CHAPITRE XX

VARIATIONS DE a*.

207. La nouvelle théorie des logarithmes est fondée sur les propriétés de la fonction a *, où a désigne un nombre positif quelconque.

Lemme I. — Toutes les puissances commensurables d’un nombre positif sont positives. Cela résulte de ce que l’on ne considère que les valeurs positives des radicaux ( 139).

Lehme II. — Toutes les puissances positives d'un nombre positif sont plus grandes ou plus petites que T unité , suivant. que ce nombre est lui-tnéme supérieur ou inférieur à 1 . Le contraire a lieu pour tes puissances négatives.

En effet, soit a un nombre plus grand que 1 , et a n une puissance positive de ce nombre ; on a

or, puisque a est supérieur à 1 , il en est de même de la puissance entière a m , et par suite de ÿ' a m Si a est moindre que 1 , on peut

toujours le représenter par a' étant un nombre supérieur à 1 ,

et la relation montre que a* est plus petit que 1 , puis-

que a'* est plus grand que l’unité.

La dernière partie de l’énoncé résulte de ce que les puissances négatives a ~ x d’un nombre sont les inverses -- de ses puisai r

sanees positives.

201). Théorème I. — Longue la variable te reçoit des valeurs commensurables croissantes , la fonction a 1 varie toujours dans le meme sens ; elle augmente ou diminue, suivant que a est plus grand ou moindre que l’unité.

En effet, soient et .r 0 4 - h deux valeurs comniensurables successivement attribuées à xj le signe de .r, est arbitraire, mais h est positif ; il résulte du lemme précédent, que le quotient

Al .

— — — = fl* est plus grand ou plus petit que 1 , suivant que a est lui-même plus grand ou moindre que l’unité.

289. Théorème II. — La fonction a* varie d’une manière continue, quand x croit d’une manière continue ; en d’autres termes, on peut donner à la variable x un accroissement h assez petit , pour que ta fonction a* éprouve une variation moindre que toute quantité donnée. 1 .

Supposons d’abord a )> t, et soitx„ une valeur commensurable quelconque de x-, on a

Désignons par - une fraction à dénominateur entier plus grande

que h ; le théorème sera démontré, si l’on fait voir qu’on peut

toujours prendre n assez grand pour que l’inégalité

a*o (a 1 ' — 1 / ou son équivalente a —

soit satisfaite ; or on sait que les puissances entières d’un nombre plus grand que 1 peuvent dépasser toute limite (209).

Si a est moindre que 1 , on peut toujours le représenter pur — ,

«' étant supérieur à l’unité, et dès lors l’égalité n* — montre

que lorsque «'* varie d’une manière continue, il en est de même de n*.