EMPLOI DES CARACTÉRISTIQUES NÉGATIVES

225. Les caractéristiques des logarithmes ne servent qu'à indiquer Tordre des plus hautes unités dans les nombres correspondants; aussi en étendant convenablement le sens de la caractéristique, est-il possible d'attribuer des logarithmes aux nombres plus petits que l'unité. Considérons, par exemple, le nombre 2,743 dont le logarithme est o,43823 ; nous savons que la partie décimale de ce logarithme appartient aussi aux logarithmes des nombres

Il est donc naturel d'admettre que les nombres

ont eux-mêmes des logarithmes dont la partie décimale est encore 43823 et dont les caractéristiques devront être choisies de manière à faire connaître exactement la place de la virgule décimale. On est convenu de prendre pour caractéristique du logarithme d'un nombre inférieur à 1 le chiffre qui indique Tordre des plus hautes unités décimales de ce nombre, et, pour éviter de confondre un tel logarithme avec celui d'un nombre supérieur à i , on place le signe — au-dessus de la caractéristique ; ainsi Ton écrit

log 0,2743 = 1,43823,

Les caractéristiques surmontées ainsi du signe — sont dites négatives; celles que nous avons considérées Jusqu'ici sont quelquefois nommées positives. Lorsque Ton combine entre eux, par voie d'addition et de soustraction, des logarithmes

ITSAGS DBS TABLBS m MJOQ. KT MC LA sàfiLB A CAUXU 1 77

dont les caractéristiques sont les unes positives, les autres négatives, il faut avoir égard aux règles suivantes :

Pour ajouter deux caractéristiques négatives, on prend la somme des valeurs de ces caractéristiques et ton marque le résultat du signe — .

Pour ajouter deux caractéristiques y l'une positive et Vautre négative, on prend la différence des valeurs de ces caractéristiques et on marque le résultat du signe — si la plus grande des caractéristiques données a ce signe»

Pour soustraire une caractéristique positive ou négative, on ajoute une caractéristique négative ou positive égale.

En admettant ces règles que Ton doit considérer comme de simples définitions, les propriétés fondamentales du n*» 219 subsistent dans tous les cas. On peut donc exécuter les calculs logarithmiques au moyen des procédés précédemment établis sans s'inquiéter de savoir si le résultat que l'on cherche et les nombres sur lesquels on opère sont supérieurs ou inférieurs à Tunité. Reprenons ici quelques-uns des exemples que nous avons présentés au n® 224.

!• Calculer le produit :r ±= 3,i4i59 X 0,98696.

log 3,14159.,... 0,49715

^ogx 0,49145

2**. Calculer le quotient j;= o,3i83o6 : 0,98696.

Iogo,3i83o9. . . . i,5o285

log 0,98676 ^.99430

log^ i,5o855

ll'n 3* Calculer le quotient ^ = ^.

iHiJ 0,12073

log 5 '

iog^ ï",98o94

1^8 ciAPrrBB xwt.

USAGE DE LA RÈGLE A CALCUL POUR LA flIULTIPUGATION ET LA DIVISION.

226. La règle à calcul ou règle logarithmique est un instrumenl qui sert à exécuter très-rapidement les calculs pour lesquels on n'a pas besoin d'une approximation supérieure à -^

environ du résultat final.

Cet instrument se compose d'une partie fixe qui est proprement la règle et d'une partie mobile nommée réglette qui glisse à frottement doux dans une rainure pratiquée au milieu de la règle. La règle et la réglette peuvent être en bois, en ivoire, en métal ou en carton ; la longueur de l'instrument est généralement de 25 centimètres.

Lorque l'on regarde la face principale de la règle, on y aperçoit des divisions et des chiffres marqués, tant à la partie supérieure qu'à la partie inférieure; nous ne nous occuperons ici que de ce qui concerne la partie supérieure. Sur la première moiliéà gauche, on lit les dix nombres i, 2, 3,4>5,6, 7,8,9, 10 à des intervalles inégaux; les distances du trait initial marqué 1 aux traits marqués par les autres chifTres représentent res-^ pectivement les logarithmes de ces chiffres. Ainsi la distance de I à 4 représente le logarithme de 4; de même la distance de I à 10 représente le logarithme de 10 ou i : cette distance est donc prise ici pour unité de longueur. Les intervalles qui séparent deux nombres consécutifs sont divisés en 10 parties qui correspondent aux dixièmes, et les nouveaux intervalles qui en résultent seraient eux-mêmes divisés en 10 parties correspondantes aux centièmes, si la petitesse de Tinstrument n'y mettait obstacle. De i à 2, les divisions relatives aux centièmes sont marquées de deux en deux ; de 2 à 5, elles sont marquées de cinq en cinq; enfin, de 5 à 10, elles ne sont pas marquées; ces divisions doivent s'estimer à vue. On a ainsi sur la règle les logarithmes des nombres croissant par centièmes, depuis 1,00 Jusqu'à 10,00. Considérons, par exemple, le septième trait des divisions principales de l'inlervaile compris entre 3 et 4 et prenons le milieu de riniervalle compris entre ce septième trait et le irait suivant, la distance du point milieu dont il s'agit au Irait initial 1 sera le logariihme de 3,75.

Nous n'avons parlé jusqu'ici que de la première moitié à gauche de la partie supérieure de la règle; la seconde moitié à droite est divisée de la même manière. Ainsi, en prenant^ par

USAGE DES TABLES DE LOS. ET 4MB i^A RÈGLE A CALCUL. 1 79

exemple, sur la partie à droite, le milieu de la distance com-^ prise entre le septième et le huitième trait des divisions principales de Tintervalle de 3 à 4> la distance du point obtenu, au milieu de la règle> sera le logarithme de 3,75; par suite, la distance du même point.au trait initial de la partie à gauche sera égale à log 3,76 -+- 1, c'est-à-dire égale au logarithme de 37,5. QuanjL à la réglette, elle porte une double division identique à celle de la règle.

227, La règle à calcul peut faire, comme on le voit, l'office d'une Table de logarithmes. Nous allons indiquer la manière d'en foire usage pour obtenir un produit et un quotient.

Multiplication. — Pour faire une multiplication avec la règle, on place le i de la réglette sous le multiplicande lu sur la moitié à gauche de la règle; le produit cherché correspond, sur la règle, au multiplicateur lu sur la réglette.

Exemples. — 1*> On demande de multiplier 7 par 5. On amène le I de la réglette au-dessous du chiffre 7, lu sur la partie à gauche de la règle, et au-dessus du chiffre 5 lu sur la réglette se trouve, sur la partie à droite de la règle, le produit demandé ^5. Effectivement le logarithme du résultat que l'on obtient ainsi, est bien égal à la somme des logarithmes du multiplicande et du multiplicateur.

2» On demande de multiplier 17 par ^5, Il faut opérer comme si l'on avait à multiplier 1,7 par ^,5; on amène le i de la réglette sous le nombre 1,7, lu sur la partie à gauche de la règle, et au-dessus du multiplicateur 4>5 lu sur la réglette oii trouve, sur ïa partie à gauche de la règle, le produit 7,65. Le produit demandé est donc 765. Dans cet exemple, comme dans le précédent, on obtient le produit demandé exacte- «*ent.

3° On demande de multiplier 6275 par 3842. On opèrey comme si Ton avait à multiplier 6,27 par 3,84 î o" trouve ainsi pour le produit demandé 24100000 : le produit exact est 24io855o.

Division. — Pour faire une division avec la règle, on place le point de la partie à gauche de la réglette qui correspond au diviseur, sous le point de la règle qui correspond au dividende; le quotient cherché correspond alors, sur la règle, au trait i de la réglette.

Exemples. — 1° On demande de diviser 6636 par 84. On opère comme s'il s'agissait de diviser66,36 par 8,4» On amène le

l8o CHAPITRE XVI.

nombre 8,4 pris sur la moitié à gauche de la réglette, sous le nombre 66,4 pris sur la règle ; le i de la réglette tombe alors sensiblement au-dessous du nombre 7,9 de la règle. Le nombre 7,9 est donc le quotient de 66,36 par 8,4, car son logarithme est égal à l'excès du logarithme du dividende sur le logarithme du diviseur. Il suit de là que le quotient demandé est 79; ici le quotient se trouve exact.

2° On demande de diviser 74 1996 1879 P^'' 3» 097. Le quotient cherché doit avoir 6 chiffres ; nous prendrons pour dividende 7,42 et pour diviseur 3,i i ; plaçant alors le nombre 3,i i lu sur la moitié à gauche de la réglette au-dessous du nombre 7,42 lu sur la moitié à gauche de la règle, le i de la réglette tombe sensiblement sous le nombre 2,39 de la règle. Le quotient demandé est donc 239000 ; le calcul direct montre que la valeur dé ëe quotient est 238607 à une unité près.

228. On peut obtenir aussi avec la règle, par une simple lecture, lé produit d'un nombre donné par le rapport de deux autres nombres donnés.

Remarquons d'abord que le i de la réglette étant placé à un endroit fixe quelconque de la règle, les nombres qui se correspondent sur la règle et sur la réglette ont un rapport constant. En effet, la différence des logarithmes de deux nombres qui se correspondent est égale à la distance du 1 de la règle au t de la réglette ; cette différence est donc constante pour tous les points de^la règle : donc le rapport des nombres correspondants est constant.

Supposons maintenant qu'on demande de multiplier 8,^9

par Z-^- Le rapport du nombre cherché à 8,29 doit être égal

au rapport de 7,8 à 5,3; si donc on met le nombre 5,3 lu sur la réglette au-dessous du nombre 7,8 lu sur la règle, on trouvera le nombre demandé sur la règle au-dessus du nombre 8,29 lu $ur la réglette; on obtient ainsi pour résultat 12,2.