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Or, d’après ce que nous avons dit {n°5 210 et 211), la différence d entre deux termes consécutifs dans les deux progressions, peut être rendue aussi petite qu'on voudra; donc les termes g"*! et g" différent très- peu l’un de l’autre, et il en est de même de leurs logarithmes {m1} el mr.
Ainsi, le logarithme approché de A sera (m+1)r ou mr.
En général, le logarithme d’un nombre non compris dans la progression géométrique est la iimite commune vers laquelle tendent les logarithmes des deux termes entre lesquels est compris le nombre donné, lorsque le nombre des moyens insérés augmente indéfiniment.
Propriétés des logarithmes.
214. 1e Propriété. Le logarithme. d’un produit égale la sonne des logarithmes des facteurs de ce produit. Soient les progressions :
Lit ri Prat, +0.r.9r.38r.4r.5r.6r....nr.
Considérons dans la première progression deux termes quelconques, q* et g°, dont les logarithmes sont respectivement 4r et Gr.
Le produit de g‘ par g° est q'° (n° 19), et se trouve dans la progression géométrique , puisqu'elle contient toutes les puissances de la raison, La somme des deux logarithmes est 4r+6» ou 10», et se trouve aussi dans la progression arithmétique , puisqu'elle renferme tous les multiples de la raison ; or (n° 208, 30), le terme 10» correspondra à g!°, donc il en sera le logarithme.
De même le logarithme du produit g5 x q° x q° sera 3r+dr+8r, ou 16».
En général, soient q”, g", q", trois termes faisant partie de la progression géométrique, et mr, nr, vr, leurs logarithmes. Le produit g"xg" xq" ou g"t"i" se trouve dans la progression géométrique; la somme des logarithmes mr +nr—+uvr ou UR+R+v)" se trouve aussi dans la progression arithmétique ; or, le terme {m<+n+v)r correspondra à grey [no 208), donc il en sera le logarithme.
Done log." X q" X q" = log. g" +- log. g* + log. q”. De même log. abc... = log. a + log. b+ log. c.…
hi :
215. 2% Propriété. Le logarithme d'un quotient égale le logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.
Soit le quotient des : ‘ !
On à: q.B=A, è
et, d’après la première propriété, log. q+log.B—log. A,
d'où log.g ou log. À —10g. A — log. B.
216. 3 Propriété. Le logarithme d'une puissance d'un nombre égale le logarithme de ce nombre multiplié par l’indice de la puissance.
Ona,eneffet, A’—AXAXAXAXA,
d'où log. A°—log. A+ log. A+ log. À + log. A log, A—5 log. A. En général, log. A" —n log. A.
217. 4° PROPRIÉTÉ. Ze logarithme d'une racine d'un nombre égale le logarithme de ce nombre divisé par l'indice de la
racine.
— 3 — | Soit R— VA ; à d'où R°=AÀ ;: Fi ®
et, d'après la troisième propriété, 310g.R—log. A,
d'où log. R— 2e A,
En général, log. A — DEA :
218. Remarque. L'application des propriétés que nous venons d'établir simplifie beaucoup les calculs, et permet de remplacer une multiplication par une addition, une division par une soustraction, une élévation de puissance par une multiplication , et une extraction de racine par une division.
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ous venons remplacer ï une souslication , et
Des logarithmes vulgaires.
219, De la définition du n° 207, il résulte qu’il y a une infinité de systèmes de logarithmes , et que, dans tous ces systèmes, le logarithme de 1 est 0.
On appelle base d’un système de logarithmes le nombre qui a pour logarithme 1 dans ce système.
L’inventeur des logarithmes, le baron écossais Néper ou Napier, partait des progressions
Lila) (Hat stats do) (AL), +0, CP CES RE CO
dans lesquelles « est une quantité très-petite; le système ainsi formé prit le nom de logarithmes népériens ou hyperboliques. La base de ce système est un nombre incommensurable désigné par la lettre e, et dont les vramiers chiffres sont 2,718 281 828...
220. Les logarithmes vulgaires où de Briggs, plus commodes pour les calculs pratiques que les logarithmes népériens, ont pour base le nombre 10 et sont définis par les progressions
UNS TR UN Re Te ES n.
Dans ce système, on voit : 1° que le logarithme de 10 est 1, celui de 100 est 2, celui de 1000 est 3.....; en général, celui de 10" est n: a
20 Que tout nombre compris entre 1 et 10 a son logarithme plus grand que zéro et plus petit que 1: que tout nombre compris entre 10 et 100 a son logarithme plus grand que 1 et plus petit que 2; que tout nombre compris entre 100 et 1000 a son logarithme plus grand que ? et plus petit que 3, et ainsi de suite; d'où il résulte que le logarithme d’un nombre plus grand que 10 est composé d’une partie entière nommée caractéristique, et d'une partie décimale appelée Mantisse par les Allemands, On voit, de plus, que la caractéristique contient autant d'unités que le nombre a de chiffres à sa partie entière, moins un; de sorte que la valeur absolue de la caractéristique indique le rang que les plus hautes unités du nombre occupent à gauche des unités simples.
221. Le logarithme d'un nombre 10 fois, 100 fois, 1000 fois, etc., plus grand ou plus petit qu'un autre, a la méme partie décimale que le logarithme de cet autre. et n’en diffère que par la caractéristique.
En effet, pour multiplier un nombre par 10, par 100, par 1000, etc., il suffit d'ajouter au logarithme de ce nombre les logarithmes de 10, de 100, de 1000... lesquels n'ont point de partie décimale, Donc, le logarithme du produit ne diffèrera de celui du multiplicande que par la caractéristique.
De même, pour diviser un nombre par 10, par 100, par 1000..., il suffit de retrancher du logarithme de ce nombre les logarithmes de 10, de 100, de 1 000..., lesquels n'ont point de partie décimale, Done, le logarithme du quotient ne différera de celui du dividende que par la caractéristique.
Il résulte de cette propriété que deux nombres qui ne diffèrent que par la place de la virgule ont des logarithmes qui ne diffèrent eux-mêmes que par la caractéristique.
