I . 2 ... fl

On a donc enfin

, , ni (ni — i )

(.r 4- a) m — x”‘-4- mo3 Jn ~' 4- - «'x"

/« (/« — l) (oj — 2) ,

m (m — 1 fll — « 4- 1 )

C’est la formule connue sous le nom de binôme tic Navion.

Le changement de« en — « n’altère pas les termes de rang im

y ^ 2 CHAPITRE OIX-NKUVIKME.

pair qui contiennent les puissances paires de a ; il donne le signe • aux termes de rang pair; on a donc

— max"‘~'

279. Dans le développement de (.r -f- a) m les termes équidistants des extrêmes ont des coefficients égaux.

En effet, le coefficient du terme qui en a « avant lui est

le nombre C n des produits différents de m lettres n à n ; celui du terme a"‘ " x" qui en a n après lui, c’est-à-dire qui en a m — n avant lui , est le nombre C“ n des produits différents de m lettres m — ” km — n ; or on sait (2C7 ) que les deux nombres C" et C^ n sont égaux.

On peut dire encore : (.tf-f- o)" étant symétrique par rapport à x et à a , il doit en être de même de son développement ; l’existence du terme An" .r”—" entraîne donc celle du symétrique Aa m ” x n ; or ces deux termes, qui ont même coefficient, sont équidistants des extrêmes; l’un a n termes avant lui et l’autre n termes après lui.

280. Pour passer d'un terme au suivant dans le développement dc( y x -+- a )*", il faut ajouter i à V exposant de a, diminuer celui de x d'une unité, multiplier l'ancien coefficient par l'ancien exposant de x et diviser par le nouvel exposant de a .

lin effet , le terme de rang n -f - 1 a pour expression

„ m [m — i ) . . . f m — n -ht)

T„ + , = — ^ l i ZL±a<>x”--»,

d’où , en changeant « en « — i ,

In — : t

et en divisant membre à membre ,

Ce théorème est fort utile dans la pratique, lorsqu’il s’agit de développer une puissance particulière d’un binôme donné.

BINOME DK NEWTON.

Kxkmpi.e :

8 2 -t- ’ jox 2 }' + 168.x 2 r‘4- 22.4 •x/ e -(- i28/ : .