II
n’est démontrée (ju'autant que a est différent de zéro. Mais nous savons (102) que cette formule sera encore dans ce cas d’accord avec l’équation , si l’hypothèse non permise a = o lui fait acquérir des valeurs déterminées (ou infinies).
Or, pour a = o, on trouve
l’une des racines est infinie; l’autre se présente sous la forme - :
mais elle est cependant déterminée, car si avant de faire a — o dans l’expression
— b + \/ b 2 ■ — 4 flc
on multiplie haut et bas par
— b — \j b' — 4ac,
il vient
x » 4 ac
2 a ( — b — \j b- — 4oc)
qui, après la suppression des facteurs 2 », donne pour a = o,
RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. 182. Les racines de l’équation
tix 1 ■+■ br. + c = o ,
sont
— b -H \! b' — 4 nc — h -r- ^ b 1 — 4^c
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ÉQUATIONS UU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE. 1 35
leur somme est égale à — -, et leur produit a pour valeur
b 1 — ( b ; — 4 flc ) c
4 tt 1 n "
En. opérant sur l’équation
x- px -f- C] — O ,
on eût trouvé — p pour la somme et q pour le produit des racines, en sorte qu’on peut dire : Dans toute équation du second degré dont le terme en x 1 n pour coefficient l'unité , la somme (les racines est égale au coefficient de x pris en signe contraire et le produit des racines est égal au terme tout connu.
Il suit de là : i°. Que si deux nombres ont une somme S et un produit P, ils sont les racines de l’équation du second degré
xJ — Sur -t- P — o. - ,
2 °. Que, pourfornier une équation du second degré dontles racines soient deux nombres donnés , il faut prendre l'unité pour coefficierit dc.r 1 , prendre ta somme de ces nombres changée de signe pour coefficient de x , et écrire le produit de ces nombres pour terme tout connu. Ainsi, l’équation du second degré qui a pour racines les nombres
est
185. Le théorème précédent permet encore de trouver les signes
des racines d’une équation du second degré, sans résoudre l’équa- •
lion , lorsque ces racines sont réelles.
D’abord ; suivant que - a le signe -f- ou le signe — , les racines
sont de même signe ou de signes contraires. Dans le premier cas ,
le signe commun des racines est celui de leur somme — dansle
second cas, le signe de la somme — - est celui de la plus grande racine.
Exemples :
les racines sont de signes contraires, puisque leur produit ï—
est négatif; la plus grande a le signe -+- , puisque leur somme - est
positive.
les racines sont de rucme signe, puisque leur produit ■ — est
positif; elles ont d’ailleurs le signe -4- , puisque leur somme -
a ce signe.
Avant d’appliquer ces règles, il faut toujours voir si les racines sont réelles, c’est-à-dire vérifier que le nombre b' — 4 ac tst P°~ sitif. 11 est un cas où, pour reconnaître la réalité des racines, il n’est pas nécessaire de recoùrirjk l’expression b 1 — 4 ac i A'.' racines sont " £
toujours réelles quand le terme — est négatif.
En effet , l’égalité
a 7 . - = ac
montre que lorsque - est négatif, il en est de même de ac ; par suite le produit — 4 ac est positif, et à fortiori l’expression b ’ — 4 ac -
Ainsi , A l’inspection même de l’équation *3 se* ■+• 2 x — 65 = o , on doit dire que les racines sont réelles.
PROPRIÉTÉS DP TRINOME nx'-s-br + c.
I{ 54 . Théorème I. — Tout trinôme du second degré ■ a.x- -f- b.r + c
EQUATIONS OU SECOND DEGRE A UNE INCONNUE
est égal au produit du coefficient a par les binâmes
qu'on obtient en retranchant de. x les racines de l’équation • ax r -t- bx -+- c = o.
En effet, on a identiquement
«x 1 ,+- bx -+- c= a ( x 1 -h
b c\ X< b Y è 1 cl
~ x H — ) — a I xH ) — 7 — -H — I
et en substituant à la différence des carrés située entre les crochets le produit de la somme par la différence des racines, on obtient
ax % -+- bx -t- c
= J,+± + JYZi )/.+£ .ÆIÏY
ou
«x 1 - (- bx + c
— b-\-\Jb‘ — 4ac\ i — b — i /b 7 — 4 ac ''
ISS. 11 résulte de là que l’équation
ax’ bx -4- c “ o
équivaut à ,
alx~ |.r - = o
laquelle tient lieu de ( 144 )
•b -+- \J b 1 — Lac
et de
b — si b * — Lac
d’où l’on conclut d’une nouvelle façon que l’équation du second
degré a deux racines données par la formule — b db \jb '‘ — 4 ac
' la
et n’en a que deux.
186. Le théorème précédent permet encore de trouver les relations du n° 182 entre les coefficients et les racines de l’équation
«x’-f- bx ■+■ e = o. •
En effet, dans les deux trinômes identiques (184)
«x’ 4- bx -+- c , a{x — x') (x — x') ou
a- — a ( x' -\- x" ) x + ax'x" ;
les coefficients des diverses puissances de x doivent être les mêmes ; on a donc
b= — a(x’-t-x") et • c=ax'x",
x'-t-x" = et x' x" — — •
Inversement , des relations
x 1 -f- x” = , sd x" — i
on déduit et
b = — a [x' -h x"), c — ax'x"
ax 1 -f- bx -F c — ax ? — a (x' x") ■+■ ax'x"
— a [x 3 — [x' + x") jç -f- x'x"]
187. Enfin, ce théorème permet aussi de former une équation du second degré dont les racines sont deux nombres donnés a et 6. I) suffit évidemment d’écrire
(x — a)(x — 6) = o ou x' — (a-+-6)x-Haë — o, puisque le premier membre s’annule pour x = a et pour x = 6.
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