DE

Pour que les valeurs de x et de y soient réelles, on doit avoir

m°—4pZ>0 (prononcez Mm°—4p plus grand que zéro ou tout au moins égal à zéro),

d'où m>2/p.

Ainsi la somme ne peut être inférieure à deux fois la racine carrée du produit: 2ÿp est donc le minimum demandé.

En remplaçant dans l'équation m par 2ÿp, on trouve :

œ| __9Vp JE D d'où Destin.

Donc, le minimum de la somme de deux facteurs dont le produit est constant a lieu lorsque ces facteurs sont égaux.

Ce principe, qui est le réciproque de celui du n° 179, permet de résoudre le problème suivant.

Le produit & de deux facteurs étant constant, trouver le minimum de la somme des carrés des deux facteurs.

On a: Œy—=@, et Lip =m}, ajoutons à la seconde équation deux fois la première,

LH + doy=m? LI, ou (+ y) — Ia? = m?,

La somme #”? sera minimum lorsque la quantité variable (x+y} ou sa racine æ—y sera elle-même minimum; or le minimum de celle-ci a lieu quand les deux facteurs + et y

dont le produit a? est constant sont égaux entre eux (problème précédent).

Donc le minimum de æ?+1f avec ia condition æy—a? a lieu lorsqu'on a De=y,

RÉ etc pe tre

> ZE nn US See eee veare veurianre ven =

IT. Décomposer un nombre a en deuæ parties telles que la

somme de leurs carrés soit minimum.

On à : (ax) —=m (1)

2, 1 E—mMm LC? — ax —g— = 0 a+ 2m— a? 3) HR ar, (3

Pour que la valeur de æ soit réelle, il faut qu'on ait : 2m—a>0

LPS - SP d'où MT.

Ainsi la somme » ne peut être inférieure à la moitié du carré

du nombre proposé : , + est doncle minimum demandé.

En remplaçant dans l'équation (3) m ar —, on trouve I s \ o ?

a = . ; = ' , 4 TT; et par suite l’autre partie sera aussi D

LL. On a un demi-cercle ACB; on élève les perpendiculaires AE, BF aux extrémités du diamètre, et on propose de mencr une langente telle que le trapèze rectangle formé ait une Surface minimum S°?.

Ê Posons \ AE=EC—x; BF—FC=—y.

D AB—9R et OCR.

B On a d'abord (ay ,R=S?, ! S?

ou EYE ; (1 \ enfin le triangle rectangle EOF donne æxy=R?, (2)

Connaissant la somme et le produit des inconnues, on aura :

Pour que

d'où

Ainsi S°?:

2R°; or 2] que le plu:

est la moiti