NOUVELLE DÉFINITION DES LOGARITHMES
292. Lorsqu’on a la relation a* — y dans laquelle a est un nombre positif, on dit que x est le logarithme du nombre y dans la base a. A chaque valeur de la base a répond un système de logarithmes.
Cette définition assigne un logarithme et un seul à tout nombre positif, car on sait que, lorsque x croît de — 00 -t- co , a‘ passe par toutes les valeurs positives, et ne passe qu’une fois par chacune d’elles.
Dans tout système, le logarithme de l’unité est zéro, et celui de la hase est 1 ; car
Lorsque la base est plus grande que l’unité, les nombres plus grands que 1 ont des logarithmes positifs, les nombres plus petits que 1 ont des logarithmes négatifs Le contraire a lieu lorsque la base est moindre que l'imité (287 ).
Enfin , les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes.
PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES
295. Le logarithme du produit de plusieurs nombres est égal à la somme des logarithmes de ces nombres.
Soient, en effet, x, x', x",..., les logarithmes des nombres
y >/',/'»• . » on a
a 1 — y, fl*’ = y, a 1 ' — y",.
rl’où , en multipliant ,
la somme x + ar'-t- x"-t- ... est donc bien le logarithme du produit y y' y " . . . .
Le logarithme du quotient de deux nombres est égal h la différence des logarithmes de ces nombres .
Soient, en effet , x et x' les logarithmes des nombres y et y'\ on a
d’où , en divisant ,
donc x — x' est le logarithme de —
Le logarithme de la puissance n' imt d’un nombre est égal, quelque soit n [entier ou fractionnaire , positif ou négatif), au produit de n par le logarithme de ce nombre.
En effet, en élevant à la puissance n les deux membres de l’équation
qui exprime que x est le logarithme de y, on trouve la relation
qui montre que nx est le logarithme de y".
Il résulte de là que, si des nombres a , aq , tiq' 1 ,. . . sont eu progression géométrique , leurs logarithmes
logfl, log a -+- Iog q , log « + 2 log 17, . . .
forment une progression arithmétique ; c’est la propriété que nous avons prise pour point de départ dans le chapitre XVI.
OHAflTRK VIMÜTIÈMK.
