Qua diminuer encore le
En effet
on obtient
ou, en réd
Done...
té supjuantité
pport , ideurs
ne les > l'on
ports.
ralité
It les eme tion icun JS,
> de
pat
On énonce ordinairement cette propriété fondamentale en
disant que le produit des extrémes égale le produit des moyens.
56, Réciproquement. Deuæ produits éjaur peuvent étre mis sous la forme de deux rapports égaux et former une pr'oportion.
En effet, les produits égaux ad be deviennent, en divisant les deux membres par bd et simplifiant,
ad be on di bd bd ? ; ete
57. Quand on a deux rapports égaux on peut : 4° ‘ntervertir l'ordre des extrémes: 2 intervertir l'ordre des moyens : 3 mellre les extrêmes à la place des moyens, et, dans chacun de ces cas, on a encore deux rapports égaux.
Soient les rapports égaux
On peut écrire :
PER ge 0 Cr b« Ha dd) eh) 4
car sous toutes ces formes, on a toujours deux produits égaux «td= be, où une proportion (n° 56),
*. Û : « (42 C La dernière forme, comparée aux rapports donnés FT: prouve que, lorsqu'on à deux rapports égaux, on peut les ren-
verser el on à encore des rapports éqauæ.
58. Quand on a deux rapports égaux on peut «usinenter ou liminuer chaque numérateur de son dénominaterwr
el on « encore (les rapports égaux.
En effet, si Fe)
on obtient, en ajoutant ou retranchant 1 aux deux membres :
ou, en réduisant en une seule fraction chacun des deux membres, asE0 0dEt
=; Done...
56. Deuæ rapports égaux multipliés ou divisés respeclivement par deux autres rapports égaux donnent encore deuir
rapports égqaur.
c ( m 40 Soient MS Gt ee, bb « n S
Appelons 4 la valeur commune de chacun des rapports égaux
m , ; el , et posons
n 8 (4 (n P 4 ? s Les rapports et étant égaux, le seront encore apres qu’on les aura multipliés par une même quantité q. « C D où 2 Eee À / Donc... 54=Q1
et en remplaçant g par Sa valeur
am cr de M CN —=7, OU = x. Donc...
bn — «ds D SP DES : de C m 90 Soient 1=7 et ei:
En divisant membre à membre ces égalités on à encore une égalité, Donc...
LA C b d ; mr
60, Quand on a plusieurs rapports égauæ, la sonime ou la différence des numéraleurs et la somme ou la différence des
dénominateurs forment'un nouveau rapport égal à chacun des
premiers.
En effet, les rapports He 57 étant éga 0 "ul in effet, les rapports T=57=7 €lant égaux, n peu supposer que la valeur de chacun d'eux soit g et écrire : «d € nn
DE Fan 1 il IE, d'où on tire :
A = bq à cg;
DE
Ne
ajouta
divisa
Si « avait trouvé
ü1, rater r'ence naleu
Si on à
Deu entre «
62, ; de las la som r'A1pPOI
Soie Ces ra] aura !
appliq
d'oût er
| respeclivencore deucr
pports égaux
encore aprés
Donc...
a encore une
sonime où la différence des Là chacun des
Lux, on peut
crire :
ajoutant membre à membre ces trois égalités, on a : a+c+m=bq+dq+ng où qg(b+d+n); divisant les deux membres par b+ d+n, il vient : a+C+m «a C m 4 betbn The 0e Fe Si au lieu d'ajouter membre à membre les trois égalités on
avait retranché les deux dernières de la première, on aurait trouvé :
Cm (t
TL beton "1" bd on"
se
61. Lorsqu'on a deux rapports égaux, la somme des numé- 'aleurs divisée par la somme des dénominateurs égale la diffé-
rence des numérateurs divisée par la différence des dénominaleurs.
se (l C Si 1er
on a {n° 60)
L A+ € ( A0 a ET el bd" 6 Deux quantités égales chacune à une troisième étant égales entre elles, on peut écrire :
Donc...
62. Lorsqu'on a plusieurs rapports égaux , la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs et la racine carrée de tt la somme des carrés des dénominateurs forment un nouveau rapport égal à chacun des premiers.
: a C m (OI += —, Soient G- 4 nn Ces rapports étant égaux, leurs carrés seront aussi égaux, el on
a? c? mm?
aura : D 4
a+ Cm? € B+ + ni PT dE?
d'où en prenant la racine carrée TRE
Va?+ ce? + on? C0 \ Fe É MERS 0 «
30 ÉLÉMENTS D'ALGÈHRE
63, Ilest bon de remarquer qu'en algèbre on représente :
mettons 1° Un nombre pair quelconque par 9n : Car, quelle que soit
la valeur de n supposée entière, 2» sera toujours un mul-
ï tiple de 2; ..
û 2 Un nombre impuir par 2n+4-1, x étant en entier ; 4 Le triné .s 3 Une quantité essentiellement positive par +; car, quelle TEE | | k que soit la valeur de X, son carré sera toujours positif: on pe $ # Une quantité essentiellement négative par —}?,
| ü4, Une quantité essentiellement positive est appelée en al- divisons #
j gèbre un carré, attendu que sa racine existe, et que, s'il n'est pas possible de la trouver exactement » On peut cependant l'obtenir avec telle approximation qu'on voudra,
3, Sn ? M Applications, on peut {, 1 b “ ee (A l «l 4 1° Diviser | + mn Par +:
Î ‘ [Ts D l réduisons ces fractions au même dénominateur |: mettons | a numérat + L" cr A Er V4 a j ie à diviser par ds ; [#42 a" À mulliplions la fraction dividende par la fraction diviseur ren- remplace ’ versée ; - ; dE ) LH) ] aa Ta) ? { Supprimons le facteur :r* commun aux deux termes D “iso l LL 4 T+u | } —— ; = chassons h La division de a+ Par +4 aura un reste représenté Par (—a+ a, ou zéro (no 43, 40), Effectuant la division On trouve pour quotient : n L ù ;) nt ; : tal Au l Î divisant { Û CL — URL +0? A . < : ! 4 Den 20 Simplifier l'er ression :
ARE l =. à toutes les Ga + ab? :
Cap à à e EE . æ op divisons les cinq fermes par ab?, JA —6a+-3 :
® donc a —1 ’ É
l'O PARTIE, — CALCUL ALGEBRIQUE sente :
le que soit
mettons 3 en facteur commun au numérateur,
s un mul Da — 30 +1 | 1 er: D Le trinôme «*—2%4+1 est le carré de a—1, et le binôme car quelle æ ‘“‘—1 est le produit de ‘a+ l(a—1) no 80), , .
tif: On peut donc écrire ) 3(a— |) a (a+ l)(a—1) lée en al- divisons les deux termes par «—1, on trouve :
, S'il n'est
d(a— | dant l'ob-
(l un |
Nil Simplifier l'expression
a De + ab?
on peut écrire :
ob > ab + nb?
Le L. . s. gas s CO ah = — 0 = ab:
(ba (4.24) mettons en facteur commun b pour les deux premiers termes du numéraleur et «4 pour les deux derniers, be) +ab(b—a).
(b—a)(h+%a > eur ren- FE remplaçons 4? 4? par (b+a)(b—a, b(b+a)(b—a) +ab(b—a), b—a (b+ a divisons le numérateur et le dénominateur par L—«, bib+a)+ab.
he chassons la parenthèse, résenté à P BÆab+ab +200 ou +2 b+94 2 b+9a ? b Ya divisant {out par b+-2%4 on trouve b pour réponse ; # Démontrer que l'expression n°—n sera divisible par 24 toutes les fois que n représentera un nombre ümpair. n'—n est la même chose que n(n°—1 :
ei or
n— 1 — (9 + L}(n— l;, done
Mais puisque n est impair, »—1, n, »+1 représentent trois nombres consécutifs dont le premier et le dernier sont pairs ; et l’on sait que si on a trois nombres consécutifs dont celui du milieu est impair, un de ces nombres est toujours divisible par ?, un autre l’est par 4 et le nombre impair est divisible par 3, ou, s’il ne l’est pas, un des deux nombres pairs est divisible par 6. Donc n°» est divisible au moins par 2X3%X4 ou par 24,
90 J'aire vor que si un nombre pair est la somme de à carrés Sa Mmoilié est aussi la somme de 2 carrés (proposé dans l'arithmétique de Joseph Bertrand).
Soit 22 un nombre pair;
Soient aussi » et Mm+d deux nombres dont la somme des Carrés m°+ {in +} égale 2», on pourra écrire :
Qn = m?+ ME + + din.
9 72 2 = din? + 24m + ;
prenons Ja moitié des deux membres
N=m+dmMm+, A
Fa TE
Ge
ou n = ( M + dm +
û d? ; dl TE ÿ OÙ m?+ dm + 7 €St le carré de m+,, et >» (Celuide 4 4 :
Donc
Ainsi x, moitié de 2n, égale la somme de 2 carrés.
Si l’on remarque que ‘ est la différence des deux nombres Mm+d et m, on Pourra dire que n est la somme des carrés de deux nombres dont l’un est la demi-différence des nombres dont le carré est donné, et l’autre égale le plus petit de ces mêmes nombres augmenté de leur demi-différence.
EXEMPLE, 34 est la somme des Carrés 5? ef 3;
17 sera la somme des carrés de 5(0—53 ou 1, etde 341 ou 4.
‘eprésentent trois ier sont pairs ; et lont celui du midivisible par 2, sible par 3, ou, divisible par 6, <# ou par 24,
mme de carrés José dans l'arith-
la somme des re:
i 7 celui de 7:
arrés,
leux nombres me des carrés des nombres petit de ces
