partie d’une orrespondant ane progresterme de la nbre corres

à définir les ans les deux terme un, ct

re EE era Da er

Par définition, 0 est le logarithme de 1, » celui de 4, 2 celui de g*, 8r celui de g°....., nr celui de q".

208. On voit: 1° Que la progression géométrique renferme toules les puissances de la raison ;

2° Que la progression arithmétique contient {ous les mule tiples de la raison ;

3 Que le nombre qui sert d'exæposant à un terme quelconque de la progression géométrique sert de coefficient au terme correspondant de la progression arithmétique.

209. D'après la définition donnée n° 907, les nombres qui font partie de la progression géométrique seraient les seuls qui auraient un logarithme. Mais si l'on insère un très-grand nombre de moyens géométriques entre les différents termes de la première progression et un méme nombre de moyens arithmétiques entre les différents termes de la seconde, Chaque moyen de la progression arithmétique sera aussi le logarithme du terme correspondant de la progression géométrique. Nous allons démontrer qu'on peul insérer un nombre assez grand de moyens pour que les termes des deux progressions croissent par degrés insensibles, et diffèrent les uns des autres d’une quantité aussi petite qu'on voudra.

210, Soit à insérer m—1 moyens géométriques entre deux termes consécutifs quelconques k et / d'une progression dont la raison est q.

On à (n° 203), en appelant q' la raison de la nouvelle progression, p=ili.

Si nous désignons par « un nombre très-petit, 1—-« diffèrera m très-peu de l'unité; alors, pour que q' ou sa valeur va soit moindre que 144, il suffit de résoudre l'inégalité nm :

VIT { Ts q = ( { - % }n ù ou (l+a">g.

Ur, quelque petit que soit «, on peut prendre m assez grand pour que (142 soit plus grand que q (n° 197). Done, pour

cette valeur de #7 qui rend A+a">g, et pour toutes les valeurs supérieures, q' sera plus petit que 1—4, La raison q' différant très-peu de l'unité, un terme quelconque diffèrera très-peu Au précédent.

211. Soit maintenant à insérer m—1 moyens arithmétiques entre deux termes consécutifs quelconques k et ! d'une progression dont ja raison est ».

On aura (nv 192), en appelant + la raison de la nouvelle progression :

d'où

Donc, pour cette valeur de # et pour toutes les valeurs supérieures, »” scra plus petit que 2; la raison +’ étant trèspetite, un terme quelconque diffèrera très-peu du précédent,

Ainsi, dans les deux progressions, Les {ermes crottront par degrés insensibles. Alors, tout nombre faisant partie de la progression géométrique primitive aura pour logarithme eæact le nombre correspondant de la progression arithmétique ; on regardera comme valant 9, 3, 4,5, etc., les nombres de la nor progression géométrique qui approchent le plus de 2, de :

4, de 5,etc., et les nombres correspondants de la progression arithmétique seront leurs logarithmes approches.

Donc, tout nombre positif a son logarithme exact ou approché.

212. On peut d'ailleurs démontrer que ce logarithme approché est donné avec telle approximation qu'on voudra; car, en appelant q"*! et g”" deux termes consécutifs d’une progression géométrique comprenant entre eux un certain nombre A qui ne se trouve pas dans la progression, on aura :

q" + TETE Les logarithmes correspondants seront :

Un+ Tr et mr.

Or, d rence « sions, ] termes est de n

Ainsi.

En gé progress tendent pris le 1 augment