S III

* — Résolution de deux équations d

u 1° degré à deux inconnues.

79, Pour résoudre un

Système de deux équations à deux inconnues, il faut éliminer

une des inconnues c’est-à-dire la faire

plus qu'une équation à une iné ordinaire, il y a plusieurs méthodes d'élimination :

L'é équat conni

Soi

Portor

Résolv

d'où Si dan,

Les va

Appl vant :

Trou quolier

En a} petit, Le

Sion nue dar

suppose que ormules pré-

me au pro-

al c, place

c fr, rapñ années

aura donc

nues trois er la quaient :

résoudre le. En les primé en en jours, rois cent

" degré

deux ine la faire \une in-

1° Élimination par substitution.

L'élimination par substitution consiste à tirer d'une des deux équations la valeur d'une inconnue en regardant l’autre comme connue, et à porter cette valeur dans la seconde équation,

Soit le système des deux équations. ;

DT —4y= 8, (2) L'équation (1) résolue par rapport à æ donne:

v= lv,

tn (3)

Portons cette valeur à la place de x dans l'équation (2)

pose 4 dm

Résolvant cette équati:: :; trouve successivement : 15 — 5y—19y— 94

d’où Vs Si dans l'équation (3) nous remplaçons y par 3, on trouve : ve 4

Les valeurs des inconnues sont donc : æ—=4 et y=8,

Appliquons cette méthode à la résolution du problème suivant :

Trouver deux nombres, connaissant leur somme s et leur quotient q.

En appelant æ le plus grand des deux nombres et y le plus petit, les équations seront :

T+y=s (4) . 9) Un © L

Sion isole y, c'est-à-dire si on tire la valeur

de cette inconnue dans la première équation, on trouve

a és he

en

di ; Lu 4 fie A n N 1h \ LA 1 hi Jin DL | i 14

SN

| La h M 4 HE UL Hi:

an.

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L 14 an 0 Hi” ! Ja fi

' taf MIEL” # 1 1]

Portons cette vaïeur à la place de y dans l'équation (2)

#4 en ou T=Ss]—Gr.

Cette dernière équation résolue par les moyens ordinaires donne:

T+qL=Ss 2(1+q)=sq S Mettons cette valeur à la place de à dans l'équation (3) er q+1

Multiplions et divisons s par g+1 afin de réduire ce terme au même dénominateur que le suivant.

u—= 4TS—Sq a Y = g+1 ou Y= GT Les valeurs des inconnues sont donc :

ne 04. Le qe et =:

REMARQUE. La méthode par substitution s'emploie avantageu-

sement lorsqu’une des équations donne facilement la valeur de l’inconnue à élimine», tandis que l’autre équation est compliquée.

2 Élimination par comparaison,

80. L'élimination par comparaison consiste à tirer la valeur l'une même inconnue dans les deux équations, et à égaler ces valeurs.

Soit le système des deux équations :

4 y=—5 A) oy + 8x — 39, (2) Si nous isolons æ dans chacune d'elles, on trouve : ee —D +7 32—5 ES CEA. (4)

La valeur de æ élant la même dans les deux équations, on a :

—5+y 325) À es S .

vant T' ren sur deu:

Sc sero

Isolo

En é,

Les c

uation (2)

dinaires donne:

tion (3)

duire ce terme

oie avantageut la valeur de n est compli-

irer la valeur

{ à égaler

UVE :

ces

iations, on a :

Cette équation à une inconnue, résolue par le procédé ordi-

naire, donne y= 6, Portant cette valeur de y dans l’une des équations (3) et (4), É on trouve TZ.

+ Les inconnues sont donc &=} ot =

Appliquons cette méthode à la résolution du problème suivant : :

Trouver le périmètre d'un triangle, connaissant la difference d de deux côlés, et les deux segments m et n que fait sur le troisième côlé la bissectrice de l'angle compris par les deux premiers.

Soient æ et y les côtés inconnus, les équations du problème seront (voir Géométrie, par F. P. B., n° 184) :

@—Yy= (1) Et 9 7 (2) Isolons æ dans chacune de ces équations :

2=d+7Yy (3) 0 NY !

De (4)

dn+-ny=my An=y(m—n)

F dn d' Y=— ee nn Portons cette valeur dans l'équation (3) == dn Sn A

En réduisant les termes du second membre au même dénominateur, on trouve :

ee dm—dn + dn - dm = Men 1 Ne Der:

Les côtés sont done dt: 0.

M—n M—Nn ?

ta

ie —— Fe Poxohe 0 Lt sé |

ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE et le périmètre demandé sera :

RE dm+ dan précé E Mpli m—n TM+n, mêm 1 Fran F à É ë }l rai! ou en réduisant m et n au même dénominateur que les termes opéra ï rat précédents offre #4 Hi pl dm + din + m2 + mn mn n Soi JE ji M—n Hl 3 dm + dn mn?

| M—n En: ñ | ment :

f 3 Élimination Par réduction, appelée aussi élimination ne 14) ar addition ou par soustraction. d'où P P u Cett i 81. L'élimination Par réduction consiste d’abord à ramener au donne 18 même coefficient la même inconnue dans les deux équations : À puis : — | : Soie:

"#1 1° Si l'inconnue choisie a des Signes contraires dans les deux "| termes qui la contiennent, On additionne membre à membre les SF deux équations ; .

Li 20 Si l’inconnue à des signes semblables, on retranche une Multipl s équation de l'autre. De cette manière, on n’a plus qu'une équation à une inconnue, qu'on résout par le procédé ordinaire, don soi rat à À . = AJOUu Soit le système des deux équations : M dispara DT — y—=5 (1) É 3y — 9x — 11, (2) Æ d'où Pour éliminer +, multiplions les deux membres de la première 4 ctpars par 2 et ceux de la seconde par 5; ces équations deviennent : — Qy— pe - 15y — 107 — 35 ; vant :

les termes qui contiennent æ avant des signes contraires, ad- M Conn dilionnons ces deux équations; il vient : lérence, < En ap 13y = 65 d’où y=+, Mettant cette vaieur à la place de Y dans l'une des équa- a ; ET L additionr tions (1) et (2), On trouve:

C5 = 5, d'où T=9, LE ou

15 —9r—11 » d'où æ—9,

d'où

que les termes

imination à ramener au

IX équations :

dans les deux À membre les

tranche une qu'une équadinaire.

viennent :

raires, ad-

des équa-

H° PARTIE, — ÉQUATIONS pu PREMIER DEGRÉ da REMARQUE. La méthode Par réduction est plus précédentes lorsque les coefficients d’une inco mêmes dans les deux équations, ou lorsqu'on peut, par une seule opération, rendre ces coefficients égaux ; dans tous les cas, elle offre l'avantage de ne point introduire de dénominateurs, Soient, par exemple, les équations :

DT — 4y = 30 8y +5x—90, emière de la seconde on trouve immédiate-

rapide que les nnue sont les

En retranchant la pr

ment : d’où y=5, Cette valeur mise à la place de y dans Ja première équation donne

æ—= 10, Soient encore les équations :

62 —5y ae)

Multiplions les deux membres de la seconde par 3, elle devient : 21y—67—94, (3)

Ajoutons ensemble les équations (1) et (3), les termes en > disparaissent et on a :

16y = 32 d'où DEA et par suite

Appliquons cette méthode à la résolution du problème vant :

Connaïssant $ la somme de deux lérence, trouver ces deux nombres.

En appelant æ Je grand nombre et y le petit, on a: LT+Yy=S L—y=d :

additionnons ces deux équations, il vient :

m=skt., d’où LE RL

sui-

nombres, et 4 leur dif-

in DA bh dé 9" = x

ES Lie ua

Ft Eee em me Le à

ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE retranchons la seconde de Ja première 2y=s—d,

- S—d d'où Y= 9 +

82. On voit, par les formules trouvé la somme de deux nombres et leur nombre en prenant la moitié de {a férence, et le pelit, en prenant | nue de la différence.

es, que lorsqu'on connaît différence, on obtient le grand

somme augmentée de la difa moitié de /a somme dimi-

*$ IV. — Résolution d'un no

mbre quelconque n d’éq uations du 1° degré I ]

à n inconnues.

83. Pour résoudre trois équations à trois inconnues, on tire la valeur d’une inconnue dans l'une de

S équations et on la substitue dans les deux autres. On a ainsi d

eux équations à deux inconnues, que l’on résout par les procédés ordinaires.

On peut aussi tirer la valeur d’une même inconnue dans les trois équations et égaler ces valeurs deux à deux.

En général, si on a n équations à n inconnues, on peut lîrer la valeur d'une inconnue dans une équation et substiluer cette valeur dans toutes les autres. Par ce moyen, on a n—1 équations à n—1 inconnues. On tire ensuite la valeur d'une inconnue dans l'une quelconque de ces n—1 équalions et on la substitue dans les autres ; on à alors n—9 équations à n—92 inconnues.

En continuant de la méme manière, lion à une inconnue. Cette inconnue tr leur dans l’une des équations à deux ainsi la valeur d'une deuxième inconnue : les valeurs de ces inconnues, portées dans l'une des équations | nues, font trouver la valeur d'une troisième

ainsi de suite, en remontant jusqu'à l’une des pr lions.

Dans la résolution de n équations à » inconnues, les méthodes d'élimination par Comparaison et par réduction Peuvent s’employer aussi bien que la méthode par substitution,

Soit à résoudre le système des trois équations : Do — y+VI3—9 (1) Sy — L+ 3—15 (2) IC + 2y— 3—— 9,

ON arrive à une équa- Ouvée, on porte sa vainconnues et l’on obtient

trois inconinconnue, et 'emières équa-

Tir par €»

Por équati

Ces éq

Isolons

Égalo puis à le

Ces équ:

squ’on connaît tent le grand lee de la dif- Somme dimi-

conque nues,

es, on tire la 1 la substitue deux incon-

nue dans les

es, On peul in el substit0yen, on a uile la van—1 équaalors n—92

une équa- Jor{e sa val’on obtient eurs de ces où nconconnue, el ières équa-

s méthodes vent s’em-

Tirons la valeur de + dans l'une des équations, la deuxième par exemple, où cette inconnue a pour coefficient —1, On a: LV — 15+3y+ 3:

Portant cette valeur à la place de équations, on obtient le système :

D(—15+3y+ 3) — y+23=9 3(—15+3y+3)+9y— s=—9, Ces équations simplifiées deviennent :

LA +- 13=171 lu +23 — 48, En les résolvant par une des méthodes connues, on trouve : y=3 et 4=5,

Ces valeurs de y et de 5 mises dans l’une des équations (1), (2) ou (3) donnent :

æ dans les deux autres

Soit encore le système des trois équations :

20 + 3y+ 43 = 90 (1 JA +23 + y —17 2) 4 +33 + 9y = 17, (3) Isolons æ dans les trois équations :

nel qe k3

Égalons la première de ces valeurs d'abord à la deuxième, puis à la troisième :

Pl

à | 20—3y— 45 17—35—9y TE,

Ces équations simplifiées deviennent :

y + 83 —96 Sy +103 — 46.

À pur 7:

En les résolvant par une des mé

thodes connues, on trouve : tions U U

Yy=2 et :=3, M

# etan

Ces valeurs mises à la place de y et de 3 dans l'une des : air

i Ï { (9) à (3) k Ê équations {1), (2) ou (3), donnent nèble A elles ne … longu Soient enfin les quatre équations : Voi

anche

RER