du troisième. Pour fixer les idées, nous prendrons désormais pour exemple dans nos démonstrations le déterminant du troisième ordre; les raisonnements ne perdront rien de leur généralité et ils seront plus faciles à saisir.

272 . Loi de formation. — Le second membre de l’égalité (2) peut s’écrire

a \ "5 — a \ a \)~ a 'A a \ a l — a î«î)+ fl i( a ? a « —a\a\),

en sorte qu’on a

on trouverait de même pour la valeur de ce déterminant

ou encore

etc.

On voit ainsi que pour avoir ta valeur algébrique rl'un déterminant écrit symboliquement , il faut multiplier respectivement chacun des éléments d’une meme ligne ou colonne par le déterminant de degré immédiatement inférieur qu 'on trouve en effaçant dans le déterminant donné la ligne et la colonne dont fait partie l’élément considéré ; on ajoute ensuite ces produits en assignant a chacun d'eux le signe ■+- ou te signe — suivant que les deux indices de l'élément considéré sont de meme parité ou de parités différentes.

Ainsi, en désignant par Ale déterminant du ordre (t), et par (tl le déterminant du ( n — i ordre.

flj

fl 1

fl* ...

fl

fl

eS -

en

JT'

«te • • ■

tju’on obtient en supprimant dans (t) la colonne v et la ligne // , on a

Exemple.

-t- «l < + K K + . . . -ha" a"

a\ aJ\ -f- a\ a* -+- a\ «J •

En appliquant ces règles aux déterminants