Ce qui précède conduit à la règle suivante

Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on essaye successivement la division de ce nombre par les nombres premiers 2, 3, 5, 7,. . ., jusqu'à ce qu'on arrive à une division qui se fasse exactement; le diviseur de cette division est l'un des facteurs premiers du nombre proposé et le quotient obtenu est le produit de tous les autres facteurs. On applique donc à ce quotient le même procédé, en commençant les essais par le diviseur premier déjà employé. Et ainsi de suite.

71. U résulte de ce qui précède que tout nombre est décomposable en facteurs premiers; mais il est très-important de remarquer, en outre, que cette décomposition est unique; en d'autres termes, un nombre n'est décomposable qu'en un seul système de facteurs premiers.

Pour le démontrer, nous allons prouver que, si deux produits de facteurs premiers représentent la valeur d'un même nombre, ces produits sont composés des mêmes facteurs.

1° Si deux produits de facteurs premiers sont égaux, tout facteur premier qui se trouve dans Fun se trouve aussi dans l'autre.

Supposons que 3 soit un facteur du premier produit : 3 divi-

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sant le premier produit^ divise aussi le second qui, par hypothèse, est égal au premier; donc il divise au moins Tun des facteurs de ce second produit (n* 68), et, comme ces facteurs sont tous des nombres premiers, Tun d'eux ne peut être divisible par 3 à moins d'être lui-même égal à 3.

2** Si deux produits de facteurs premiers sont égaux, tout facteur premier qui se trouve répété plusieurs fois dans le premier produit, se trouve aussi répété le même nombre de fois dans le second.

Supposons que le premier produit contienne plusieurs facteurs égaux à 3 ; d'après ce qui précède, l'un des facteurs du second produit sera 3. Supprimant le facteur 3 de part et d'autre, on obtient deux nouveaux produits qui sont égaux entre eux. Le premier renferme encore le facteur 3, par hypothèse; donc ce facteur se trouve également dans le second produit. On peut supprimer de nouveau le facteur 3 de part et d'autre et les résultats que l'on obtient ainsi sont égaux. Si le premier produit renferme encore le facteur 3, le second produit contiendra aussi ce facteur ; et ainsi de suite.

On conclut de ce qui précède que, si deux produits de facteurs premiers sont égaux, chaque facteur premier, qui se trouve dans l'un des produits une, deux, trois, etc., fois, se trouve aussi dans l'autre une, deux, trois, etc., fois; par conséquent, ces produits sont identiques: en d'autres termes, un nombre n'est décomposable qu'en un seul système de facteurs premiers.

Remarque. — C'est ici l'occasion de faire remarquer qu'on peut souvent simplifier l'opération de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Ainsi, s'il s'agit d'un nombre décomposable à vue en plusieurs facteurs, on décompose séparément chacun de ces facteurs et l'on forme ensuite un produit unique composé de tous leurs facteurs premiers. • Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de décomposer aSaoo en facteurs premiers; 26200 est le produit des deux nombres a52 et 100. En décomposant ces nombres en facteurs premiers, on trouve

252 = 2*X 3^X7, par conséquent, on a

252oo = 2^X3'X 7X2'X5% ou

252oo=:2*X 3*X 5»X 7.