Résolution des équations complètes

Nous savons (n° 182) que l'équation complète du

second degré à une seule inconnue peut toujours

prendre la forme blèn [1] L + pr = Q.

Or, d'après ce que nous avons dit (no 174), on laqu F ‘5 voit que le premier membre +? + pæ fait partie is du carré d’un binôme, puisque +? est un carré parfait et que px contient la racine x de ce Carré So ; on pourra donc toujours compléter le carré en fait à considérant px comme le double produit des 4 cs deux termes de ce binôme. u eff Puisque ce binôme a pour premier terme connu l'on æ, il faut que p soit le double du second termein- un « conn connu : donc À est le second terme du binôme, mier è pour 2 k et = en est le carré. Eu En conséquence, pour compléter le carré dont Pa 2 l’équ:

æ° + pæ font partie, il suffit d'ajouter à ces er : pour deux termes; mais pour ne pas altérer l’équa D Carré tion [1], on fera subir au second membre la même LE tion addition qu’au premier, et cette équation devien- degré dra alors deux 2 2 donne | P ‘ 2 et +po+ EL ng+ ' En conséquence, l'équation proposée [1] pourra ou bie | toujours être transformée en une autre [?] dont En le membre qui contient l’inconnue est un tri- de l'éq

nôme carré parfait, et dont l’autre membre est une quantité toute connue.

Avant d'aller plus loin, appliquons ceci à quelques exemples nûmériques,

2ut toujours

(n0 174), on c fait partie st un Carré le ce carré, le carré en roduit des

rme connu d termein-

lu binôme,

carré dont

— à COS

rer l’équae la même on devien-

[1] pourra e [?] dont st un trlembre est

1s ceci à

OHAPITRE VII, 125

187. Supposons d’abord que l'énoncé d’un problème ait donné l'équation du second degré

(x — 6) &æ = 55, laquelle devient, en effectuant le calcul indiqué, D? — Gr = 55,

Sous cette forme, :on reconnaît que +? — 6x fait partie du carré d’un binôme dont x est le premier terme et dont le second est la moitié du coefficient — 6, ou bien — 3, c’est-à-dire que, si lon ajoute 9, carré de — 3, à 2 — 6x, on aura un carré parfait æ? — 6x + 9, dont la racine connue est æ — 3, Mais l'addition faite au premier membre doit être faite aussi au second pour conserver l'égalité, et alors l’équation proposée devient

27 — Gr + 9 — 55 + 9 — 64.

Par cette transformation, nous avons ramené l'équation donnée à avoir pour premier membre un trinôme carré dont la racine est connue, et pour second membre un nombre dont la racine carrée est facile à trouver ; en sorte que l’équation du second degré sera réduite au premier degré par l'extraction de la racine carrée de ses

deux membres. Cette équation transformée donne en effet,

te 2 Na 6x + 9 = AÎ64, où bien x — 3 = + 8, d'où x = 3 + 8.

En représentant par +’ et 4” les deux racines de l'équation, on trouvera pour ces deux valeurs d'—3+8— 11, = 3 — 85,

En effet, la substitution des valeurs + 11 et

126 ALGË&AR.

— 5 à la place de x satisfait également à l'équa. d'ot

tion donnée.

188. Pour second exemple, soit à résoudre | l'équation | 1 342 + 9x = 56.

Le terme du second ‘age ayant un coefficient autre que l'unité, il faudra diviser tous les ter. mes de cette équation par ce coefficient 3 de a, afin de la ramener à la forme générale x? + pa

les (

; = q, et l'équation donnée deviendra PL fé 20, LUS | æ* + 2 T= à Re a | 3 3 secot Ka : pitre NE. Maintenant, pour compléter le carré dans le Ai fe premier membre, nous prendrons, comme ci.

fut À | dessus, la moitié du coefficient 3 de æ, laquelle devie 1 1 ou moitié est rÉ nous en ferons le carré LÉ et nous En coeff ajouterons ce carré à chaque membre de l'équa- | tion, qui deviendra alors | 9 1 5 1 A Ext D+—T+—=— + — 1 del'é de à à 0 | Il ne reste plus qu’à extraire la racine carrée su de chaque membre pour ramener l'équation au d'où

premier degré, et nous aurons

nt à l'équa.

à résoudre

n coefficient tous les ter.

lent 3 de z?

ale x? + px

arré dans le comme ci-

æ, laquelk

À 9” et nous

> de l'équa-

cine carrée quation au