Soit le système
, / ax “t - b y 4 - cZ — - h , , •
Appliquons la méthode des multiplicateurs qui est seule employée on analyse pour les équations littérales.
Kn multipliant la deuxième équation par Y, la troisième par Y et ajoutant les résultats à la première, on obtient la relation
(« WV 4- a" À*,) ,r+(i + b' Y 4 - b“Ÿ')y 4- ( : c 4 . c' y 4. c" Y' )îs,i + h! Y 4 - X "
qui remplace l’une des proposées, quels que soient Y et Y'.- On. détermine Y et V' par la condition que les termes en j. et 1 'disparaissent, c’est-à-dire que l’ou pose
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FOKHUtKS OÏKÉRALKSj — DISCUSSION. •J 5
et en Substituant dans l'équation (2) les valeurs de V et Y' tirées de ces deuv équations, on arrive i
( , , b" c — bc" „ bc' — cb'\ •
r b' — èc'
d’où
ib'c" — f,c' b"fi- ck' b" — W' c" ii/ r — ci' /I"
ab'c" — ac' b" + en' b'' — ba'c' r -h bc n" — cb' a"'
PiC- '■
Au lieu de calculer directemerit y et a, on déduit leurs valeurs de la formule précédente par des permutations circulaires .
Soient (a, •*), (i> jr), (c, s) les trois sommets d’un triangle équilatéral inscrit.
Une rotation de 1 20 degrés amène la figure de la position (1) à la position (2), c’est-àdire donne h (a, x) la place de ( c, z) , à (c, z} la place de (b, y) et à (b, y) celle .de (a, .r). •
Par cette permutation, les équations (1) deviennent
by + ci -+- ax — k , b' y -h c' z - p n' x == ’X', b"y + c"z y- a"x = k".
Elles ne changent donc pas ; les valeurs /° 37 des inconnues ne doivent donc pas être altérées; mais la permutation transforme la formule ( 3 ) en la suivante :
ak’ c" — a' c' k" - 4 - rn’. X " - ko! c". -+• kc' a" — ck' n"
ba‘ 1
bc ',,' 1
cb' n"
a b' c' — ac f b" -y- en' b"
En faisant tourner la fig, 2 do 120 degrés dans le même sens, ce qui revient à faire décrire 2^0 degrés à la fig. i , on trouve
. a b' k!' — „k ' b"'+ /.,? b" bu’ k " bk’ a" — kb’ n" • ni/ c". — ne’ b" -f et? b" — In? c" ■+ !??' n'L— cb'-’a" '
91 Le dénominateur est le même pour les trois inconnues. Voici la manière de le former : on prgid les deux permutations ab et — ba - qui composent le dénominateur des équations à deux inconnues; dans chacune de ces permutations, on met' le coefficient c successivement à toutes les places en commençant par la dernière, et l’on change le signe de cette permutation chaque fois que c avance d’un rang vers la gauche. Ainsi le terme ab fournit les permutations
-+- abc, — acb, ' -4- eu b , > •
et le terme — ba donne
— bac , -i - bca , — cba.
On ajoute alors tous ces monômes avec leurs signes, en affectant la seconde lettre de chaque terme d’un accent, et la troisième de deux accents. On obtient ainsi pour le dénominateur commun relatif à trois équations
ab' c" — ac' b" H- ca' b" — ba ' c" -t- bc'a" — cb' a''.'
Pour former le numérateur relatif à une inconnue, on remplace dans le dénominateur commun chacun des coefficients de cette inconnue par le second membre de l'équation correspondante.
1 DU S1MB0LE -. ' :
Dit. Quand une équation donne pour .r une valeur de la forme
5 on dit souvent qu’elle a l 'infini pour racine, et l’on remplace o t
le symbole — parle signe ao . Voici la raison de cette locution in-
•correcte. Au lieu d’introduire brusquement l’hypothèse -m — o
dans la formule • ■ ■■ ' ' . '
doutions à n des valeurs de plus en ]dus jx-tites ayant zéro pour limite, la valeur de x ira croissant cl pourra surpasser toute grandeur assignable’; c'est ce qltVnt exprime en disant. qu’elle devient
FORMULES OÉ^KRALÏS.' a-r ÎIISCOSSIOX. .
infinie: Mais ert réalité, quand n prend la valeur o, il n’y a pas de nombre qui , multiplié par o , donne m ; x cesse donc d’exister, et l'équation n’admet plus de solution. -
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