Théorème. — Quand deux polynômes

A x 1 4- B x 1 Cx\4- Dx 1 -4- Ex + F, ax' H- bx i 4- ex 1 + di + f,

sont ordonnés par rapport aux puissances (ici décroissantes) dlunc . même lettre x, le premier terme de leur produit , ordonné de la même façon , provient sans réduction de la multiplication des premiers termes des deux facteurs.

En effet, dans tin produit partiel quelconque, tel que

Bar*, ex 7 — Brx ,+ ’ = Ber*,

l’exposant de la lettre ordonnatrice est la somme des exposants que cette lettre possède à la fois dans le terme du multiplicande et dans le terme du multiplicateur qui ont fourni ce produit.

Le produit des deux premiers., termes sera donc irréductible, puisque dans ce produit l’exposant de x, étant la somme des deux plus forts exposants , sera plus grand que dans tout autre produit partiel.

On démontrerait de la meme manière que le dernier terme du produit provient sans réduction de ta multiplication des derniers . * termes des deux facteurs.

D’où il suit que le produit de deux polynômes ou d’un polynôme par un monôme a au moins deux termes. ,

2Î5. Quand les polynômes contiennent plusieurs lettres, le théorème précédent fait souvent connaître plus de deux termes Irréductibles du produit.

Ainsi, en ordonnant par rapport à x les polynômes

x' — 2 yxé 4- 4 j ’ x 4-.r ', . 4

on trouve les deux termes irréductibles

• x’ et y \

Si l’on ordonne , au contraire, les deux polynômes par rappoil à

MULTIPLICATION

y, les termes irréductibles <ln produit sont .<■* et 4 */'■