X : o o o o 5X2000 o4l3oo

COMBINAISONS J DETERMINANTS. l./fî

dont la loi est évidente, on trouve

(X 5 — I») (x* — 3*)(X*— 5»), etc.

275. Propriétés générales. — De la loi de formation qui précède résultent quelques théorèmes généraux qu’il suffira d’énoncer :

i°. On n’altère ni ta valeur ni le signe d’un déterminant en changeant respectivement les lignes en colonnes et les colonnes en lignes. On change au contraire le signe, sans altérer la valeur absolue , lorsqu’on remplace l’une par l’autre deux lignes ou deux colonnes ; d’où il résulte qu'un déterminant s’annule lorsque deux lignes ou deux colonnes deviennent identiques. Un déterminant est encore nul lorsque tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, sont égaux à zéro.

2 °. En multipliant par une meme quantité tous les termes d’une même ligne ou d’une même colonne, on multiplie le déterminant par cette quantité.

3°. Si les éléments d’une ligne ou d’une colonne sont chacun la somme de plusieurs quantités , le déterminant est égal h la somme d’autant de déterminants qu’il y a de ces quantités ; ainsi l’on a

b 3 fj

Si les quantités ajoutées k, , k 2 , A, sont les termes b, , b,, b 3 on c,, c„ c 3 d'une autre colonne du déterminant primitif, ou ne diffèrent de ces termes que par un facteur constant, le second déterminant du deuxième membre s’évanouit ; ainsi l’on a

a, -+- mb ,

a, 4 - mb.

bjp c 3

/ '4°; D’après l’équation (4), l’expression

- a' h *' 0i -4- aj, < + a’}, «,?+... -4- a" k aT,

dans laquelle on suppose h et v inégaux, représente ce que devient le déterminant A lorsqu’on substitue les éléments a], . . , , a" aux éléments Mais puisque ces deux séries d’é-

léments constituent chacune une colonne du déterminant 4, l’expression précédente représentera un déterminant ayant deux colonnes identiques et sera par suite nulle. On aura donc

L’équation (4') donnerait de même

/ f / \ l* ai /i p fl t’ /t

( 5 ) rt, a, +<îj «, a, + « ;i = o.

274. Résolution générale (les équations du premier degré. — Les relations (4) et (5) conduisent aisément aux valeurs générales des inconnues d’un système quelconque d'équations du premier degré.

Soit le système

/ n\ x, 4- a[ x, nj x, 4-. . . + Jt«=r «u , „ . ' a] x, + a] x, + a\ x 3 + + al x K = u, t

Multiplions ces équations respectivement par aj , et

ajoutons. Dans la somme, les coefficients des diverses inconnues, sauf celui de x,, seront nuis, puisque leur composition est la même que celle du premier membre de la relation (5) ; et le coefficient de x, sera égal à A en vertu de l’équation (4)- On aura donc