ST CT
ab’ et ei & = b .
HV Cette valeur, mise à la place de 4 dans le numérateur de l'équa- JET tion (4), donne d'où HE Qi UN NE IR Lu ,. Cab! abc'— cab!
ÊE |. je es ' k étant la va En E L On tire de 4 fl ! à ou k (be — cb } FETE ) Portant ces v:
JE pre 4, # et en changeant les signes des deux facteurs ‘tt À #! on) 7 ” HR — (cb — be), co "4 $ Mal: ; . | é Les deuæ & HA D'où l'on voit que ce numérateur est égal à celui de l'équa- Seconde n'es, A à sl ht: À É ue le, hé cons ?
FIAT tion (3) multiplié par —ÿ: Si donc le numérateur de la troi- le constante
eg EE De
le la seconde :
oit que pour eux cas, on ba; on met tue la derateur de +, cients de x,
ns le déno- » Quantiles
ul, ur, et une
quantités
de l'équa-
e l'équa-
la troi-
sième est nul, ilen sera de même de celu n'est pas nul, celui de la quatrième ne le
Donc, lorsque le dénominateur est nul, les NuMérateurs ne Sont nuls ni l'un ni l'autre ou sont nuls tous les deux en même temps. Dans le premier Cas, les valeurs de et de y
i de la Quatrième ; s'il] sera pas non plus.
prennent Ja forme a=R ; y=T, etilya impossibilité :
les équations Proposées sont en effet incom {À
Patibles, car la valeur = mise à la pl
ace de à’ dans l'équation (2) donne ab, ; “De 10 Y=C,
se bc’
d'où ax + by = D af
cette équation et l'équation (1) ayant les
identiques sans que les seconds Je soient, s07 Dans le second Cas, les valeur
Premiers membres incompatibles.
S de æ et de y prennent la
0 0 FE Ye,
forme :
etilya indétermination.
Mais les conditions ab'— ba!= Où ab'=ha donnent
ou cb'—hbe donnent aussi
d'où
k étant la valeur des rapports égaux.
On tire de là a= ak, b=b'k, C=c'k;
Porlant ces valeurs dans l'équation (1), il vient :
d'he + by = che ,
d'où k(a'x+by)= ke’,
Les deu équations rentrent doc l'une dans l'autre ; car la
seconde n’est autre que la première m ultipliée par une quanlité constante k, C'est ce qui explique l’indétermination.
78 ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE [47 b ( ,. A Si 0 Les rapports -—.,; —°—} prouvent que lorsqu'il y a a in GE, ; = ‘dans ce indétlermination , les coefficients de x et de Y etlestermes % }, par / connus forment une suite de rapports éjaur. À
3 Un des numeraleurs, celui de x Par exemple, est nul, Sans que l'auire numérateur ni le dénominateur commun le soient. :
Dans ce cas æ— Ou Zéro; mais la valeur
7 ab'—ba'? I, 7 OU D mérateu C De à 1e et
tirée de la supposition Cb'—bc'=0, mise à la place de « M ajoute dans l'équation (4), donne pour son numérateur :
acb' dr, ; le Appelc —7—— ca ou piab"— ba’),
et la valeur de y sera :
er SR — E
c 2) c " Faisons d
1e} tre bar} — 5:
Se es à Ce
Si la quantité c était nulle, la valeur de y serait zéro, comme celle de æ; mais la valeur c=0, mise dans l’expres-
; 00. + Sous ce Sion € er, donne aussi c'—0(, D orales. En
C par —4
Donc, lorsqu'un des numéraleurs est nul, une seule inconnue, x par exemple, a une valeur nulle; l'autre inconnue
ne SE
; = 0 ‘ > ' F est égale à —. Elle serait elle-même nulle si de plus C ou © (7) b
élail égal à zéro; car € et e sont nuls en méme lemps.
Faisons une application des formules générales, = = = La fracti L On a du blé de deux qualités ; quand on méle 4 mesures de la première et 2 de la seconde, la mesure vaut 2 fr., et À quand on méle 2 mesures de lu Première et 4 de la seconde, la REMARQU mesure vaut 20 fr. : trouver le prix de ces deux qualités de blé, montrent q = - — ; D rapidement Soient æ le prix de la première qualité et » celui de la D des équatic deuxième, on a :
4æ+2y—=6xX922 ou 132, 0+-4y—=6 xX20 ou 190.
Si nous appliquons les formules générales dans ces formules « par 4, b par 2, b' par 4, c' par 120; on trouve :
lorsqu'il y a
il faut remplacer C par 132, a! par 2
el les termes
132xX4—9%190 DER : as 24 francs.
nple, est nul, 1 commun le
20 —139 x 9 y= x TE tee 18 francs.
aleur
IL. Trouver une fraction telle que si l’ Mmeraleur et 6 à son dénominateur à 1, et que si l'on relranche 6 de
On ajoute 10 à son nusa valeur devienne égale Son numérateur et qu'on
à place de c'
ajoute 10 à son dénominateur
: 1 sa valeur devienne &° t
Appelons æ et y le numérateur et le dénominateur, on aura : :
D, om 1 AR" © JE
Faisons disparaître les dénominateurs et simplifions.
serait zéro, ans l’expres-
DL —Yy— 40,
Sous cette forme, nous Pouvons appliquer les formules générales, En rernlaçent dans ces formules @ par 1, b par —1, PAT pad ble par-=4 et par 40, on trouve :
re seule inre inconnue
plus ce ou c'
emps. TX 40—(—4)5
D TE D EE En LL
- : 11 La fraction est donr 15:
4 mesures £ 22 fr., et seconde, la lités de blé.
REMARQUE. Les exercices qui précèdent, montrent que l'emploi de la formule générale : rapidement à la solution d’un problè des équations.
le second surtout, ie Conduit pas plus me que la résolution directe
celui de la
