DT
C4 2y— 385 40 — 3] É- BC — 45 LL y p— Q L = DC — 45 + 3y— à 8 l'arge 22 + 80 — 53 — y = 18 ê une « dk y » ; avare E Soie Isolons x dans chacune d'elles : en mier, DE — y SE 4 | seconc : Les que le D'ap
La pre:
Égalons la première valeur de
æ à chacune des trois autres :
En ren
. és 8—Liz—ÿh v
A —2y +385 — 40 — mA Le
HA —9y 195140 — LÉ si
et par s Ces équations simplifiées deviennent : n 3y—5a 113085 Ù 1?
= : rimétre 9Y— 34 Eu —49 reclang 2 —53t 7y— Ô
En af En résolvant ces trois équations Comme nous avons résolu puisque celles de l'exemple précédent, on trouve : | Y=4, 5=1 et V0 = 6.
Ces valeurs mises à la place de y, de >
À : SSL ( 3 etde » dans l’une des équations (9), (6), {7} et (8), donnent :
d'où
PA) 9
nn trouve :
ans l'une des
is autres :
ns résolu
lans l’une
I PARTIE, — ÉQUATIONS pt PREMIER DEGRÉ »7
4. REMARQUE. Lorsqu'on a à résoudre un système d'équations du premier degré à plusieurs inconnues, on peut souvent s'affranchir des règles que nous avons données pour l'élimination el arriver plus rapidement au résultat. Pour cela on emploie certains artifices de calculs qui consistent soit dans le choix convenable des inconnues à éliminer, soit dans la combinaison entre elles de plusieurs équations, soit dans d'autres moyens qu'une longue pratique fait trouver.
Voici quelques exemples de ces simplifications :
L. Deux joueurs conviennent que celui qui perdra doublera l'argent de l'autre ; ils jouent deu parties, en perdent chacun une el se relirent l'un et l'autre avec à francs : combien avaient-ils en commençant ?
Soient æ l'avoir du premier et y celui du second. Le premier, qui a perdu, ne possède plus que l— y, landis que le second a 92y.
Le second qui perd ensuite, n'a plus que que le premier a 2{æ—})
D'après l'énoncé, on aura les équations :
2y—(2— 1), alors
On + . Pi ( La première équation divisée par 2 donne x y= ne
En remplaçant dans la seconde æ— 7} par S, il vient :
d'où et par suite
IL. Trouver les deuu dimensions d'un rectangle dont le perimètre a 4920 mèl., sachant qu'il est semblable à un second reclangle ayant 40 mèt. de base et 30 de hauteur. En appelant + et y les dimensions cherchées, on aura , puisque lex rectangles sont semblables :
La seconde Équalion élant formée de deux rapports égaux,
4 Yi 4 À | il 58 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE 3
di 11 ajoutons les numérateurs entre eux et les dénominateurs aussi f On |
| 1! entre eux, et nous aurons un nouveau rapport égal à chacun ; qu'on 458 | , 1 \ *
FN des premiers {n° 60) : 4 LL € [au D Y ==: ! minue au 70 40 — 30 ? ë :
tnt or æ+y=210, Ÿ Ene p Lai M0> y on aur.
1 JD donc = né
En égalant le premier rapport à chacun des deux autres, on trouve immédiatement :
7 D RE Re pare n "T4
= “+ za D
car la € aura al
æ=120 et y—=9%0. Il ré
membr
Il. Décrire des sommets d'un hriangle comme centres, trois son sig: circonférences langentes entre elles extérieurement. termes RX, Supposons le problème résolu et inégalit
/ \ soient A, B, C les trois circonférences. Soit | Apppelons æ, y, 3, leurs rayons, Si non:
a; b, c, les côtés du triangle et p a gatifs, ( le demi-périmètre, on aura : ; ?
petit qu
d' = «4 , —. il faut d ue 2 Cr Yy+5=c. viser tc Additionnons ces trois équations, deux qu on trouve : lié, leur 220+2y+%5= abc ou 92p. Mais :
{ Divisons les deux membres par 2 ne à e sens « ï ua Haies à 30 On 1 Si de cette dernière équation on retranche successivement cha- anlités : ; cune des trois premières , on trouve : | au BR 2 3=pP—4&, y=p—0Ù, d'=p—cC, gauche r ea droite, 1:
un? des dern Ait $ V. — Des inégalités. Mais s 11 peut pas
si le résu On ne | lités de n
89. Une inégalité est l'expression de deux quantités dont l’une est plus grande que l'autre.
è # EXEMPLE. dt +4 > 4x +9 # On; HER AL Le premier membre d’une inégalité est la quantité placée à SN ou en ex JU: EUR ganche du signe => ou <; le second, la quantité placée à droite. SN essentiell
: = L 2 nn meer are
ainateurs aussi égal à chacun
eux autres, on
centres , trois nent,
ème résolu et irconférences, , leurs rayons, triangle et y»
aura :
is équations,
sivement cha-
tés dont l'une
itité placée à acée à droite.
On peut faire sur les inégalités la plupart des transformations qu'on fait subir aux équations,
1° On peut, sans troubler une inégalilé, augmenter ou diminuer ses deux membres d'une méme quantilé,
En effet, sion a m>n, on aura aussi
Mm+p>n+p, et M—pP>n—p, car la différence qu'il y a entre m et n exist: encore lorsqu'on aura augmenté ou diminué de p ses deux inemb rs,
Il résulte de là qu'on peut faire pas£ ?r un terre d'un des membres d’une inégalité dans l'autre, er ayant soin de changer son signe. Cependant on ne peut changer ;°s signe: de tous les termes d'une inégalité qu'autant qu'on chät& :5 sens de cette inégalité.
Soit l'inégalité 2>4,
Si nous changeons les signes, les deux termes deviennent négatifs, et on sait (n° 18) qu'un nombre négatif est d'autant plus petit que sa valeur, abstraction faite du signe, est plus grande ; il faut donc écrire : —9 << —4,
2 On peut, sans troubler une inégalité, multiplier ou «i-
miser tous ses termes par un méme nombre positif; car si deux quantités sont inégales, leur double, leur triple, leur moitié, leur dixième, etc., sont inégaux.
Mais si l'on multiplie ou si l'on divise tous les termes d'une inégalité par un nombre négatif, il faut avoir soin de changer le sens de l'inégalité.
3 On peut additionner membre à ineinbre plusieurs incgalités de mème sens s Cl OR a encore une inégalité de même sens que celles sur lesquelles on a opéré; car les membres de gauche étant, par exemple, plus grands que les membres de droite, la somme des premiers sera encore plus grande que celle des derniers.
Mais si l'on additionne des inégalités de sens contraire, on ne peut pas savoir de quel sens sera l'inégalité résultante, ni même si le résultat exprimera une inégalité.
On ne peut pas non plus soustraire l'une de l’autre deux inégalités de même sens.
ss e ;
&* On peut élever au carré les deux membres d'une UU en extraire la racine carrée, essentiellement pos
inégalité lorsque ces membres sont itifs ; car si le premier membre est plus grand
