x — 2/ — 2 z , 3 r — z — te, 4 z après la seconde

4# — 4 y — 4*, 6r — 2 z — 2x, q z — y — j: après la dernière.

En égalant chacune de ces expressions à 1 20 , on obtient les trois

équations

d’où

'Si l’on rémarque que la somme totale possédée à chaque instant par les trois joueurs reste toujours égale à la somme des mises, on voit que la somme des premiers membres des trois équations précédentes doit faire

On est donc conduit à faire cette somme et à substituer îi l’une quelconque des équations du système primitif la relation plus simple

qu’il suffit d’ajouter successivement à chacune des proposées, après l’avoir multipliée paj 4, 2 , 1 > pour avoir les valeurs de x, y, z.

L’emploi de cette quantité auxiliaire, la somme des mises , permet de résoudre plus simplement le problème proposé. Pour le montrer, reprenons la question étendue à un nombre quelconque de joueurs :

n joueurs conviennent qu’à chaque partie le perdant doublera l’argent des autres. Après n parties perdues successivement par

g8 CHAPITRE NEUVIÈME.

chacun d'eux , ils se retirent avec des sommes respectivement égalés à a, , a,, rtj , . . . , a„. Quelles étaient les mises x, , x, ,1t 3 , , . . , x„ ?

Soit x* la mise du k iimt joueur, c’est-à-dire de celui qui perd la h‘ imr partie et se retire avec ar».

Après la première partie, ce joueur possède , .

après la seconde après la troisième et après la k — i

La somme totale possédée par les n — i autres joueurs est alors

Xk ,

***** 2* -1 Xk-

(a, 4- a-, 4- a 3 -+- . . . -t- a„) — 2 * 'xi,

puiscpie l’argent qui est au jeu , c’est-à-dire le fonds de roulement, est à tout instant

Le joueur en perdant la k ,imt partie donne donc (a, 4- a, 4-. . . 4 - a„) — 2 *-' x*, et il ne lui reste après cette partie que

rf-'-Xk— [(a, -t- a, -H. . . -1- a„) — 2 * -, Xi]

OU

2 'x|-(a,-M, + . v + fl,):

Dès lors il double son avoir à chaque coup, jusqu’à la fin, et comme il y a encore n — k parties à faire , sa fortune est multipliée par 2 "~*, et il se retire avec

En écrivant que cette expression est égale à ai, on obtient l’équation

2“ x 4 — 2 "“* (a, 4- a, 4-”‘. . . -t- a„) = a k , d’où l’on tire

• __ Uk 4- 2 ’ 1 -* (a, 4- a, ... + a„)