a 7 x tn
Les dividendes successifs sont tous des binômes dont le second terme est — a”; dans le premier terme, l’exposant de a augmente d’une unité, et celui de x diminue d’une unité à chaque opération. On arrivera donc ainsi aux restes
dont le dernier est nul. Le quotient est d’ailleurs un polynôme de degré m — i homogène, et symétrique par rapport aux lettres r et ai II mérite d’être retenu.
2 U . x "‘ — a m est divisible par x 4- a quand ni est pair; car on a
et la substitution de ( — a ) à x dans x m — a™ donne ( — a)"' — a"‘, qui s’évanouit lorsque m est pair. En effectuant la division,. on trouve, dans ce cas, V . .* >
iT — a m
= x" -1 — ax m ~ 1 4- a’ x" l ï — . . . — a"‘~ ' .
3°. x"4- a m est divisible par x 4- a lorsque m est impair, car la substitution de ( — a) a x dans x“-f- a“‘ donne ( — a)"- 4- a”, qui s’évanouit quand m est impair. En effectuant la division , on trouve
tS7. Corollaire II. — Si un polynôme entier en x devient nul lorsqu’on y remplace successivement x /ut r les nombres inégaux
4?. chapitre cinquième.
a, b , c, etc., U est invisible par le produit ' \ *
Soient P le polynôme proposé, et Q le polynôme entier qu’on obtient en divisant P par x — a. Si dans l’égalité'
, P = (jr — n)Q,
qui doit avoir lieu quel que soit x, on remplace x par b, le premier membre devient nul par hypothèse ; quant au second , il ilevient
(b — a)Qi,
en désignant par Qi, le résultat de la substitution de b à x dans le polynôme Q. Ce produit (b — ci) Q* étant nul, et le facteur b — a étant différent de zéro , puisque a et b sont des nombres inégaux , on doit avoir Qj= o ; le polynôme Q est donc divisible par x — b , et l’on a
Q' étant un polynôme entier en x\ par suite P ={x?.a)(x— b)Q'.
En continuant de la même façon, c’est-à-dire en faisant .>■ = c dans cette égalité , on trouverait
Q' = (.r — c) Q" et P = (* — «)(x — ô)(x — c) Q", etc.
EXERCICES
II. Quelles sont les conditions de divisibilité de x m — a m par
x<‘ — aP ?
| II. Si un polynôme entier en x et dont les coefficients sont des nombres entière a pour valeur deux nombres impairs pour x = o et x ~ i , aucun nombre entier substitué à x ne pourra réduire ce polynôme à zéro.
DIVISION
^111. Les expressions
xly r 4- yi z r -f- zi x r — x r yi — y r zi — z r xi, xPyiz' -f- yP zix r -+- zP xi y r — x P z 1y r — zPyl x r — y P xi z r , sont divisibles par le produit (x — y)(x — z)(y— z).
