EXPOSANT ZÉRO — EXPOSANT NÉGATIF

45. La simplification d’un monôme fractionnaire conduità deux notations nouvelles.

Soient m et n les exposants qu’une lettre a , commune aux deux

termes, possède dans le numérateur et dans le dénominateur; le facteur — - du monôme primitif se réduira dans le monôme simptifié ... .

suivant qu'on aura

. ni n , m — n , ni <f n.

Or, si l’on représente • .

1 et

par les notations

a • et a~

le facteur qui restera après les simplifications aura la forme unique

D’après cela, pour simplifier un monôme fractionnaire, il suffit ùé écrire à la suite du coefficient numérique, réduit à sa plus, simple expression , les diverses lettres des deux facteurs 'en donnant à chacune cC elles un exposant égal a ta différence positive, nulle ou négative de ceux qu’elle a dans te numérateur et le dénominateur. Exemple :

Safbfg'h 1 ^ (

i5o s b'fg'h 3 ‘ e

Ces nouvelles notations sont très-importantes : elles sont en harmonie avec l’esprit général des opérations algébriques dont les règles ne doivent pas varier avec la nature des nombres que l’on considère.

46. II est nécessaire de montrer que la notation des exposants négatifs n’implique pas contradiction , c’rst-.Vdire que l'égalité

qui a lieu par définition quand m est positif, s’étend, par cela même, an cas où m a une valeur négative.

Or, soit

la formule étant vraie pour le nombre positif m', on a

IMVISIO!» . , - . ‘ * 35

et, en remplaçant m' par sa valeur — ni, ■

qui est la formule étendue au cas de m négatif.

DIVISION DES POLYNOMES

■47. Il est rare que le quotient de deux polynômes puisse s’exprimer par un troisième polynôme, et, dans la plupart des cas, il faut se borner à indiquer la division en séparait le dividende et le diviseur par une barre horizontale; on dit alors que la division est impossible. '

Nous allons toutefois exposer la marche a suivre pour trouver le polynôme quotient lorsque la division est possible. Celte recherche repose sur les deux théorèmes suivants :

48 . Théorème I . — Si deux pol y nomes sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes ou croissantes d’une même lettre , et que le quotient de leur division soit un polynôme, ordonne de la même manière, on obtient le premier' terme du quotient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.

En effet, le dividende étant par hypothèse le produit du diviseur par le quotient, le premier terme de ce dividende provient sans réduction (87) du produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient : donc le premier terme du quotient résulte delà division dit premier terme du dividende parle premier terme du diviseur.

49. Théorème II. — En multipliant te diviseur par le premier terme du quotient et retranchant le produit du dividende, on obtient un reste qui, divisé par le diviseur, donne /‘ensemble des autres termes du quotient.

En effet, en considérant le quotient comme compose de deux parties, son premier terme et l’ensemble des termes qui suivent, on voit que le produit du diviseur par le quotient, c’est-à-dire le dividende, est égal au produit du diviseur par le premier terme du quotient, augmenté du produit du diviseur par l’ensemble des ' . ' - . v : • -3.

3(> chapitre Cinquième.

.1 litres termes île ce i|Uotient; l’excès du dividende sur la première partie de ce produit est donc égal au produit du diviseur par l’ensemble des termes du quotient qui suivent le premier.

ISO. Le théorème I fournit le premier terme du quotient; le théorème II ramène la division primitive à une division nouvelle, que l’on ramènera ù une troisième, et ainsi de suite. On aura ainsi autant de divisions ù faire que le quotient total compte de termes.