CHAPITRE S1XI KMK
PRINCIPES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX ÉQUATIONS
DÉFINITIONS
!UI. On donne le' nom* d'identité à toute égalité qui a lieu entre des nonibres ou entre deux expressions qui se réduisent à des nombres égaux , quelque valeur qu’on attribue aux lettres qu’elles renferment.
Exemples :
Une équation est une égalité dont les deux membres u 'acquièrent des valeurs numériques égales que lorsqu’on y remplace certaines lettres par des nombres convenablement choisis. Ces lettres particulières portent le nom d 'inconnues, et les valeurs qu’il faut leur donner pour transformer l’équation en identité sont les racines ou les solutions de celte équation. Résoudre une équation , c’est trouver ses racines.
Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles admettent les mêmes racines, c’est-à-dire lorsque toutes les valeurs des inconnues qui satisfont à l’une conviennent à l’autre, et réciproquement.
Un système d’équations est l’ensemble de plusieurs équations qui doivent être satisfaites à la fois.' Deux systèmes sont équivalents, et, par suite , peuvent être substitués l’un à l’autre , quand toutes les solutions du premier conviennent au seoond, et inversement.
Théorème I.
39. En augmentant ou diminuant d’une meme quantité 1rs ({eux membres d’une équation, on obtient une seconde équation équivalente à la première v
PRINCIPES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX ÉQUATIONS. 4
Par exemple , si les valeurs x = 2 , y — 4 satisfont à l’ équation
( 1 ) y'+zx 1 — f\x = 3xy — 2 r, elles satisfont aussi à l’équation
( 2 ) (2x-i)+ (j’-t- ïr — 4*) = (3*r— 2j) +-.( 0 .x — i),
et inversement.
En effet, par hypothèse, les deux membres de l'cquation ( 1 ) se réduisent à deux nombres égaux pour
■v =.2 et y = 4 ;
en ajoutant à ces nombres égaux la valeur correspondante de 2 x — 1 , on aura deux sommes égalés ; et comme ces sommes sont les valeurs numériques des deux membres de l’équation ( 2 ) pour
T = 2 Pt V — 4 > l’équation ( 2 ) est satisfaite par
. x = o. et •; y = 4- • •
La réciproque se démontre de même. . • - .
60. Corollaire. — On peut transposer ttn terme d’un membre dans f autre . , pourvu qu’on ebanee le signe de ce terme.
Ainsi l’équation
équivaut à
y'— h lx'= 3 ■>■)■ — 2 y 4 sc. .»
Il suffît, en effet, d’ajouter 4 * aux deux membres de la première équation pour avoir la seconde.
Cette operation portait , chez les Arabes, le nom de aljttbnr
(rétablissement, restitution) ; de là est venu le mot algèbre.
Théorème II.
61 . En multipliant ou divisant les deux membres d'une équation par une même quantité dont la valeur n’est pas nulle , on obtient une équation équivalente à la première.
Ainsi les équations (0 ' \ • AsS,
sont équivalentes.
Car, en multipliant par la valeur de m les nombres égaux auxquels se réduisent A et B pour les valeurs de x,y,z, etc., qui satisfont à l’cquation (il, on obtient des produits égaux ; et connue ces produits sont les valeurs numériques de m A et de m B pour ces mêmes valeurs de r, y, z, etc., l’équation ( 2 ) est satisfaite par ces valeurs.
On prouverait de même que les solutions de l’équation ( 2 ) conviennent à l’équation (r).
62. Corollaire. — Ce théorème permet de ramener à une forme entière toute équation qui contient des dénominateurs.
Il est, en effet, évident que les dénominateurs disparaissent quand on multiplie tous les termes de l’équation par le plus petit multiple commun de ces dénominateurs. Ainsi l’équation
x(i>4- fc) b(.r-a)(b— aol , [a — by
multipliée par
prend la forme .
1 (a+b)(a'‘ — b 3 )x+ab(b — 2 »)(.r — a)
^ | = 3a(rt 5 — b 7 ) (« — x) 4- a [a — b) 3 .
65. Scolie. — Lorsque le dénominateur commun, dont la suppression rend l’équation entière, est un nombre, l’équation transformée est, d’après ce qui précède, tout 'à fait équivalente à la proposée. Il en est encore de même quand le dénominateur est une quantité algébrique qui ne contient pas d’inconnues , pourvu «jue la mise en nombres ne réduise pas ultérieurement ce facteur à zéro. Ainsi l’équation (4) tiendra lieu de l’équation (3) tant qu’on «lonnera à a une valeur différente de zéro et de b. ■
Quand on multiplie les deux membres d’une équation A = B par une quantité C qui contient une ou plusieurs inconnues , l'équation résultante
AC==BC, ou . (A — B)C== o, est satisfaite , soit par
■ - ■ ■ • ' ■ Cs* o, '• ..
PRINCIPES GENERAUX RELATIFS AUX EQUATIONS
soit pat
en sorte qu’elle admet non-seulement les solutions de l’équation proposée, mais encore les racines de l’équation qu’on obtient en égalant à zéro le multiplicateur C.
Par exemple, l’équation
est plus générale que l’équation *
elle est satisfaite par
x 2 et x = i-, 1 ' .
tandis que la proposée n’admet qué la racine x = —
Il suit de là que lorsque le dénominateur commun , dont la suppression rend l’équation entière, contient des inconnues, la transformée n’équivaut à la proposée qu’aulant qu’aucune de ses racines n’annule le dénominateur. Il faut donc, après la résolution de l’équation, rejeter comme étrangères (c’est-à-dirc comme introduites par le calcul), les solutions qui, rendant ce dénominateur nul, ne satisfont pas à l’équation primitive.
Ainsi la transformée
de l’équation
admet pour racines les nombres 1 et b; mais la solution i doit être rejetée comme réduisant à zéro le dénominateur 3 (x — 1 ).
Toutefois, lorsqu’on rend une équation entière en la multipliant par le plus petit multiple commun des dénominateurs, l’équation transformée n’admet le plus souvent pas d’autres racines que celles de la proposée. <
Théorème III.
04. On augmente en général le nombre des solutions d'une équation, en élceant ses deux membres à. une même puissance. Ainsi l'équation »,
est plus générale que l’équation ;
car elle équivaut à
(A ’-+» B Vf À — B) = or "
laquelle est satisfaite, Soit par
soit par ^ ■
en sorte que l’équation
contient à la fois les solutions de
A=B et de A = — B.
En général, l’équation *
A”' = B" ou A” — B 1 " = o
équivaut à
(A — B) (A m -' -I- BA m ’ -+- B 3 A" ,- ’-(-. . .+ B m ~ , ) = o? et, par suite, contient non-seulement les solutions de l’équation É. • A — B = o ou A = B , mais encore celles de
A"-’ -|- BA"— ’ H- B”-’ = o.
68. Corollaire. — Lorsque, pour rendre une équation rationnelle, on isole le radical et qu’on élève au carré, l’équation nouvelle est plus générale que l’ancienne.
Ainsi * soit l’équation
PRINCIPES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX ÉQUATIONS
En isolant le radical , puis élevant au carré le résultat
on obtient
Or on peut vérifier que x = 4 et x = 5 conviennent à cette équation, tandis que la première relation n’est satisfaite que par x = 5. C’est que la dernière équation est aussi bien le carré de
— \jS — x = x — 5-,
qui est satisfaite par x — 4» que le carré de
dont la racine est 5.
Malgré cela, on substitue souvent à une équation irrationnelle une équation rationnelle qu’on a obtenue en élevant les deux membres de la première à une même puissance, après avoir isolé le radical. Mais il faut ensuite chercher par des substitutions quelles sont les racines de l’équation transformée qui satisfont à la proposée, et rejeter les autres racines. Ainsi dans l’exemple précédent la racine 5 était seule admissible.
THÉoRÈjnï IV.
06. On peut substituer à l’une des équations d’un système une autre équation formée en. combinant la première , par addition ou soustraction , avec une oit- plusieurs des équntinqs primitives.
Par exemple, le système
rilAPITAK SIXIKVF,.
équivaut an système
car tout groupe de valeurs de x, y , z, . . . , qui transforme les deux membres des équations (i) en nombres égaux , fait évidemment acquérir la même valeur numérique aux deux membres de l’équation
ainsi qu’aux deux membres de chacune des autres équations (2). ’
f Réciproquement, si pour certaines valeurs de x,y, z ,. . ., les équations ( 2) sont satisfaites, c’est que, pour ces mêmes valeurs, . C et C' deviennent des nombres égaux, et, par suite, que les équations (t) sont vérifiées.
Scolie. — f.a démonstration ne dépend ni du nombre des inconnues, ni de la forme et du nombre des équations. De plus, comme une équation n’est pas altérée par l’introduction d’un même facteur dans ses deux membres, on peut, avant de combiner les équations d’un système par addition ou soustraction, les multiplier par des nombres quelconques.
Théorème V.
67. Quand l’une des équations d'un système est résolue par rapport H une inconnue , on peut remplacer cette inconnue par sa valeur dans les autses équations.
Ainsi , par exemple’, le système
PRINCIPES CttNÉRAUX RELATIFS AUX ÉQUATIONS.
équivaut au système
n « — aY =
1 1 -+- 2 jr -+- 5 z
En effet, pour qu’un groupe de valeurs
qui convient au système (1), satisfasse an système {2), il faut et ■ il suffit que I expression — représente pour ces valeurs le même nombre que * (ici 9). Or cette condition est remplie, puisque l’équation 5 = f ait partie (lu prc .
mier système:
On démontrerait de même que toute solution des équations (2) convient aux équations (1).
La démonstration est indépendante du nombre des inconnues, ainsi que-du nombre et de la forme <]es équations.
08 . Définition. — Éliminer une inconnue entre m équations, c est substituer au système primitif un système équivalent dont m - 1 équations ne renferment pas cette inconuue. Ainsi le procédé qui, dans l’exemple précédent, a servi, à passer du système (1) au système (2) est un procédé particulier d élimination, connu sous le non» de méthode de substitution .
