Lor elles s’acq iuant chat ment d’un fonds
Cette op
Amortir fain nombr
Appelon:
Le capite
La prem rapportera viendra
La secon rapportera viendra
La troisit
et ainsi de nîme année
Celle qui
et la dernià
ici m—5, n—15; et la formule (4) devient : 4 ;
ADO L04)(L,OU—AT où 191815.
intéréls com- 91 ans ?
est fait le jour ncement de la ent de la vingt-
Amortissement.
244. Lorsqu'une compagnie, une ville, etc., ont fait un emprunt, elles s'acquittent généralement de la dette contractée en effeciuant chaque année, pendant un temps déterminé, le versement d’une annuité, entre les mains de celui qui à fourni les fonds.
Cette opération porte le nom d'amortissement.
Amortir une dette, c'est done l'acquitter au moyen d'un certain nombre d’annuités.
années après ime il suit :
m années et
Appelons A un capital emprunté,
lannuité à payer pour amortir ce capital, * l'intérêt annuel de 1 franc,
n le temps.
EN
Le capital À deviendra après » années A(l+r).
La première annuité, payée à la fin de la première année, rapportera des intérêts composés pendant n—1 années et de-
viendra a(1br}-1,
La seconde annuité, payée à la fin de la deuxième année, rapportera des intérêts composés pendant n—2 années et de-
viendra a(1+r)t-2, La troisième annuité deviendra pareillement a(1+r)r-3,
et ainsi de suite, de sorte que l’annuité payée deux ans avant la n% année deviendra a(1+r},.
Celle qui est payée un an avant la nt" année deviendra
et la dernière annuité n’aura que sa valeur a.
inuité devien-
hr}tn-t, le progression et le nombre
ès le poème ef le constituer
ndant 15 ans atal aura-t-il
208 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE Mais alors la dette est payée; donc la somme de toutes ces annuités augmentées de leurs intérêts composés doit valoir All, d'où l'équation
A(læ+r)=a+atr) Hat Lrf attirant
Le second membre de cette équation est la somme des termes d'une progression géométrique croissante dont le premier terme est a, et la raison (1): cette somme est égale à
a[{{Lypit 11 « - :
qe, OÙ —[(1-nt— 1], Er1 9 pti =
et l'équation devient
A(t—Hr}==[({r) 11 doû __Ar(fbyr ( ARE
Telle est la formule générale de l'amortissement; elle renferme quatre quantités variables, A, «, » et », qu'on peut isoler facilement, excepté cependant ». qui est donnée ordinairement par une équation d’un degré supérieur au second *.
Si on isole À, il vient :
Si on isole », on trouve successivement :
Ar(lbrh=a(t{ rh a, Ar rat Lr—=—a,
({+r)}(Ar—a)=—a,
nlog.(1+r)+log.(a—Ar)=log. a,
* Lorsque » est l'inconnue, on fait des essais successifs, comme il a été dit au renvoi de la page 205, On facilite ces essais en mettant l'équation (1) sous la forme
d'où
Dans rieure à aisé de |
En eff a—Ar logarith:
de A.
ce qui pi simple di
1° App OÙ «le È Ps / nuîlé doi
La forn
On a d’,
Pour le
et par sui
IV® PARTIE. — PROGRESSIONS, LOGARITHMES, ETC. toutes ces an-
valoir
= __ log. a—log.(a— Ar) 2 vue d ou n— 10g. { Ir) L \ ù) 4 ü
Dans toutes ces formules, l'annuité « est évidemment supérieure à l'intérêt simple de la somme empruntée; il est d'ailleurs aisé de le démontrer.
En effet, dans l'équation (3) il faut que n soit réel; par suite, a— Ar doit être positif, car les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes; donc a est plus grand que Ar, intérêt simple de À.
…Q(1pit tt
ne des termes Premier terme ile à
Si a—Ar, la même formule (3) devient :
— log. a — log. 0 __log. a—(—o) — dog (Tr) log [TEr)
,— log. a+
0 PI pr) = 20
ce qui prouve que si l’annuité servie égale seulement l'intérêt
elle renferme simple du capital, l'amortissement est impossible.
eut isoler fardinairement
1° APPLICATIONS. Une commune emprunte 30000 fr. au taux de 4 p./, et veut amortir cette dette en 20 ans : quelle annuilé doit-elle payer ?
La formule (1) donne :
Se 50000 X 0,04 {1,04 20
ENT ES ne
On a d’abord pour le numérateur :
Log. 50000 — 4,698 97 Log. 0,04 —92,60206 20 log. 1,04 —0,34067
nn |
Log. du numérateur 3,04170.
Pour le dénominateur, on a :
nme il a été dit uation (1) sous
20 log. 1,04—0,34067, d'où (1,04°—92,1911, el par suite la valeur de (1,041 est , . 1,1911
Log. 1,1911—0,07595,
Retranchant ce logarithme de celui du numérateur, on a:
Log. a—3,56575,
d'où a=3079 fr. 95 c.
20 Une commune qui peut disposer pendant 24 ans d'une somme de 8000 fr., demande quel capital elle doit emprunter à à p. °/, pour que ce capital soit amorti au bout de 24 ans.
La formule (2) donne :
En effectuant les calculs, on trouve A—110387 fr.
