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Ainsi, quand on change le signe du logarithme d'un nombre donné, on obtient le logarithme de l'inverse de ce nombre; et un logarithme négatif peut être regardé comme le logarithme d'une fraction ayant pour numérateur l'unité, et pour dénominateur le nombre correspondant au même logarithme pris positivement.
TE LE mOn cer re
: 223. Les mêmes progressions montrent qu'un nombre compris entre 0,1 et 4 à un logarithme plus grand que —1, et plus petit que zéro; ce logarithme sera donc représenté par une fraction négative. De même, un nombre compris entre 0,01 et 0,1 a un logarithme plus grand que —2 et plus petit que —1, logarithme qui sera représenté par un nombre négatif ayant —1 pour partie entière. Un nombre compris entre 0,001 et 0,01 aura aussi un logarithme négatif dont la partie entière sera —9, et ainsi de suite.
224. L'introduction dans les calculs de logarithmes entièrement négatifs serait presque {oujours une complication; pour l'éviter, on rend positive la partie décimale du logarithme, la caractéristique seule reste négative.
À Soit le logarithme négatif —92,698 97.
On peut écrire, en retranchant et ajoutant l'unité , — 2,698 97 ——3+(1—0,69897).
Effectuons la soustraction indiquée dans la parenthèse —9,69897 — —3,+30103 ou 3,30108.
De même, le logarithme négatif —0,4867% peut s'écrire :
— 0,486 7% = —1+11—0,48674) ou 1,51396.
Donc, pour rendre positive la partie décimale d'un logarithme entièrement négatif, il faut ajouter —1 à la raracléristique et +1 à la partie décimale du logarithme proposé, puis retrancher de À cette partie décimale. Le signe moins qui affecte la caractéristique seule, se place alors audessus de cette caractéristique.
229. Il résulte de là et de ce qui a été dit au n° 223, que le logarithme d’un nombre plus petit que 1 a une caractéristique négative dont la valeur absolue indique le rang que les plus hautes unités du nombre proposé occupent après les unités simples.
226. RemanQuE. Dans la confection des tables, on n’a pas calculé les logarithmes des nombres plus petits que 4, ni ceux des nombres fractionnaires; car on peut obtenir ces logarithmes d’une manière indirecte.
Ainsi, pour avoir le logarithme de 0,625, on multiplie et on
Lan divise ce nombre par 1000, et on a To0:
D'où (n°215) log. 1000 = 108. 625 —log. 1000. log. 625— 9,795 88
log. 1000—3,00000
Donc log. 0,625—1,795 88.
227. Les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes; car la progression géométrique qui sert à définir les logarithmes vulgaires n'a aucun {erme négatif,
Les termes de la progression géométrique indéfiniment prolongée vers la gauche devenant de plus en plus petits et tendant vers zéro, leurs logarithmes négatifs grandissent sans cesse en
valeur absolue et tendent vers l'infini; d’où l’on conclut que le logarithme de zéro est —.
228. Lorsque, d'un logarithme, on a à retrancher un autre logarithme, on peut remplacer la soustraction par une addition; il suffit d'ajouter au premier logarithme le second préalablement
transformé.
TT. = : 5 El Soit à calculer l'expression g» qu'on peut écrire 5 x gr On a:
log. & = 108. 1— log. 8—0-—0,908 09; Ce log. négatif, transformé comme il a été dit au no 224, devient 1,09691. Il suffit maintenant d'ajouter au logarithme de 5 le logarithme 1,09691.
Ce logarithme, qui a la même valeur que le logarithme nérÈ
mais à cause de la transformation opérée, il est appelé le vo/ogarithme de 8.
gatif —0,90309, est, comme ce dernier, le logarithme de
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Le cologarithme l'un nombre est done le logarithme de l'inverse de ce nombre, dont on a rendu posilive la partie décimale.
229. Le logarithme d'un nombre étant donné, pour obtenir directement son cologarithme, on ajoute 4-1 à la caractéristique, et on la change de signe, puis on prend le complément à 1 de la partie décimale.
Ce complément à 1 s'obtient en retranchant de 9 chacun des chiffres de la partie décimale, eæcepté le premier chiffre significatif à droite, qu'on retranche de 10.
Avec un peu d'habitude, ce complément se lit immédiatement sur la table de logarithmes pour tous les nombres qu'elle renferme.
MS MST Ru
ExEPLes. Log. 8=—0,9030); log. 625—9,79588 ;
log. 0,005 — 3,698 97 :
colog. 8—1,09691.
colog. 625 = 3,20419.
colog. 0,005 = 2,301 03.
w Des tables de logarithmes.
230. Il existe différentes tables de logarithmes; les unes, appelées grandes tables, donnent les logarithmes des 100000 ou des 108000 premiers nombres avec 7 décimales: en France, celles de Callet sont les plus usitées. Les autres, nommées peites tables, renferment les logarithmes des 10000 premiers nombres avec 5 décimales; et, bien que ces dernières donnent une approximation moins grande dans les calculs, elles sont cependant plus usuelles que les premières.
Dans toutes ces tables, des colonnes spéciales contiennent les différences qui existent entre les logarithmes de deux nombres consécutifs. Une disposition plus heureuse, imaginée par MM. Bourget et F. René *, consiste à supprimer ces colonnes et à les remplacer par les deux ou trois différences qu'il ya entre les divers logarithmes d'une même page, et qu'on écrit alors au bas de cette page; de cette manière, le texte est moins chargé et la lecture ést beaucoup plus facile. Certaines tables, celles de Dupuis, de Houël, ete., ne donnent pas les caractéristiques : c’est une simplification, car la seule inspection d'un
* nombre fait connaître la partie entière de son logarithme (n°5 220 et 9YK
* Table de logarithines à 5 décimales, in-18: chez Blériot, quai des Grands. Augustins, 55, à Paris.
190 ÉLÉMENTS D'ALGÈBPE
231. Pour se servir avantageusement d'une table de logarithmes, il faut savoir résoudre les deux questions suivantes :
1 Trouver le logarithme d'un nombre donné :
2 Trouver le nombre qui correspond à un logarithme donné,
Trouver le logarithme d'un nombre donné.
Nous supposons qu'on a les petites tables à 5 décimales,
10 Cas. Le nombre est dans les tables. Alors on lit immédiatement le logarithme correspondant,
Ainsi on voit que le log. de 6843 est 3,830 25,
De même le log, de 6,848 est 0,83525; car il ne diffère de celui de 6843 que par la caractéristique {n° 221),
2° Cas. Le nombre n'est pas dans les tables, On détermine d'abord la caractéristique n°220 et 225), puis on divise ce nombre par 10 ou par 100, ou par 1000, etc., de manière à avoir un nombre entier, et le plus grand possible, compris dans la table: enfin on cherche la partie décimale du logarithme du nombre ainsi divisé, en tenant comple des différences tabulaires.
Soit à calculer le logarithme de 24647.
Ce nombre ayant cinq chiffres, la caractéristique de son logarithme est 4.
Divisons 24647 par 10, ce qui donne 2464,7.
Cherchons dans les tables la partie décimale du logarithme de 246%, on trouve 0,391 64.
La différence tabulaire entre les logarithmes de 2464 et de 2465 étant 18 unités du cinquième ordre, on dira, en regardant les accroissements des logarithmes comme étant sensiblement proportionnels aux accroissements des nombres :
Pour 1 entier de différence dans les nombres, il y a un accroissement de {8 dans les logarithmes: pour une différence de 0,7
dans les nombres, il ÿ aura un accroissement de æ dans les logarithmes.
ED ou T ==
d'où æx—13, à une unité près du cinquième ordre, On ajoute À]
ces 13 cent millièmes à 0,39184 etona 1,39177 pour le logarithme de 24647,
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La diff étant 9 Pour 1 mentatioi 0,33 dan:
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Soit encore à trouver le logarithme de 0,047 8533, a Caractéristique du logarithme sera 2 {n° 295),
Mettons la virgule après le chiffre 5,ona: 4 785,33.
Le logarithme de 4785 a pour partie décimale 0,67988.
La différence entre les logarithmes des nombres 4783 et 4786 étant 9 unités du cinquième ordre, on dira :
Pour 1 entier de différence dans les nombres, il y a une augmentation de 9 dans les logarithmes ; pour une différence de 0,33 dans les nombres, il y aura une augmentation de æ dans
les log. E ds
es
ou
on trouve, à une unité près du cinquième ordre, œ@==9, etlog. de 0,0478533 est. . . 9,67991,
Dans certaines tables, le calcul des parties proportionnelles est effectué et se trouve indiqué dans une colonne spéciale.
