TRIANGLE ARITHMÉTIQUE DE PASCAL

282. Un peu avant Newton, Pascal avait donné, dans la construction de son triangle, l'équivalent de la formule du binôme, mais sans l’écrire en algèbre.

On nomme triangle arithmétique le tableau suivant dont la première ligne horizontale renferme les coefficients de (.x-+-a)', la deuxième celle de (.r -fa)’,..., la m ,,m ‘ ceux de (.r -t- a )" :

IO

En faisant abstraction de la colonne des unités (dont nous ne tiendrons désormais aucun compte) , on voit que le nombre situé à l’intersection de la m‘‘" e ligne et de la n' iu “ colonne est C"‘. L’identité

qu’il est aisé de vérifier, montre que chaque terme du triangle arithmétique est ta somme du nombre placé au-dessus de lui et du nombre placé h gauche de. ce dernier. Cette propriété sert à former le triangle; ainsi, pour déduire la cinquième ligne de la quatrième , on dit :

1 4- o — 1 , 4 +• 1 — 5 » 6 - 4-4 = 10, etc.

Les termes de la première colonne (toujours abstraction faite de celle des unités) sont dits nombres figurés du premier ordre , ceux de la deuxième, nombres figurés du second ordre ,. . ., ceux de la n' im ‘, nombres figurés du n ,cmt ordre. La propriété précédente s’énonce alors : le nombre figuré de l’ordre q 4- 1 est la somme du [p — figuré du meme ordre et du p'"’" figuré de l’ordre q ; ce qu’on peut écrire

pî+' p? + ' . pî .

En ajoutant, et remplaçant F’ + ‘ par F’, puisque tous les premiers nombres figurés d’un ordre quelconque sont égaux à 1 unité et par suite égaux entre eux, on trouve la relation

qui exprime que la somme des p premiers nombres figurés de F ordre q est égale au p iime nombre figuré de l'ordre q 4 - 1 • Par

BINOMK 1>E \K.WTON. 255

exemple, on a

Le p ,i "“ nombre figure de l’ordre q 4 - 1 est à l’interseciion de la (<7 -f- 1 colonne et de la [p 4 - q) iim ‘ ligne; il a donc pour valeur