SIMPLIFICATION. — PROCÉDÉS PARTICULIERS
33. Lorsqu’une inconnue a l’unité pour coefficient dans l’une des équations proposées, on commence par éliminer cette inconnue : c’est le moyen d’éviter les dénominateurs.
Quand le système possède une ou plusieurs équations qui ne contiennent pas toutes les inconnues, on élimine de préférenco l’inconnue qui entre dans le moins d'équations; c’est le moyen de
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RKSOUITIOW Br.S ÉQUATIONS OU PREMIER OKGRÉ. 65
diminuer le nombre des substitutions. Mais si l’une des inconnues n’entre <|iie dans une seule équation , il faut au contraire garder cette équation pour la fin.
B 4 . D’autres fois on "laisse. entièrenSent de côté la marche générale; l’inspection des équations suggère des expédients plus simples, qui mènent droit au but, et que l’habitiide seule du calcul permet d’apercevoir. •
Voici 'quelques exemples : ‘ . -
i°. Soit le système ,
x -y y ■+■ z -y't -)- « = a, x tI- y ~y 2 -y t -y v “ b ,
x--yy -+*<4-«-frP = rf,
» jt-+- s -t- t -y u -y-v —e, '\
En faisant la somme, qn a l’équation
x -y y -y z -y t -f* it -y v = + b -y c -y d -y e -y f) — — »
et il suffit de retrancher successivement de cette relation chacune îles équations primitives pour trouver les valeurs
' , ' ' '•» . * - 4 Ht *
2°. Soient encore les équations xyz xyz
————— Cl y —
En renversant , on a
xyz x + y
î r i si i t i i t
xz xy a * yz xy b ’ yz xz , c
Dès lors si de la somme de ces trois équations on retranche sué-
cessivement cltacunc tl’clles, on trouve
.ry 2 \n b c ]
ou , en posant — h t H — = -?
y z p * ' TZ
i t i it
xy p r m .
Enfin-, en divisant chacune de ces équations par la racine carrée de leur produit, on obtient
3°. M. Binet a indique un procédé très-élégant pour résoudre le système
fi 1 ft’— /»’ ft 1 — c'
»tji— é v 1 — c 1
résolution des équations nu premier degré. ti-
On a identiquement
A, B, C étant des coefficients qu’il est inutile de calculer. Le premier membre de cette relation s’annule pour t — p% t = t = v 3 •à cause des équations proposées. Le polynôme I 3 -+- A t 1 B C -t- C devient donc nul pour les mêmes valeurs de t\ il est donc égal au produit (f — p’) ( t — p’) (/ — v 1 ), et l’on ;l
Multipliant par t, puis faisant r = o, on obtient
multipliant par t — b-, puis faisant t =c ô 3 ,' on trouve
Enfin , il suffit de multiplier part — c' et de faire t - c 1 , pour
avoir -
CAS OC CE NOMBRE DES ÉQUATIONS N’EST PAS ÉGAL A CELUI - - DES INCONNUES. ' ' ' : r .
Bit. Si l’on donne m + n équations entre m inconnues, on résoudra par les méthodes précédentes les m équations les plus simples; et pour qu’il existe un groupe de valeurs de x , y, s, . . . , satisfaisant au système entier , il faudra que la-substitution dçs valeurs déjà trouvées pour ccs inconnues rende les n équations res-' tantes identiques. Quand cela n’aura pas lieu, le système proposé sera impossible.
Par exemple, le-système - - .' -, .
'■ 7 x -f- Jrr = 54 <• 8 -» — 3 r=4i '4- r + ^J “'7
•Dlgitized by
f >8 , i:ium «k. skVMkme. ,•» .
est impossible, puisque les Valeurs .
déduites des deux premières équations, transforment la dernière
en une absurdité
lorsque le système proposé contient des coefficients littéraux , on peut chercher quelles conditions il faut imposer aux nombresindéterminés représentés par ces lettres, pour rendre les équations compatibles. .. *
Ainsi ; en portant dans la troisième des équations
les valeurs % ‘ .
déduites des deux premières, on trouve la relation a 4 - £.= 2 (a — b) ou 3 = 3i,
(fui doit exister entre a et b pour que le système proposé soit possible. Dans cette hypothèse, les valeurs de .r et de r se réduisent à ‘ x — 2 b , y = b.
80. Quand on donne ni équations entre m 4 - n inconnues, les méthodes précédentes fournissent pour m de ces inconnues des valeurs qui contiennent les n inconnues restantes, ou, comme on dit, qui sont exprimées en fonction des n autres inconnues Alors <in peut substituer à ces dernières les nombres qu’on veut, il en résulte toujours des solutions pour les autres; le système proposé est donc indéterminé.
.Ainsi les deux équations
