R mois; aloi
et on écrit
(4) es. Lorsque étant ordirendre avec ier chiffre rait rendre r n le log.
‘es ou sept "vi, et l’on plus grand
omme de , pendant
osés et à
)OSéS est elle été
= 1/70 20360 10000 Log. 20360— 4,308 78 Log. 10000—4,00000
La formule (3) donne :
Ep freres Emecmonrere
Différence
mr 2
correspondant à 1,049,
par excès, d'où
et par suite le taux est
4° Une somme de 10000 fr. ue à intéréts composés à
4,5 p. °/, est devenue 67835 fr.T : pendant combien d'années a-t-elle été placée? .
La formule (4) donne:
log. 67835,7— log. 40000
ie log. 1,045 Log. 67 835,7 — 4,831 46 Log. 40000 —4,60206
Différence —0,22940, qu’il faut diviser par , log. de 1,045. On trouve pour quotient 12 ans.
90 Combien faut- -il de temps pour qu'une somme placée à intérêts composés et à 5 p.°/, soit doublée?
Si dans la formule (1) on fait A—%a, il vient: 2a=a(l+r" où 2—/1+r.
Log.2 —nlog.(1+7), d'où n—, 08.2 __0,30103 log. 1,05 0,02119°
En effectuant la division, on trouve un peu plus de 14 ans.
240. REMARQUE IL. Souvent l'intérêt se capitalise tous les six mois; alors, dans les formules, 2% représente le nombre de se-
ee : | " ; mestres écoulés, et », le 100 du taux pour six mois. Les for-
mules prennent dans ce cas les formes suivantes :
) an JA J— V A — l ,
APPLICATION, Trouver ce que devient un capital de 4000 fr. placé à intérets COmposés pendant 15 ans, à 4 p.1/,, les intérêts se capilalisant tous les 6 morts.
On a: A=—4000(1,02)", d'où A—=7245 fr. 50.
241. REMARQUE IL. La formule (1), page 197, suppose que » exprime un nombre entier d'années. S'il n’en est pas ainsi, on calcule généralement ce que deviendra le capital augmenté de ses intérêts à la fin des n années, puis on cherche les intérêts
simples que rapporte pendant la fraction d'année le capital ainsi augmenté.
Appelons x le nombre d'années, f la fraction d'année . » étant toujours l'intérêt de 1 fr. en un an.
À la fin des » années, le capital sera devenu
air).
L fr. rapportant » en un an, rapportera f» en un temps /, et
le Capital a{1+r})" rapportera dans le même temps : all+r} x fr.
Donc A=a(1+r}" Hall) x fr,
Mettons a+)" en facteur commun, A=a(i+r} (1 fr)
La for ou a; € est », C périeur encore |
En eff
d’où
Sinou du secol reste :
Portant
Ainsi.
d'années lement |
PRoBI année la popu
Soien
* Voir
is. Les for-
le 4000 fr.
,,» Les inte-
)0Se que x s ainsi, on gmenté de es intérêts \pital ainsi
ée. r étant
mps /, et
La formule :5) s'applique sans peine lorsque l’inconnue est A
ou a; elle est d'une application moins facile lorsque l'inconnue i “fl & N est », car elle fournit généralement une équation d'un degré su- AE! NW périeur au second *; enfin, lorsqu'on cherche le temps, on peut oi &, à encore l'appliquer, bien qu'on ait alors deux inconnues. AU : En effet, on a : wi
Log. A=log. a+ n log. (1+r)+-log. (1 + fr).
ue __log. A—log.a log.{1+/f7) d'où = Ge. (Er) — log. (Î-Lr) :
Si nous effectuons la division indiquée dans la première partie du second membre, on aura, en appelant g le quotient et R le
reste :
4 log. A—log. a R
: log. Er) To UEr) “ Portant cette valeur dans l'équation (6), il vient :
. R RE og Ar)
Or n et q sont entiers par hypothèse, UE et o°
RTE, sont des fractions, car 1+fr est plus petit que
{+r: on aura donc (n° 133):
= R = log. (+ fr) gr log. (+) log. (1Er) * d'où R=—log. (1—+fr).
Ainsi, la partie entière du quotient donne le nombre exact d'années, et le reste est le log. de 1+4-fr), d’où on tire facilement la valeur de /.
Pate d
PROBLÈMES : 1° Une ville voit sa population croître chaque année du cent vingtième: on demande dans combien de temps la population sera doublée.
Soient p la population,
le rapport exprimant l'accroissement annuel,
n le temps, la population finale après # années.
* Voir le renvoi de la page 205.
Après un an la Population sera y plus l'accroissement p} : st
ou p+f, ou P(1+%), ou PAPE).
m UD
% Far in 1 Ainsi, en multipliant par E
la population au commen-
cement d'une année
» On oblient ce qu'elle sera à Ja fi année,
n de cette
Après 2 ans la population sera :
