PROBLÈME DES COURRIERS

124. Une rapide esquisse du problème classique des courriers va nous permettre de résumer les diverses notions présentées dans ce chapitre.

Deux courriers sont en marche depuif un temps indéfini sur une route qu’ils parcourent tous deux dans le même sens X' ABX. Le Fig. g. premier, qui fait v kilomè-

, très à l’heure , passe çn A

V a B. il-*,, ,

n heures avant que le second, dont la vitesse est v', arrive en B; la distance AB est de d lieues ; trouver le point K où ces deux courriers se rencontrent.

En prenant pour inconnue la distance BR — x, et en exprimant que la différence des temps

PROBLÈMES OU PREMIER IlFCRÈ. III

employés par les courriers pour aller de A en B et de B en R est égale à h , on obtient l’équation

d’où

vh)

les données v, v', d, h sont des nombres positifs.

Pour que x soit positif, il faut qu'on ait.

d vh , * d vh ,

- , ou

Il y a donc, dans ces deux cas, rencontre au delà de B, comme on l’avait supposé dans la mise en équation. On peut, du reste, le voir à priori en remontant à l’énoncé.

Quand on a à la fois

d vh , d <^vh,

• . ^ , ou ^ '

la valeur de xest négative. En changeant x en — x dans l’équation (i), on voit aisément que le signe — indique ici un changement de sens, en sorte que les courriers se rencontrent à gauche de B.

Pour compléter la discussion, il reste encore à examiner les cas suivants :

' d — vh ,

la valeur de x se présente alors sous la forme

lia CHAPITRE NEUVIÈME.

Or on reconnaît, en effet, à priori, en remontant à l’énoncé, que clans le premiér cas la rencontre a lieu en B , que dans le second elle a lieu à l’inGni , et que dans le troisième les courriers sont ensemble pendant tout le trajet.^

Enfin, on peut donner encore plus d’extension à la formule(i) en introduisant les nombres négatifs dans les données mêmes. Ainsi , en regardant h comme positif ou négatif, selon que l’arrivée du second courrier en B suit ou précède l'arrivée du premier courrier en A , la formule (i) est encore applicable. Elle donnerait aussi les solutions relatives aux cas où les courriers vont tous

lés. deux dans le sens XBAX', et au cas où les courriers vont en sens contraire, si l’on donnait des signes aux nombres <> et e' qui expriment les vitesses. Ces discussions ne présentent aucune difficulté.

EXERCICES

I. Deux lingots renferment, l’un a grammes d’or et b grammes d’argent , l’autre a' grammes d’or et b' grammes d’argent.' Combien de grammes faut-il prendre à chacun d’eux pour former un troisième lingot contenant a grammes d’or et ©grammes d’argent? Chercher les conditions de possibilité et les interpréter.

II. Plusieurs personnes puisent dans un vase contenant du vin ; la première prend i litre plus le n iiKe de ce qui reste ; la seconde prend ensuite 2 litres plus le n' im ‘ du reste,. . ., ainsi, de suite. Il arrive que toutes les personnes ont la même quantité de vin ; on demande le nombre des personnes et la part de chacune d’elles.

III. Deux horloges sonnent l’heure en même temps, l’une retarde sur l’autre de 2 secondes; les coups de la première se succèdent à 3 secondes et ceux de l’autre à 4 secondes d’intervalle; l’oreille ne perçoit d’ailleurs qu’un seul coup lorsque les deux horloges sonnent dans la même seconde. Trouver l’heure, sachant qu’on a entendu en tout 19 coups.

IV. Trois créanciers ont à réclamer d’une succession de a francs,

PROBLÈMES DU PRKMtF.IV DEGRÉ. 1 l3

l’uiv// francs , l’autre q francs, le troisième r francs, te tribunal r prenant en considération le plus ou moins de force de leurs droits, adjuge au second créancier ni pour 100 était troisième/» pour 100 de plus qu’au premier. Combien chacun aura-t-il?.

V. Inscrire dans un triangle de base b et de hauteur h un rec* tangle de périmètre donné. Discussion.

; VI. Deux mobiles parcourent une circonférence de longueur /, * avec des vitesses e et c' ; un arc de a mètres les sépare au départ. Indiquer les époques de leurs rencontres successives, en supposant :• V : ’

i°. Qu’ils marchent dans le même sens et que le premier parte f secondes avant l’antré ; ,• «

•2°. Qu’ils marchent dans le même sens et que le premier parte ‘ , t secondes après l’autre ;

3 °. Qu’ils marchent en sens opposés et que le premier parte f secondes avant l’autre; . \ ■ -,

4 °. Qu’ils marchent en sens opposés et que le premier parte t secondes après l ’autre.

. Peut-on , par l’introduction des quantités négatives , réduire les quatre groupes de formules à un seul?