SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS A DEUX INCONNUES

90. On sait que. toute équation du premier degré à deux inconnues peut être ramenée à la forme

nx -f- ér.~ c,

où a, b , c sont des quantités indépendantes de x et de y.

Soit donc le système . • i ' . .

(i) ax-\-by=.r , et' x -f- -d' y = c'.

En opérant par substitution , on est conduit à remplacer successi-

FORMULES GÉNÉRAI RS. — IIISCI SSIIIN.

vement cesystcuie par les systèmes équivalents:

, br ,, ,

, c — br ne' — en

y [a b' — bu') — ac' — eu',

ne' — en’ ub‘ — bu' ’

ab' — ba' ac — ca'

cb'—bc'

a b ' — bu' ac' — ca'

ab ' — ba 1

ab' — ba'

et l’on voit que deux équations simultanées du premier degré à deux inconnues admettent en général un système de solutions et n en admettent qit un. ‘

91. On peut d’ailleurs vérifier que la méthode de réduction et

la méthode des multiplicateurs conduisent aussi aux formules Cherchons, par exemple, y par la méthode de réduction En multipliant la première des équations ( 1 ) par a', la deuxième par a , et retranchant, on obtient

y\ab' — ba') = qd — ca' , d’où y =— W

Demandons, au contraire, la valeur de x à la méthode des multiplicateurs; et pour cela, ajoutons la première équation au produit de la deuxième par l'indéterminée X; la relation

tient lieu de l’une des proposées, quel que soit X, et, par suite, pour la valeur particulière

4 r.UAPITRI UUlTJhMI.-,

qui fait évanouir les Ut iik s en y, cL donne

bc

cb' — bc*

a b ' — bu' J" .. . ..

OS. L’inspection «les formules ( 7 ) conduit à la règle suivanle :

1°-. Polir formerfe dénominateur commun îles valeurs de x et de y, on écrit successivement la lettre b à droite et à gntic/ie de a , ce qui donne a b et bu; puis ou sépare ces deux termes par le signe — , après avoir accentué la ilernièrc lettre de chacun deux.

2°. Pour former le numérateur d'une inconnue, on remplace dans a b ' — b a' chacun des coefficients de cette inconnue par le se-

rond membre de celle des équations proposées où entre ce coefficient . Ainsi le numérateur <!o x s’obtient du dénominateur communub' ba' par la substitution de c et c' à a et a'.