CHAPITRE VI
RECHERCHE DES DlTiTISEURS D'UN NÛBIBRE.
72. Pour que deux nombres soient divisibles l'un par l'autre , il faut et il suffit que chacun des facteurs premiers du diviseur se trouve dans le dividende Otfec un exposant au moins égal à celui qu'il a dans le diviseur.
En premier lieu, je dis que celte condition est nécessaire. Car, si le dividende est divisible par le diviseur, il est égal au produit du diviseur par le quotient; par conséquent, il se compose de tous les facteurs premiers du diviseur, et, en outre, de ceux du quotient.
Je dis, en second lieu, que cette condition est sufQsanie. Car, si elle est remplie, on pourra décomposer le dividende en deux facteurs, dont Tun sera le produit des facteurs premiers qui composent le diviseur et dont l'autre sera le produit des facteurs premiers restants.
73. Cette propriété permet de trouver aisément tous les diviseurs d'un nombre décomposé en facteurs premiers. Supposons qu'il s'agisse du nombre 16776 qui est égal à 2' X 3* X 233. Il est évident qu'on obtiendra tous les diviseurs de ce nombre en formant le tableau suivante
et en prenant tous les produits que l'on obtient en multipliant chaque nombre de la première ligne par chaque nombre de la deuxième, puis chacun des résultats par chaque nombre de la troisième ligne.
On voit en même temps que le nombre total des diviseurs de 16776 est égal au produit 24 des nombres 3 + 1, 2-4-1, i -h i.
De ce qui précède on peut conclure la règle suivante :
Pour avoir tous les diviseurs d'un nombre, on le décompose en facteurs premiers ; on fait ensuite un tableau composé d'au^ tant de lignes horizontales distinctes que le nombre renferme de facteurs premiers différents. Chacune de ces lignes doit être formée de l'unité suivie de toutes les puissances de l'un desfojb^ leurs premiers de nombre donnée depuis la première jusqu'à celle qui entre dans la composition de ce nombre.
On multiplie ensuite les nombres de la première ligne par ceux de la deuxième, puis les résultats par les nombres de la troisième ligne et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait employé tourtes les
ttfeS NOMBRES PRSIIIERS. 49
lignes horizontales du tableau* Les derniers produits obtenus sont les diviseurs du nombre donné.
On voit aussi que :
Le nombre des diviseurs d'un nombre est égal au produit que l'on obtient en multipliant les exposants des factHirs premiers du nombte^ augmentés chacun d'une unité,
COMPOSITION DU PLUS GRAND COBIMirN DIVISEUR ET DU PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN DE PLUSIEURS NOMBJUSS.
74. Si des nombres sont décomposés en facteurs premiers^ on obtient leur plus grand commun diviseur en faisant le produit des facteurs premiers communs à Ces nombres pris chacun avec son plus petit exposant»'
En effet, considérons plusieurs nombres, et supposons, pour fixer les idées, que tes nombres n'aient que les seuls facteurs premiers 3, 5, 7 communs. Supposons, en outre, que le facteur 3 se trouve dans Tun des nombres avec Texposant 2, et dans les autres nombres avec des exposants égaux ou supérieurs à a; que le facteur 5 se trouve dans Tun des nombres avec Texposant 4, et dan^ les autres nombres avec des exposants égaux ou supérieurs à 4 ; enfin, que le facteur 7 se trouve dans Tun des nombres avec l'exposant i, et dans les autres avec des exposants égaux ou supérieurs à i .
Cela posé, un diviseur commun des nombres proposés ne peut contenir d'autres facteurs premiers que 3,5, 7, et il ne peut contenir ceux-là qu'avec des exposants au plus égaux à 2, 4> î respectivement; il est donc au plus égal à 3' X 5* X 7. D'ailleurs 3* x 5* X 7 divise effectivement chacun des nombres proposés (n**72), il est donc leur plus grand commun diviseur.
75. Si plusieurs nombres sont dfècomposés en facteurs premiers, on obtient leur plus petit commun multiple en faisant le produit de tous les facteurs premiers contenus dans Vun de ces nombres ou dans plusieurs d'entre eux, chacun de ces facteurs étant pris avec son plus grand exposant.
En effet, considérons plusieurs nombres, et supposons, pour fixer les idées, que tous les facteurs premiers contenus dans l'un de ces nombres ou dans plusieurs d'entre eux soient 3, 5, 7. Supposons, en outre, que le facteur 3 se trouve dans l'un des nombres avec l'exposant 2, et avec des exposants égaux ou inférieurs à 2 dans ceux des autres nombres qui le contiennent ; que le facteur 5 se trouve dans l'un^ des nombres avec
5o CHAHTBE VI.
Texpôsani 4, et vfec des exposants égaux ou inférieurs à 4 dans ceux des autres nombres qui le contiennent ; enfin, que le facteur 7 se trouve avec Texposant i seulement dans tous ceux des nombres qui le contiennent.
Cela posé, un commun multiple des nombres proposés doit nécessairement contenir lesfacteurç premiers 3, 5, 7, avec des exposants au moins égaux à 2, 4, i respectivement ; il est donc au moins égal à 3^X 5^X 7. D'ailleurs 3* x 5*X 7 est effectivement divisible par chacun des nombres proposés (n*»72), il jgst donc leur pluç petit commun multiple.
REMARQUE GÉNÉRALE SUR LA TRfORIE PRfiGfiDSNTE.
76. La décomposition des nombres en facteur^ premiers met en complète évidence plusieurs propriétés dont la démons^ation exigerait autrement certains développemente. Nous nous bornerons à indiquer icl^ comme exemples, quelques-wies de ces propriétés qui nous seront utiles dans la suite.
I** Si l'on divise plusieurs nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients que Von obtient sont premiers entre eux.
Car, en divisant plusieurs nombres par leur plus grand commun diviseur, on supprime tous les facteurs premiers communs à ces nombres.
tP Si deux nombres sont premiers entre eux, leurs puis^ sances sont aussi premières entre elles.
Car une puissance d'un nombre ne contient que les facteurs premiers de ce nombre; si donc deux nombres n'ont aucun facteur commun, leurs puissances n'ont ellesrmêm^s aucun facteur commun.
3* Si un nombre est premier avec les facteurs d'un produit, il est premier avec le produit.
Car le nombre et le produit dont il s'agit n'ont aucun. facteur premier commun.
4®. Si un premier nombre est divisible par plmieur^ aufres nombres premiers entre eux deux à deux, U est divisible pmleur produit.
En effet, le premier nombre contient tous les facteurs premiers égaux ou inégaux qui se trouvent dans chacun des autres nombres: d'ailleurs deux quelconques de ceux-ci n*ont, par hypothèse, aucun facteur premier commun ; donc les facteurs
DES NOHBBBS rBBHlERB. 5l
premiers égaux ou inégaux qui soni contenus dans leur produit se trouvent aussi dans le premier nombre.
5" Le produit de deux nombres quelconques est égal au pro^ duit de leur plus petit commun multiple par leur plus grand commun diviseur.
Car si Ton forme simultanément lé plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple» chaque facteur premier de l'un ou de l'autre des nombres donnés figurera avec son exposant 9 soit dans le plus grand commun diviseur, soit dans le plus petit commun multiple (n^ 74 et 75).
Il résulte de là qu'il n'est pas nécessaire de décomposer deux nombres en facteurs premiers pour avoir leur plus petit commun multiple. Il suffit effectivement de chercher le plus grand commun diviseur de ces nombres, de diviser l'un d'eux par ce plus grand commun diviseur et de multiplier le quotient obtenu par l'autre nombne.
QUESTIONS PROPOSÉES
I, Démontrer que tout nombre premier supérieur à 3 est un multiple de 6 augmenté de i ou diminué de i.
!!• Démontrer que le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6. .
m. Démontrer que le produit de cinq nombres consécutifs est divisible par 120.
iV. Quelle est la plus haute puissance d'un nombre tel que 7 qui divise le produit des 1000 premiers nombres?
V. Étant donnés plusieurs nomlnres, on cherche le plus grand commua diviseur des deux premiers, puis le |dus grand commun diviseur du nombre obtenu et du troisième des nombres donnés, et ainsi de suite. On propose de démontrer que le dernier plus grand commun diviseur obtenu ainsi est le plus graad commun diviseur deâ nombres donnés.
VL Étant donnés plusieurs nombres, on cherche le plus petit commun multiple des deux premiers, puis le plus petit commun multiple du nombre obtenu et du troisième des aombres donnés, et ainsi de suite. On proposé de démontrer que le dernier plus petit commun multiple obtenu ainsi est le plus petit commun multiple des nombres donnés.
