PROBLEMES OU PREMIER DEGRÉ

Oit

Si l’on (ait dans cette formule k = i, 2 ,-3 , . . . , n , on obtient successivement les mises des divers joueurs. .

ÎXCOWUKS AUXILIAIRES. .

114 . On n’aperçoit pas toujours aisément les relations que l’énoncé établit entre les données et les inconnues ; il faut alors avoir recours à des inconnues auxiliaires, qui dépendent plus immédiatement des données et dont les relations avec les inconïiues véritables soient faciles à saisir. On élimine ensuite entre les équations trouvées ces quantités auxiliaires qui ont servi, en quelque sorte, de pont pour passer des données aux résultats.

L’exemple suivant est extrait de X Arithmétique universelle de Newton :

Soient S, S’, S" les Surfaces de trois prés , dans lesquels C herbe est d’égale hauteur et eroft d’un mouvement uniforme. Le premier pré a nourri n boeufs pendant t jours ; le second n' boeufs pendant é jours ; on demande combien de bœufs le troisième pré pourra nourrir pendant t" jours ?

Désignons par x ce nombre de bœufs ; et prenons trois inconnues auxiliaires, à savoir:

La hauteur commune h de l’herbe dans les trois prés à l’époque où l’on y met les bœufs;

La vitesse v avec laquelle l’herbe pousse ;

La quantité d’herbe q que chaque bœuf mange par jour, en prenant pour unité la quantité d’herbe par mètre carré de terrain et par mètre de haut.

Le premier troupeau a mangé une quantité d’herbe exprimée par

tiql,

et qui se compose de l’herbe SA qui existait dans le pré avant l’entrée des bœufs, et de l’herbe Se/ qui a poussé pendant leur séjour. On a donc

U)’ . nqt==$ (h -f- vt).

IOO CHAPITRE NEUVIEME.

Les deux autres prés fournissent les relations analogues

( 2 ) n qd = S' (A ■+■ et'), • •

(3) xqt" = S" (h + vt").

En portant dans (3) les valeurs de h et de v tirées de ( 1 ) et ( 2 ), la lettre q disparaît d'clle-même et l’on trouve

S" Sn’t'(t" — t)-t-S'nt(t' — (")

X SS' t’—t

APPLICATION NUMERIQUE.

S ~ 3 7 arpents. . S' = 10, S" = 24,

n =r 1 2 bœufs .... «' = 2 1 , . .t ±= 36,

t = 3 semaines. . . f' =r 9, t"=i8. ^

DE L'INFINI COMME SOl.lITIOS

118 . On sait que lorsqu’une formule donne une valeur infinie pour une inconnue, par suite de certaines valeurs particulières attribuées aux données, l’équation est impossible; mais il n’en est pas toujours ainsi du problème qui a conduit à cette équation. En effet, le symbole ^ exprime (93) que l’inconnue croît

au delà de toute limite à mesure que les données tendent vers certaines valeurs ; or il arrive souvent , en géométrie , que cet état limite de l’inconnue, qui cesse alors d’exister, correspond à une construction déterminée.

Soit, par exemple , proposé de mener une tangente commune h deux circonférences de rayons r et r'.

Fie. O, O' étant les centres, A et

A' les points de Contact, et X / / l’intersection de la tangente

| J -\ avec la ligne des centres; pre-

\ / nons pour inconnue la distance

^ — OX = x du point X au centre

O du premier*cercle : les triangles rectangles semblables OAX ,