Théorème II. — Le trinôme

ax'-i- bx -h c

est t!e même signe que son premier terme, excepté lorsque l’équation ax' -+- bx 4- c = o

a ses racines réelles et que x est compris entre ces deux racines.

On distingue trois cas, suivant que l’équation '

ax' + bx -+- c = o

a ses racines imaginaires, réelles et égales, ou réelles et inégales. i°. Lorsque les racines sont imaginaires, en les désignant par '

a 4- ë y/ — i et a — 6 y/— i

cm a

a. r’4- bx c = a[x — (a -t-ë \J — l) J [ x — (a — S y/— ’ij]

Le trinôme est alors le produit de a par la somme de deu x carrés -, il est donc, quel que soit x, de même signe que a.

2 °. Lorsque b 1 — \ac est nul , c’est-à-dire lorsque les deux racines x’ et x" de l’équation

axé -+- bx c = o

sont égales , on a

ax 5 -J- bx ■+■ c = a (.* — - x ’ ) J ;

et l’on voit que tout nombre substitué à x rend le trinôme de même signe que a.

3°. Enfin, quand les racines x’ et x " sont réelles et inégales, on a

ax' -+■ bx -+• c = a ( x — x’ ) { x — x" ) ;

tout nombre compris entre x' et x" rend les facteurs

de signes contraires ; le produit de ces binômes est donc négatif,

et l’expression

fl(x — x>)[x — x")

est de signe contraire à a. ^

Tout nombre supérieur à la plus grande des racines x\ x", ou inférieur à la plus petite , rend les facteurs

de même signe; le produit de ces binômes est donc positif, et le

trinôme

a le signe de a. .

4 i$9. Ce théorème est très-utile; il permet de trouver les valeurs de x pour lesquelles un trinôme du second degré est positif ou négatif;

Soit , par exemple , le trinôme

l’e'quation 3.r J — ax — 65 = o ayant pour racines

on doit conclure que le trinôme proposé est positif pour toutes les valeurs de x supérieures à 5, ainsi que pour les valeurs de x in-

férieures à — ; il est négatif pour x compris entre 5 et

Le trinôme

— x 2 -f- 3 x — 7 , qui donne lieu à une équation

dont les racines sont imaginaires, est toujours négatif, quel que soit x.

EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE

EXERCICES