e Principe. Le produit de deu facteurs variables ayant

une somme constante et affectés chacun d'un exposant diffe-

rent est maximum lorsque ces facteurs sont Proportionnels à leurs exposants

Soient x" ef y". deux facteurs dont la somme æ—+y—$s, Leur produit peut s'écrire :

ñ am y"

MOXNX ET.

Ce produit est formé de deux parties, l'une fixe

+ a" y" CRM R

l'autre variable 7 x Y" ou n |".

UTNTTE m) *X\n

Cette dernière Partie est composée de mn

mrxn" et

facteurs égaux

mn facteurs esl

Le prod (2 princip

APPLICAT la surface

Appelons supérieure

ou =

Si l’aire !

vons donc

La valeui Rx et R deux facteu proportionn

d'où La base s mum est le 90 Avec u parallélipip En appela

rois facteurs Id possible ; > est égale à LL 3p—9p, teurs seront

rimètre, le

le parallé-

dimensions n volume, B., n° 373):

diagonale

omme 4R?

3 facteurs

dans une

les a yant nt diffeonnels à

+y=Ss.

égaux

? 1 et de n facteurs égaux à 4, la somme de ces m—+n

facteurs est constante, car elle égale :

mx Enxi ou æ—+y, ou S.

Le produit sera maximum lorsque ces facteurs seront égaux (2e principe), c'est-à-dire lorsqu'on aura :

al ? a m ==T où LT, Donc.

mn y nn APPLICATIONS. 1° /nscri lans un demi-cercle un trapèze dont la surface S soit maximum.

Appelons 2x la longueur de la base supérieure du trapèze; on aura :

ou S—(R+x) Rx, Si l'aire S est maximum, son carré le sera pareillement ; écrivons donc ‘

2=(R+ x)? (R2— 07?) = (R+x) (Rx) (R—x) 2=(R+x)R—x), La valeur S? sera maximum, lorsque le produit des facteurs R+x et R—x sera le plus grand possible; or la somme de ces

deux facteurs est 2R, quantité constante ; donc ils doivent être proportionnels à leurs exposants, et on a :

d'où La base supérieure est done R, et par suite le trapèze maximum est le demi-hexagone régulier.

2 Avec un carré de carton dont le côté est a, construire le parallélipipède rectangle de volume maximum.

En appelant x, y, , les trois dimensions, on a :

lame

= Œ d'où

Les facteurs variables 2x ef 32 (a—2x) ayant une somme con- Stante «, leur produit sera maximum lorsqu'ils seront propor-

4 Ainsi la |