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$ III. — Intérêts composés.
237, Une somme est placée à inféréts composés, lorsque, chaque année, l'intérêt rapporté s'ajoute au capital pour produire
k des intérêts l'année suivante. ‘4 - Appelons a, un capital placé. + « r, l'intérêt annuel d’un franc ou le e du taux. « n, le temps, , « A, le capital augmenté de ses intérêts.
1 franc devient en un an. A+, a francs deviendront « fois plus ou al+r).
Ainsi, en multipliant un capital quelconque par (1+7), on trouve ce que devient ce capital au bout d’un an.
al1+») est le capital qui devra produire des intérêts pendant la deuxième année; ce capital deviendra à la fin de ladite année
a{{+r)(1br) ou a(f+r}.
De même, a+} étant le capital qui doit produire des intérêts pendant la troisième année, ce capital deviendra à la fin : de ladite année ; a({+r)P(1+r)
: ou al+r,
Ée et ainsi de suite.
è Donc, après n années, la valeur A du capital augmenté de ses À intérêts composés sera
A—ali+r}". (1)
238. Telle est la formule générale des intérêts composés ; elle renferme quatre quantités variables : A, a, n'et »; trois de ces quantités étant connues, on peut calculer la quatrième. Pour isoler «a, il faut diviser les deux membres par (1+7)", et on trouve
A re (2)
Pour isoler », on divise par «a les deux membres de l’équation (1), et on prend la racine n°"° du quotient; il vient
d'où ; : (3)
Enfin, pour isoler n, on emploie les logarithmes et on écrit Log. A—log. a+-nlog. (14),
d'où n=—2 : 4) 19 log. (1+7) :
Toutes ces formules sont calculables par logarithmes. Lorsque le logarithme de (Î+r) doit être répété n fois (n étant ordinairement compris entre 1 et 100), il est bon de le prendre avec huit ou neuf décimales; car, dans les tables, le dernier chiffre n'étant qu'approché, le produit du log. par n pourrait rendre l'erreur considérable ; alors, après avoir multiplié par n le log. de (1+>), on ne conserve au produit que cinq chiffres ou sepl chitfres décimaux, suivant les tables dont on s’est servi, et l'on a soin de forcer le dernier, si le chiffre qui suit est plus grand que 4.
APPLICATIONS. Â0 Trouver ce que devient une somme de 40000 fr. placée à intéréts CoOmposés à 4,5 p. /, pendant 12 ans.
La formule (1) donne :
Log. 40000 —4,60206 +12 log. 1,045—0,2290
Log. A—4,83146, d'où A—67835,7.
2. Quel est le capital qui, placé à intéréts composées et à 9 p. 1/, pendant 10 ans, est devenu 12640 fr. ? La formule {2) donne :
12640 (1,05 70° Log. 12640— 4,101 75 colog. (1,05 )°—1,78811
Log. A—3,88086, d'où a—7
(4 ro)
3 Une somme de 10000 fr. placée à intérets composés est devenue 20360 fr, après 15 ans : à quel taux a-t-elle été placée ?
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