LED

VhY ee d'où L=%.

On voit que le rectangle maximum est le carré qui a pour sommets les milieux des 4 côtés du carré donné.

180. 22 Principe. / odurt de plusieurs facteurs positifs variables dont la somme est constante, est maximum lorsque ces facteurs sont égaux.

Soient æ, y, =, »... des facteurs dont la somme estS.

Si ces facteurs ne sont pas égaux, on peut, sans changer la somme constante S, remplacer deux facteurs quelconques, x et y

; d +1 par exemple, chacun par leur demi-somme —; %, et le pro-

duit (54 ) (S T) est plus grand que y (4er principe).

Ainsi , tant que deux facteurs ne seront pas égaux on pourra, sans changer leur somme, les rendre égaux et augmenter le produit. Donc le produit sera maximum lorsque les facteurs seront égaux.

AppLicaTions. 4° De tous les triangles qui ont meme périmètre quel est le plus grand ?

Appeions 2p ie périmètre et S? la surface; on a d’après une formule connue (voir Géométrie, par F. P. B., n° 288)

S—ÿp(p—a)(p—b) (p—c)

fi fe:

de:

ee. er Fe tv æ—=

k AT

La surface sera maximum lorsque le produit des trois facteurs variables (pP—a)(p—b)(p—c) sera le plus grand possible : Or la somme de ces facteurs est Constante, car elle est égale à P—a+p—b+p—c, ou 8p—(a+b+c), où 3p—9p, ou p.

Donc le produit sera maximum quand les égaux, c’est-à-dire lorsqu'on aura a=b=c,

Ainsi, de tous les triangles qui ont le même périmètre, le plus grand est le triangle équilatéral.

3 facteurs seront

2 Inscrire dans une sphère de »

lipipède rectangle maximum.

En appelant x, y; & les 3 dimensions du parallélipipède et V son volume, On à (voir Géométrie, par F.P.B., n°373.

V=oys ou V= pat,

‘ayon donné R le parallé-

On a aussi, en appelant v la diagonale de la base, App?

et 0? 32 —4R2, d’où LH 2 — AR?

V? est le produit de 3 facteurs æ?, 12, 2? dont la somme 4R?

est constante ; ce produit sera maximum lorsque les 3 facteurs seront égaux. On aura donc

Cp, ou Dj,

Ainsi le parallélipipède rectangle maximum inscrit dans une Sphère est le cube,