CARACTÉRISTIQUE

232. Le logarithme d’ une puissance quelconque de 1 o est égal à l’exposant de cette puissance. Car

log 1 o" — n log io = t.

253. Les logarithmes de tous les nombres autres que tes puissances de t o sont incommensurables.

En effet, soit N un nombre dont on suppose le logarithme com-

ao6

mensurablc, et représenté par la fraction termes entiers — ;

on a

log N = — i n log N = m , log N" = m = log i o", et enfin ,

N" = io'".

Le second membre étant entier, le premier doit l’être, et paisible N. De plus, K ne doit contenir que les facteurs premiers 2 et 5, puisque tout facteur premier de N divise N" ou son égal 10", et par suite io.

Soit donc

on a

ce qui entraîne

pn = m, qn — ni ou p = q.

En d’autres termes, N est une puissance de io. Donc les puissances de 1 o sont les seuls nombres qui aient des logarithmes commensu râbles. Les logarithmes des autres nombres ne peuvent être obtenus qu’avec approximation; on les évalue à moins d’une unité décimale du septième ordre par excès ou par défaut, et l’on donne le nom de caractéristique à leur partie entière.

254 La caractéristique du logarithme d’un nombre plus grand que 1 contient autant d’unités moins une qu'il y a de chiffres dans la partie entière de ce nombre.

Car tout nombre dont la partie entière a n chiffres est compris entre io" - 1 et 10". Son logarithme est donc compris entre n — 1 et n , et il a n — 1 chiffres à sa partie entière.

258. Connaissant le logarithme d’un nombre, on trouvera celui d’un nombre 10 "fois plus grand ou plus petit en augmentant ou diminuant sa caractéristique de n unités.

En effet , on a

log ( A . 10") = log A log 1 o" =■ log A -H n , log( A; 10") = log A — log 10" = log A — n.

THÉORIE ORS LOGARITHMES

Il résulte de là que, si deux nombres ne diffèrent que par la place de la virgule, leurs logarithmes ne diffèrent que par la caractéristique.