LOI
294. — Remarque II. — Nous avons supposé q différent de 1. Lorsque q est égal à 1 la progression n’a aucun intérêt. Tous ses termes sont égaux : la somme des n premiers est donc égale à n fois l’un d'eux.
$ 8. — Logarithmes.
295. — Définition générale. — Considérons deux progressions croissantes : l’une arithmétique dont le premier terme est zéro et la raison r, l’autre géométrique dont le premier terme est 4 et la raison gq. :
te Li: Q 0 GS Thann Qu
LOGARITIIMES. 265 ‘Par définition :
Un terme quelconque de la progression arithmétique est appelé le logarithme du terme de même rang de la progression géométrique.
Inversement :
Un terme quelconque de la progression géométrique est appelé l’antilogarithme du terme de même rang de la progression arithmétique.
Ainsi le logarithme de gq# est 4r et inversement g# est l’antilogarithme de 4r.
L'antilogarithme d'un nombre a est donc le nombre qui a pour logarithme a.
On conçoit aisément qu'en choisissant q assez voisin de r et r assez voisin de o, les deux progressions peuvent être telles que deux termes consécutifs diffèrent excessivement peu. On peut alors dire que tout nombre plus grand que : figure, avec une certaine approximation, dans la progression géométrique.
Un nombre quelconque plus grand que 1 a alors un logarithme.
Ainsi, si je voulais avoir le logarithme de 2,5 123, je chercherais si le nombre 2,5123 figure dans la progression géométrique. Si oui, le nombre écrit au-dessus, dans la progression arithmétique, sera son logarithme. Si non, je prendrai le nombre de la progression géométrique le plus voisin. Si, par exemple, il figure dans la progression le nombre 2,5 122, Je prendrai le logarithme de ce nombre qui sera une valeur approchèe du logarithme de 2,5 123.
296. — La définition précédente ne définit que les loga- rithmes de nombres plus grands que r, car la progression géométrique croissante (q > 1) :
ind qe ne comprend que des nombres plus grands que r. Par définition :
Le logarithme d'un nombre plus petit que 1 est le nombre opposé au logarithme de son inverse.
Ainsi, considérons le nombre -- Pour avoir son logarithme, nous prendrons le nombre opposé au logarithme de son inverse 2. Si le loga-
. È LI rithme de 2 est 0,307, celui de - sera — 0,307.
De cette façon un nombre quelconque a un logarithme, car, soit ce nombre, soit son inverse sera très approximativement contenu dans la progression géométrique.
297. — Logarithmes décimaux. — De la définition qui précède 1l résulte qu’il y a une n/inité de systèmes de logarithmes, car on peut prendre arbitrairement g et r.
On démontre qu'il est possible de choisir q et r de facon que le logarithme de 10 soit 1.
Nous l’admettrons.
Ce système de logarithme est dit système des logarithmes décimauæ ou logarithmes vulgaires.
Dans ce système on a :
